А.М. Холькин, С.П. Десятский

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Мариуполь ПГТУ 2007
Министерство образования и науки Украины

Приазовский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

А.М. Холькин, С.П. Десятский

Курс лекций по эконометрии

(для студентов-заочников)

Мариуполь, ПГТУ, 2007

УДК 65.053

Холькин А.М., Десятский С.П. Курс лекций по эконометрии (для студентов-заочников). – Мариуполь, ПГТУ, 2007. -80 с.: ил. 7

В курсе лекций кратко и доступно излагаются основные вопросы по эконометрии, начиная от этапов построения математической модели и до прогнозирования с помощью построенной модели. Изложение сопровождается многочисленными примерами. Приводятся образцы решения двух заданий контрольной работы.

Предназначен для студентов-заочников экономических специальностей.

Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики ПГТУ, протокол № 8 от 25.01.07.

Рецензент:

Доцент кафедры высшей математики,

Канд. физ.-мат. наук Литвин Н.В.

Рекомендовано к изданию Методическим Советом факультета информационных технологий, протокол № 7 от 21 февраля 2007 г.

Введение.

Эффективная хозяйственная деятельность в условиях рыночной экономики невозможна без оценки связей между различными факторами и результативными показателями, выявления их тенденций и разработки экономических нормативов и прогнозов.

Бурное развитие и широкое использование вычислительной техники способствует выявлению закономерностей, связи и динамики реальных социально-экономических явлений в экономическом пространстве. Экономико-математические модели, построенные на основе статистических рядов социально-экономических процессов, имеют не только теоретическую, познавательную, но и практическую ценность в прогнозировании, планировании, управлении.

Особое место в экономической науке занимает эконометрия. В буквальном переводе эконометрия означает «измерение экономики». Однако такой перевод не отражает действительное положение вещей. Понятие эконометрии является значительно более широким, хотя измерение остается одной из ее составных частей.

Курс «Эконометрия» появился недавно в программе высших учебных заведениях Украины. К сожалению, по этому предмету недостаточно учебников, а те, которые есть, недоступны большинству студентов.

Целью этого конспекта лекций является попытка устранить эти недостатки и помочь студентам-заочникам в усвоении курса «Эконометрия».

Предмет, задачи и методы эконометрии.

Как самостоятельная дисциплина эконометрия сформировалась в 20-30-х годах ХХ столетия благодаря работам Г.Мура и Г.Шульца. До этого уже были известны попытки математической формализации экономико-статистических данных в работах В.Парето (уравнение гиперболы для описания распределения прибыли населения) и в работах Р.Хукера, А.Чупрова по корреляционному анализу экономических процессов. В первых работах в рамках эконометрии разрабатываются аналитико-статистические методы. Начиная с 30-х годов известные экономисты Я.Танберген, Л.Клейн, Р.Стоун и другие разработали модели экономики, которые описывали статистические связи производства, конечного индивидуального и конечного спроса, цен, налогов, внешней торговли, предложения рабочей силы, накопления.

К числу типовых экономико-математических моделей, которые на сегодняшний день разрабатываются и изучаются эконометрией, относятся: производственные функции, функции спроса разных групп потребителей, статистические и динамические межотраслевые модели производства, распределения и реализации продукции.

Эконометрия является синтезной дисциплиной, она объединяет в себе экономическую теорию, математическую экономику, экономическую и математическую статистику.

Эконометрия – это наука, которая изучает количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математико-статистических методов и моделей.

Этапы проведения эконометрического анализа.

В сжатом виде эконометрический анализ состоит из таких этапов:

1. Формулировка теории или гипотезы.

2. Разработка эконометрической модели для проверки этой теории.

3. Оценка параметров выбранной модели.

4. Проверка модели, статистические выводы.

5. Прогнозирование на основе полученной модели.

6. Применение модели.

Рассмотрим некоторые из этих этапов на примере известной кейнсианской модели потребления.

Формулировка теории.

Кейнс утверждал: « Фундаментальный психологический закон … заключается в том, что субъект, как правило, увеличивает потребление при возрастании дохода, но не на ту же самую величину, на которую увеличивается его доход». Короче говоря, Кейнс считал, что предельная к потреблению (МРС) является величиной изменения дохода (от 0 до 1) при изменении потребления на единицу (скажем на 1 доллар).

Разработка модели.

Несмотря на то, что Кейнс подчеркивал положительную зависимость между потреблением и доходом, он не определял строгой функциональной зависимости между этими двумя параметрами. Для упрощения эконометрист может предложить такую форму кейнсианской функции потребления:

(1)

где у – затраты на потребление; х – доход; – параметры модели; – случайная величина.

Модель (1), которая показывает линейную зависимость потребления от дохода, является примером эконометрической модели.

Парная линейная регрессия.

Связь между показателем Y и фактором Х с учетам возможных отклонений запишем в виде , где – неизвестные параметры регрессии, – случайная величина, которая характеризует отклонение параллельно оси наблюдаемых точек от линии регрессии.

Таким образом, показатель Y представляется в виде систематической составляющей и случайной составляющей величины . Зависимость , которая характеризует среднее значение показателя Y для данного значения фактора Х, называется регрессией. Можно сказать иначе. Регрессия характеризует тенденцию изменения показателя, обусловленную изменением фактора. Зависимость характеризует индивидуальное значение показателя Y с учетом возможных отклонение от средних значений.

Действительные значения параметров вычислить нельзя, так как мы имеем ограниченное число наблюдений, поэтому полученные расчетные значения параметров и являются статистическими оценками действительных параметров и . Обозначим оценки параметров соответственно через а и b. Тогда уравнение парной регрессии (рис.1) будет оценкой модели .

0 x_i x

Рис. 1.1. Отклонение теоретических значений от фактических.

Рассмотрим разность и , (i=1, n):

где – фактические, – расчетные значения показателя, – отклонение наблюдаемой точки ( ) от точки ( ) сглаживающей кривой. Метод наименьших квадратов заключается в таком подборе оценок параметров регрессии а и b, для которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений показателя от сглаживаемых будет минимальной, т.е. необходимо минимизировать :

Необходимым условием экстремума функции двух переменных является равенство нулю частных производных этой функции по переменным а и b:

Отсюда имеем:

(1.1)

Система является линейной относительно переменных а и b. Решая ее, получим:

(1.2)

Функция имеет единственную критическую точку.

Вычислим вторые производные в найденной критической точке и обозначим их А, В, С:

Если и , то в точке ( ) функция имеет минимум. Проверим это достаточное условие:

Вычислим :

Здесь соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х. Если случайная величина Х не является постоянной, то , поэтому . Поскольку , то решение (1.2) системы (1.1) является точкой минимума функции .

Коэффициент корреляции.

После того, как определены неизвестные параметры линейной регрессии, попытаемся оценить тесноту связи между зависимой переменной у и независимой х, т.е. попытаемся ответить на вопрос, насколько значимым является влияние переменной х на у. Простейшим критерием, который дает количественную оценку связи между двумя показателями, является выборочный коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле

(1.7)

где – коэффициент ковариации между х и у; – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Сумма квадратов отклонений называется остаточной дисперсией. Установим связь между этой величиной и коэффициентом корреляции. В силу формулы (1.5)

В силу (1.4 ) и (1.7) , поэтому

Если , то и поэтому случайные величины Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

Если , то и случайные величины являются независимыми. Таким образом, коэффициент корреляции служит мерой тесноты линейной корреляционной зависимости между случайными величинами Х и Y. Если абсолютная величина коэффициента близка к единице, то случайные величины связаны тесной линейной корреляционной зависимостью; если абсолютная величина близка к нулю, то линейная корреляционная зависимость отсутствует. Однако такая оценка является только качественной.

Декомпозиция дисперсий.

Наряду с коэффициентом корреляции используется еще один критерий, с помощью которого также оценивается теснота связи между двумя или большим числом показателей и проверяется адекватность построенной регрессионной модели реальной действительности. Таким образом дается ответ на вопрос, действительно ли изменение значений случайной величины Y линейно зависит именно от изменения случайной величины Х, а не происходит под действием других случайных величин. Таким критерием является коэффициент детерминации.

Прежде чем рассматривать, что представляет собой коэффициент детерминации и как он связан с коэффициентом корреляции, рассмотрим вопрос о декомпозиции дисперсий, который является центральным в статистике.

Сначала попытаемся уяснить, как можно разбить на две части отклонение фактических значений независимой переменной у от значений, которые находятся по построенной регрессионной прямой (теоретических значений).

0 x

Рис. 1.3. Декомпозиция отклонений фактических значений от теоретических.

Как видно из рисунка 1.3, такие отклонения можно записать в виде:

Отсюда

(1.10)

В статистике разность называют общим отклонением. Разность называют отклонением, которое можно пояснить, исходя из уравнения регрессии. Разность называют отклонением, которое нельзя пояснить, исходя из уравнения регрессии, или необъяснимым отклонением.

Возведем обе части равенства (1.10) в квадрат

(1.11)

Упростим вторую сумму в правой части

т.к. в силу (1.4) .

Формула (1.11) принимает вид

(1.12)

Здесь – общая сумма квадратов, которая обычно обозначается SST; – сумма квадратов ошибок, которая обозначается SSE; – сумма квадратов, которая объясняет регрессию и обозначается через SSR.

Таким образом, формулу (1.12) можно переписать в виде

Разделив обе части в формуле (1.11) на n, получим выражение для дисперсий:

(1.13)

, (1.14)

где – общая дисперсия,

– дисперсия ошибок,

– дисперсия, которая поясняет регрессию.

Разделив обе части (1.14) на , получим

(1.15)

Первое слагаемое в правой части формулы (1.15) представляет собой часть дисперсии, которую нельзя объяснить через регрессионную связь. Второе слагаемое является составной частью дисперсии, которую можно пояснить через линию регрессии.

Часть дисперсии, которая объясняет регрессию, называется коэффициентом детерминации и обозначается . Коэффициент детерминации используется как критерий адекватности модели, поскольку является мерой объяснимой силы независимой переменной х.

Таким образом, коэффициент детерминации можно записать в виде двух эквивалентных выражение:

(1.16)

или

(1.17)

Из (1.15) вытекает, что коэффициент детерминации всегда положительный и не превосходит 1 ( ).

Индексом корреляции называется квадратный корень из коэффициента детерминации.

Пример решения задачи 1 контрольной работы.

На основе статистических данных показателя и фактора найти оценки параметров линии регрессии в предположении, что стохастическая зависимость между фактором и показателем имеет вид .

Используя критерий Фишера с надежностью оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Найти:

- с надежностью доверительную зону базисных данных;

- точечную оценку прогноза;

- с надежностью интервальную оценку прогноза;

- оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза.

Построить графики:

- фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны – на одном графике;

- линии эластичности.

Исходные данные:


	1, 7	2, 28
	2, 9	2, 34
	4, 4	2, 37
	7, 8	2, 42
	10, 9	2, 46
прогноз	13, 0	?

Решение.

Преобразуем уравнение линии регрессии:

и заменой переменных , приведем уравнение регрессии к линейному:

Исходные данные преобразуем с помощью формул

, . (2.1)

Оценки параметров и линейной модели найдем по формулам:

; (2.2)

; (2.3)

где обозначено

; ;

; .

Для оценки параметров составим расчетную таблицу 2.1

На основе данных из таблицы для находим

;

По формулам (2.2), (2.3) находим

;

Получили уравнение стохастической зависимости (2.1) между и :

которое соответствует зависимости между и :

Для оценки адекватности полученной модели исходным данным найдем теоретические значения

, а затем (см. табл. 2.1)

и величину -критерия

Вычисление величин сведем в расчетную таблицу 2.1.

Находим

Вычислим коэффициент детерминации

Результаты вычисления коэффициента детерминации по различным формулам практически совпадают, что свидетельствует о правильности вычислений.

Найдем индекс корреляции (корреляционное отношение) .

Для проверки вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера по формуле

Значения , найденные по различным формулам почти совпадают.

По таблице критических точек распределения для и степеней свободы и находим . Так как , то считаем, что построенная модель адекватна исходным данным.

Для построения доверительной зоны исходных данных построим сначала доверительную зону для преобразованных данных . Теоретические значения найдены выше (см. табл. 2.1). Найдем интервальные оценки для :

где обозначено

Величина вычислена ранее: . Вычисление сведем в таблицу 2.1:

Величина находится по таблице критических точек распределения Стьюдента для и . Из таблицы находим .

Находим .

Формула для вычисления принимает вид

Значения и записываем в табл. 2.1. Далее находим и границы доверительной зоны исходных данных

Результаты вычислений заносим в таблицу 2.1.

Точечную оценку прогноза найдем по формуле

Таким образом, с вероятностью , .

Найдем коэффициент эластичности заданной модели и его оценки при заданных и . По определению коэффициент эластичности равен

Для получаем

Оценки при заданных имеют вид

Аналогично,

Значения и заносим в таблицу 2.1.

Строим графики фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны:

Строим график эластичности:

Выводы:

1. Уравнение регрессии имеет вид . Поскольку , то с вероятностью 0, 95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основе этой модели можно выполнять экономический анализ и находить значения прогноза.

2. Для точечная оценка прогноза имеет значения . С надежностью 0, 95 прогноз показателя будет иметь значения в интервале (2, 44; 2, 53).

3. Для прогноза изменение фактора на 1% вызовет изменение показателя на 0, 07%.

Таблица 2.1


	1, 7	2, 28	1, 3038	5, 1984	1, 70	27, 0234	6, 7777	5, 2616	2, 2938	0, 0064
	2, 9	2, 34	1, 7029	5, 4756	2, 90	29, 9822	9, 3244	5, 4234	2, 3288	0, 0020
	4, 4	2, 37	2, 0976	5, 6169	4, 40	31, 5496	11, 7820	5, 5834	2, 3629	0, 0001
	7, 8	2, 42	2, 7928	5, 8564	7, 80	34, 2974	16, 3558	5, 8651	2, 4218	0, 0023
	10, 9	2, 46	3, 3015	6, 0578	10, 90	36, 6969	19, 9998	6, 0713	2, 4640	0, 0081
	13, 0		3, 6056					6, 1945	2, 4889
	27, 7	11, 87	11, 1986	28, 2051	27, 70	159, 5495	64, 2397			0, 0189
средние	5, 54	2, 374	2, 2397	5, 6410	5, 54	31, 9099	12, 8479

(продолжение таблицы 2.1.)


	0, 00019	0, 0088	0, 00399	0, 8759	0, 1207	5, 1409	5, 3823	2, 27	2, 32	0, 038
	0, 00013	0, 0012	0, 00272	0, 2882	0, 092	5, 3314	5, 5154	2, 31	2, 35	0, 045
	0, 00005	0, 0000	0, 00112	0, 0202	0, 075	5, 5084	5, 6584	2, 35	2, 38	0, 051
	0, 00000	0, 0021	0, 00008	0, 3059	0, 093	5, 7721	5, 9581	2, 40	2, 44	0, 060
	0, 00002	0, 0074	0, 00018	1, 1274	0, 131	5, 9403	6, 2023	2, 43	2, 49	0, 067
				1, 8657	0, 2295	5, 9660	6, 4230	2, 44	2, 53	0, 069
	0, 00039	0, 0195	0, 00809
средние

Глава Ш.

Пример решения задачи 2 контрольной работы.

Задание № 1. Для выборок величин (данные приведены в таблице 3.4) найти выборочные средние и выборочные дисперсии и выборочные средние квадратичные отклонения по формулам при :

Решение. Для данных выборочных величин находим суммы по формулам и результаты заносим в таблицу 3.4.

Таблица 3.4.

№
	3, 9	4.1	5, 1	15, 21	16, 81	26, 01
	3, 7	2, 2		13, 69	4, 84
	3, 5	2, 7	5, 5	12, 25	7, 29	30, 25
	4, 3	3, 6	6, 1	18.49	12, 96	37, 21
	3, 8	3, 9	6, 9	14, 44	15, 21	47, 61
	2, 8	0, 6	3, 8	7, 84	0, 36	14, 44
	2, 9	2, 1	5, 5	8, 41	4, 41	30, 25
	4, 8	3, 5	6, 9	23, 04	12, 25	47, 61
	3, 8	4, 4	5, 5	14, 44	19, 36	30, 25
	3, 2	3, 8	5, 3	10, 24	14, 44	28, 09
	4, 8	3.7	6, 4	23, 04	13, 69	40, 96
	3, 6	2, 9	4, 4	12, 96	8, 41	19, 36
	3, 6	3, 2	7, 1	12, 96	10, 24	50, 41
	3, 4	4, 2	5, 5	11, 56	17, 64	30, 25
	3, 2	2, 7	5, 7	10, 24	7, 29	32, 49
	2, 8	2, 6	4, 7	7, 84	6, 76	22, 09
	1, 9	1.6	4, 3	3, 61	2, 56	18, 49
	3.7	2, 3	5, 6	13, 69	5, 29	31, 36
	3, 4	3, 1	6, 3	11, 56	9, 61	39, 69
	4.7	3, 7	7.2	22, 09	13, 69	51, 84
	71, 8	60, 9	111, 8	267, 6	203, 11	644, 66

По полученным данным, используя формулы, находим выборочные средние:

Средние квадратов:

Выборочные дисперсии:

Выборочные средние квадратичные отклонения:

Задание №2. Используя полученные данные, найти выборочные коэффициенты корреляции:

Расчетные формулы

где

Результаты записать в виде корреляционной матрицы:

Используя критерий Стьюдента, проверить значимость коэффициентов для чего вычислить при и сравнить с критическим значением (для ). Коэффициент будет значимым, если

Решение: Промежуточные результаты занесем в таблицу 3.5:

Таблица 3.5

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒