Нелинейные по параметрам парные уравнения регрессии.

 

1. Рассмотрим нелинейное уравнение регрессии . Прологарифмируем обе части равенства . Выполнив замену , получаем линейное уравнение регрессии . Коэффициент эластичности вычисляется по формуле

.

2. Прологарифмируем обе части уравнения регрессии

.

Сделаем замену . В результате приходим к линейному уравнению регрессии . Коэффициент эластичности вычисляется по формуле:

.

3. Аналогично приводится к линейному уравнению регрессии , . Сделав замену , получим . Коэффициент эластичности находится по формуле

.

4. Рассмотрим уравнение . После логарифмирования и замены приходим к линейному уравнению регрессии . Коэффициент эластичности

.

5. Рассмотрим показательно-степенную регрессию . После логарифмирования и замены приходим к линейному уравнению регрессии . Коэффициент эластичности находится по формуле

.

6. Рассмотрим нелинейную регрессию . Перепишем уравнение в виде . После замены , приходим к линейному уравнению регрессии . Коэффициент эластичности вычисляется по формуле

.

Во всех случаях, рассмотренных в п.1.1, 1.2 по крайней мере, в результате одной из замен нелинейное уравнение регрессии сводится к линейному . В соответствии с (1.3), (1.5) формулы для оценки параметров принимают вид

.

После этого из уравнений находим а и b и записываем уравнение регрессии в исходных переменных х и у.

Для оценки адекватности нелинейной модели парной регрессии также используется критерий Фишера. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

,

где – дисперсия ошибок (ср. с SSE, MSE)

,

– сумма квадратов, которая объясняет регрессию (ср. с SSR, MSR)

.

По заданному уровню значимости и числу степеней свободы по таблице находится критическое значение . Если , то с надежностью можно считать, что рассматриваемая математическая модель адекватна экспериментальным данным. В противном случае рассматриваемую парную регрессию нельзя считать адекватной.

Коэффициент детерминации вычисляется по одной из формул

.

После этого можно вычислить индекс корреляции (корреляционное отношение).

Отметим, что наблюдаемое значение критерия Фишера можно выразить и через коэффициент детерминации по формуле

,

где для парного уравнения регрессии .

Доверительный интервал для промежуточных значений и прогноза находится следующим образом:

1) сначала находится доверительный интервал для промежуточных значений и доверительный интервал для прогноза линейного уравнения регрессии , где

где .

(ср. соответственно с формулами (1.25), (1.24));

2) затем по найденным значениям , используя связь между переменными и и y из уравнения , находим соответствующие значения переменной y.

 

Пример решения задачи 1 контрольной работы.

 

На основе статистических данных показателя и фактора найти оценки параметров линии регрессии в предположении, что стохастическая зависимость между фактором и показателем имеет вид .

Используя критерий Фишера с надежностью оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Найти:

- с надежностью доверительную зону базисных данных;

- точечную оценку прогноза;

- с надежностью интервальную оценку прогноза;

- оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза.

Построить графики:

- фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны – на одном графике;

- линии эластичности.

Исходные данные:

 

	1, 7	2, 28
	2, 9	2, 34
	4, 4	2, 37
	7, 8	2, 42
	10, 9	2, 46
прогноз	13, 0	?

Решение.

 

Преобразуем уравнение линии регрессии:

,

и заменой переменных , приведем уравнение регрессии к линейному:

.

Исходные данные преобразуем с помощью формул

, . (2.1)

Оценки параметров и линейной модели найдем по формулам:

; (2.2)

; (2.3)

где обозначено

; ;

; .

 

Для оценки параметров составим расчетную таблицу 2.1

 

На основе данных из таблицы для находим

 

;

 

;

 

;

 

;

 

.

 

По формулам (2.2), (2.3) находим

;

 

.

Получили уравнение стохастической зависимости (2.1) между и :

 

,

 

которое соответствует зависимости между и :

 

.

 

Для оценки адекватности полученной модели исходным данным найдем теоретические значения

, а затем (см. табл. 2.1)

 

и величину -критерия

,

Вычисление величин сведем в расчетную таблицу 2.1.

Находим

Вычислим коэффициент детерминации

Результаты вычисления коэффициента детерминации по различным формулам практически совпадают, что свидетельствует о правильности вычислений.

Найдем индекс корреляции (корреляционное отношение) .

Для проверки вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера по формуле

Значения , найденные по различным формулам почти совпадают.

По таблице критических точек распределения для и степеней свободы и находим . Так как , то считаем, что построенная модель адекватна исходным данным.

Для построения доверительной зоны исходных данных построим сначала доверительную зону для преобразованных данных . Теоретические значения найдены выше (см. табл. 2.1). Найдем интервальные оценки для :

,

где обозначено

,

 

.

 

Величина вычислена ранее: . Вычисление сведем в таблицу 2.1:

Величина находится по таблице критических точек распределения Стьюдента для и . Из таблицы находим .

Находим .

Формула для вычисления принимает вид

.

Значения и записываем в табл. 2.1. Далее находим и границы доверительной зоны исходных данных

Результаты вычислений заносим в таблицу 2.1.

Точечную оценку прогноза найдем по формуле

Таким образом, с вероятностью , .

 

Найдем коэффициент эластичности заданной модели и его оценки при заданных и . По определению коэффициент эластичности равен

.

Для получаем

 

Оценки при заданных имеют вид

Аналогично,

Значения и заносим в таблицу 2.1.

Строим графики фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны:

 

 

Строим график эластичности:

 

 

 

Выводы:

1. Уравнение регрессии имеет вид . Поскольку , то с вероятностью 0, 95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основе этой модели можно выполнять экономический анализ и находить значения прогноза.

2. Для точечная оценка прогноза имеет значения . С надежностью 0, 95 прогноз показателя будет иметь значения в интервале (2, 44; 2, 53).

3. Для прогноза изменение фактора на 1% вызовет изменение показателя на 0, 07%.

 

 

Таблица 2.1

 

	1, 7	2, 28	1, 3038	5, 1984	1, 70	27, 0234	6, 7777	5, 2616	2, 2938	0, 0064
	2, 9	2, 34	1, 7029	5, 4756	2, 90	29, 9822	9, 3244	5, 4234	2, 3288	0, 0020
	4, 4	2, 37	2, 0976	5, 6169	4, 40	31, 5496	11, 7820	5, 5834	2, 3629	0, 0001
	7, 8	2, 42	2, 7928	5, 8564	7, 80	34, 2974	16, 3558	5, 8651	2, 4218	0, 0023
	10, 9	2, 46	3, 3015	6, 0578	10, 90	36, 6969	19, 9998	6, 0713	2, 4640	0, 0081
	13, 0		3, 6056					6, 1945	2, 4889
	27, 7	11, 87	11, 1986	28, 2051	27, 70	159, 5495	64, 2397			0, 0189
средние	5, 54	2, 374	2, 2397	5, 6410	5, 54	31, 9099	12, 8479

 

(продолжение таблицы 2.1.)

	0, 00019	0, 0088	0, 00399	0, 8759	0, 1207	5, 1409	5, 3823	2, 27	2, 32	0, 038
	0, 00013	0, 0012	0, 00272	0, 2882	0, 092	5, 3314	5, 5154	2, 31	2, 35	0, 045
	0, 00005	0, 0000	0, 00112	0, 0202	0, 075	5, 5084	5, 6584	2, 35	2, 38	0, 051
	0, 00000	0, 0021	0, 00008	0, 3059	0, 093	5, 7721	5, 9581	2, 40	2, 44	0, 060
	0, 00002	0, 0074	0, 00018	1, 1274	0, 131	5, 9403	6, 2023	2, 43	2, 49	0, 067
				1, 8657	0, 2295	5, 9660	6, 4230	2, 44	2, 53	0, 069
	0, 00039	0, 0195	0, 00809
средние

Глава Ш.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм составления уравнения реакции гидролиза
2. Виды адсорбции, ее количественные характеристики и их связь с параметрами системы
3. Дифференциальные уравнения 1 порядка
4. Дифференциальные уравнения второго порядка
5. Дифференциальные уравнения первого порядка
6. Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
8. И связь их с параметрами ступеней
9. Командный файл с параметрами
10. Лекция 8. Нелинейные системы регулирования
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами