Производственная функция Кобба-Дугласа.

Наряду с линейными уравнениями множественной регрессии в экономике широко используются и нелинейные уравнения. Чаще всего эти уравнения с помощью соответствующих замен пытаются свести к линейным.

В экономике широко используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая имеет вид:

(3.9)

где выпуск продукции; затраты труда; затраты капитала; случайная величина.

Коэффициенты имеют конкретный экономический смысл. Действительно, найдем частные коэффициенты эластичности по переменным и :

Аналогично Параметр является коэффициентом эластичности выпуска от затрат труда. Он показывает, на сколько процентов изменится выпуск продукции, если затраты труда изменятся на один процент при условии, что затраты капитала останутся баз изменений. Параметр является коэффициентом эластичности выпуска от затрат капитала при условии, что затраты труда останутся без изменений.

Сумма параметров описывает масштаб производства. Если эта сумма равна 1, то имеет место постоянный масштаб производства; если она меньше 1, то имеет место спад производства, при котором увеличение фактора приводит к спаду выпуска продукции. Если то, наоборот, наблюдается рост производства; увеличение значений факторов, например в раз, приводит к увеличению выпуска продукции больше, чем в раз.

Модель (3.9) является нелинейной, однако логарифмируя это уравнение легко свести его к линейной регрессионной модели:

Обозначив получим линейное уравнение регрессии вида (3.10).

(3.10)

Теперь, используя, описанные выше методы для линейного множественного уравнения регрессии, найдем коэффициенты , а затем запишем уравнение в виде (3.9).

Рассмотрим конкретный пример (см. , стр. 220). Имеются данные об деревообрабатывающем секторе Украины (табл. 3.2)

 

Таблица 3.2

Год	Объем продукции (млн. у.е.)	Затраты труда (млн. дней)	Затраты капитала (млн. у.е.)
	12767, 5 16347, 1 19542, 7 21075, 9 23052, 0 26128, 2 29563, 7 33376, 6 38354, 3 46868, 3 54308, 0	375, 2 402, 5 478, 0 553, 4 616, 7 695, 7 790, 3 816, 0 848, 8 873, 1 999, 2

Дальнейшие вычисления сведем в таблицу 3.3. Первые три столбца – объем продукции, затраты труда, затраты капитала Следующие три столбца получаем логарифмирование:

Уравнение регрессии будет иметь вид

Найдем среднее и дисперсии для

Найдем выборочные коэффициенты корреляции. Для этого сначала вычислим средние произведений:

 

 

Система уравнений для определения коэффициентов в стандартом масштабе принимает вид

Решая эту систему, находим Коэффициенты уравнения (3.9) в натуральном масштабе находим по формуле

Коэффициент находим по формуле

т.е.

Уравнение (3.9) принимает вид

а производственная функция Кобба-Дугласа будет иметь вид

(3.10)

Из модели (3.10) видим, что в деревообрабатывающем секторе коэффициенты выпуска продукции от труда и капитала соответственно равняются 0, 47 и 1, 4, т.е., если затраты труда при неизменном значении капитала увеличились на 1%, то выпуск продукции увеличился на 0, 47%.

Увеличение на 1% затрат капитала, когда затраты труда остались неизменными, приводит к увеличению на 1, 4% выпуска продукции. Сумма параметров свидетельствует о расширении масштаба деревообрабатывающего производства.

 

 

Таблица 3.3

	12767, 5	375, 2		9, 4547	5, 9275	11, 7862	89, 3906	35, 1348	138, 9147	56, 0421	111, 4346	69, 8623
	16347, 1	402, 5		9, 7018	5, 9977	11, 8076	94, 1250	35, 9723	139, 4191	58, 1885	114, 5549	70, 8183
	19542, 7	478, 0		9, 8804	6, 1696	11, 8425	97, 6215	38, 0641	140, 2449	60, 9580	117, 0082	73, 0636
	21075, 9	553, 4		9, 9559	6, 3161	11, 8944	99, 1197	39, 8929	141, 4777	62, 8822	118, 4197	75, 1262
	23075, 0	616, 7		10, 0465	6, 4244	11, 9428	100, 9323	41, 2727	142, 6316	64, 5426	119, 9839	76, 7254
	26128, 2	695, 7		10, 1708	6, 5449	12, 0124	103, 4446	42, 8360	144, 2974	66, 5669	122, 1752	78, 6201
	29563, 7	790, 3		10, 2943	6, 6724	12, 0831	105, 9727	44, 5211	146, 0022	68, 6878	124, 3875	80, 6237
	33376, 6	816, 0		10, 4156	6, 7044	12, 1450	108, 4849	44, 9492	147, 5004	69, 8306	126, 4973	81, 4249
	38354, 3	848, 8		10, 5546	6, 7438	12, 2349	111, 4000	45, 4792	149, 6918	71, 1785	129, 1343	82, 5097
	46868, 3	873, 1		10, 7551	6, 7721	12, 3093	115, 6721	45, 8607	151, 5188	72, 8341	132, 3877	83, 3592
	54308, 0	999, 2		10, 9024	6, 9070	12, 3872	118, 8629	47, 7060	153, 4429	75, 3026	135, 0506	85, 5579
		Суммы	112, 13	71, 18	132, 45	1145, 026	461, 69	1595, 14	727, 0137	1351, 0338	857, 6913
		Средние	10, 1938	6, 4709	12, 0405	104, 0933	41, 9717	145, 0128	66, 0922	122, 8213	77, 9719
			0, 1793	0, 0993	0, 0393
			0, 4234	0, 3151	0, 1983

 

 

Пример решения задачи 2 контрольной работы.

 

Задание № 1. Для выборок величин (данные приведены в таблице 3.4) найти выборочные средние и выборочные дисперсии и выборочные средние квадратичные отклонения по формулам при :

Решение. Для данных выборочных величин находим суммы по формулам и результаты заносим в таблицу 3.4.

Таблица 3.4.

№
	3, 9	4.1	5, 1	15, 21	16, 81	26, 01
	3, 7	2, 2		13, 69	4, 84
	3, 5	2, 7	5, 5	12, 25	7, 29	30, 25
	4, 3	3, 6	6, 1	18.49	12, 96	37, 21
	3, 8	3, 9	6, 9	14, 44	15, 21	47, 61
	2, 8	0, 6	3, 8	7, 84	0, 36	14, 44
	2, 9	2, 1	5, 5	8, 41	4, 41	30, 25
	4, 8	3, 5	6, 9	23, 04	12, 25	47, 61
	3, 8	4, 4	5, 5	14, 44	19, 36	30, 25
	3, 2	3, 8	5, 3	10, 24	14, 44	28, 09
	4, 8	3.7	6, 4	23, 04	13, 69	40, 96
	3, 6	2, 9	4, 4	12, 96	8, 41	19, 36
	3, 6	3, 2	7, 1	12, 96	10, 24	50, 41
	3, 4	4, 2	5, 5	11, 56	17, 64	30, 25
	3, 2	2, 7	5, 7	10, 24	7, 29	32, 49
	2, 8	2, 6	4, 7	7, 84	6, 76	22, 09
	1, 9	1.6	4, 3	3, 61	2, 56	18, 49
	3.7	2, 3	5, 6	13, 69	5, 29	31, 36
	3, 4	3, 1	6, 3	11, 56	9, 61	39, 69
	4.7	3, 7	7.2	22, 09	13, 69	51, 84
	71, 8	60, 9	111, 8	267, 6	203, 11	644, 66

По полученным данным, используя формулы, находим выборочные средние:

Средние квадратов:

Выборочные дисперсии:

Выборочные средние квадратичные отклонения:

Задание №2. Используя полученные данные, найти выборочные коэффициенты корреляции:

Расчетные формулы

где

Результаты записать в виде корреляционной матрицы:

Используя критерий Стьюдента, проверить значимость коэффициентов для чего вычислить при и сравнить с критическим значением (для ). Коэффициент будет значимым, если

Решение: Промежуточные результаты занесем в таблицу 3.5:

Таблица 3.5

№
	3, 9	4, 1	5, 1	15, 99	19, 89	20, 91
	3, 7	2, 2		8, 14	14, 8	8, 8
	3, 5	2, 7	5, 5	9, 45	19, 25	14, 85
	4, 3	3, 6	6, 1	15, 48	26, 23	21, 96
	3, 8	3, 9	6, 9	14, 82	26, 22	26, 91
	2, 8	0, 6	3, 8	1, 68	10, 64	2, 28
	2, 9	2, 1	5, 5	6, 09	15, 95	11, 55
	4, 8	3, 5	6, 9	16, 8	33, 12	24, 15
	3, 8	4, 4	5, 5	16, 72	20, 9	24, 2
	3, 2	3, 8	5, 3	12, 16	16, 96	20, 14
	4, 8	3, 7	6, 4	17, 76	30, 72	23, 68
	3, 6	2, 9	4, 4	10, 44	15, 84	12, 76
	3, 6	3, 2	7, 1	11, 52	25, 56	22, 72
	3, 4	4, 2	5, 5	14, 28	18, 7	23, 1
	3, 2	2, 7	5, 7	8, 64	18, 24	15, 39
	2, 8	2, 6	4, 7	7, 28	13, 16	12, 22
	1, 9	1, 6	4, 3	3, 04	8, 17	6, 88
	3, 7	2, 3	5, 6	8, 51	20, 72	12, 88
	3, 4	3, 1	6, 3	10, 54	21, 42	19, 53
	4, 7	3, 7	7, 2	17, 39	33, 84	26, 64
	71, 8	60, 9	111, 8	226, 73	410, 33	351, 55

Находим

Находим выборочные коэффициенты корреляции:

 

 

Результаты запишем в виде корреляционной матрицы:

Используя критерий Стьюдента, проверим значимость коэффициентов для чего вычислим: для

для

для

Так как полученные значения больше критического значения , то коэффициенты будут значимыми.

Задание №3. Используя найденные коэффициенты корреляции, получить уравнения линейной регрессии на и на . Расчетные формулы:

Найти коэффициенты детерминации и по формулам

где

Решение: Найдем коэффициенты :

Промежуточные данные занесены в таблицу 3.6.

Таблица 3.6.

№
	3, 9	4, 1	5, 1	4, 1	3, 4	0, 51	-0, 19	0, 31	0, 2601	0, 0361	0, 0961
	3, 7	2, 2		3, 2	2, 9	-0, 39	-0, 69	0, 11	0, 1521	0, 4761	0, 0121
	3, 5	2, 7	5, 5	3, 4	3, 6	-0, 19	0, 01	-0, 09	0, 0361	0, 0001	0, 0081
	4, 3	3, 6	6, 1	3, 8	3, 8	0, 21	0, 21	0, 71	0, 0441	0, 0441	0, 5041
	3, 8	3, 9	6, 9		4, 2	0, 41	0, 61	0, 21	0, 1681	0, 3721	0, 0441
	2, 8	0, 6	3, 8	2, 5	2, 8	-1, 09	-0, 79	-0, 79	1, 1881	0, 6241	0, 6241
	2, 9	2, 1	5, 5	3, 2	3, 6	-0, 39	0, 01	-0, 69	0, 1521	0, 0001	0, 4761
	4, 8	3, 5	6, 9	3, 8	4, 2	0, 21	0, 61	1, 21	0, 0441	0, 3721	1, 4641
	3, 8	4, 4	5, 5	4, 2	3, 6	0, 61	0, 01	0, 21	0, 3721	0, 0001	0, 0441
	3, 2	3, 8	5, 3	3, 9	3, 5	0, 31	-0, 09	-0, 39	0, 0961	0, 0081	0, 1521
	4, 8	3, 7	6, 4	3, 9		0, 31	0, 41	1, 21	0, 0961	0, 1681	1, 4641
	3, 6	2, 9	4, 4	3, 5		-0, 09	-0, 59	0, 01	0, 0081	0, 3481	0, 0001
	3, 6	3, 2	7, 1	3, 7	4, 3	0, 11	0, 71	0, 01	0, 0121	0, 5041	0, 0001
	3, 4	4, 2	5, 5	4, 1	3, 6	0, 51	0, 01	-0, 19	0, 2601	0, 0001	0, 0361
	3, 2	2, 7	5, 7	3, 4	3, 6	-0, 19	0, 01	-0, 39	0, 0361	0, 0001	0, 1521
	2, 8	2, 6	4, 7	3, 4	3, 2	-0, 19	-0, 39	-0, 79	0, 0361	0, 1521	0, 6241
	1, 9	1, 6	4, 3	2, 9		-0, 69	-0, 59	-1, 69	0, 4761	0, 3481	2, 8561
	3, 7	2, 3	5, 6	3, 3	3, 6	-0, 29	0, 01	0, 11	0, 0841	0, 0001	0, 0121
	3, 4	3, 1	6, 3	3, 6	3, 9	0, 01	0, 31	-0, 19	0, 0001	0, 0961	0, 0361
	4, 7	3, 7	7, 2	3, 9	4, 3	0, 31	0, 71	1, 11	0, 0961	0, 5041	1, 2321
	71, 8	60, 9							3, 618	4, 054	9, 838

 

Уравнения линии регрессии имеют вид:

Находим коэффициенты детерминации:

Задание №4. Найти уравнение множественной регрессии на и . Для этого сначала составить и решить систему уравнений

затем найти коэффициенты по формулам

и записать уравнение регрессии

Решение. Для нашего случая система имеет вид

Найдем значения и :

Находим коэффициенты :

В нашем случае уравнение регрессии имеет вид

Задание №5. Найти коэффициент множественной детерминации

его скорректированное значение

где - число независимых переменных, проверить значимость . Для этого вычислить наблюдаемое значение

и сравнить его с критическим значением Если гипотеза об одновременном равенстве нулю коэффициентов и должна быть отвергнута, т.е. хотя бы один из коэффициентов и значимо отличаются от нуля.

Решение. Для нахождения используем данные таблиц 3.4 и 3.6, промежуточные данные занесем в таблицу 3.7.

Таблица 3.7.

№
	3, 9	4, 1	5, 1	3, 7	0, 11	0.31	0, 0121	0, 0961
	3, 7	2, 2		2, 8	-0, 79	0.11	0, 6241	0, 0121
	3, 5	2, 7	5, 5	3.5	-0, 09	-0, 09	0, 0081	0, 0081.
	4, 3	3, 6	6.1	3, 9	0, 31	0, 71	0, 0961	0, 5041
	3, 8	3, 9	6, 9	4, 2	0, 61	0, 21	0, 3721	0, 0441
	2, 8	0, 6	3, 8	2, 4	-1, 19	-0, 79	1, 4161	0, 6241
	2, 9	2, 1	5, 5	3, 3	-0, 29	-0, 69	0, 0841	0, 4761
	4, 8	3.5	6, 9	4, 1	0, 51	1.21	0, 2601	1, 4641
	3, 8	4.4	5, 5	3, 9	0, 31	0, 21	0, 0961	0, 0441
	3, 2	3, 8	5, 3	3, 7	0, 11	-0, 39	0, 0121	0, 1521
	4, 8	3, 7	6, 4		0, 41	1, 21	0, 1681	1, 4641
	3, 6	2, 9	4, 4	3, 2	-0, 39	0, 01	0, 1521	0, 0001
	3, 6	3.2	7, 1	4, 1	0, 51	0, 01	0, 2601	0, 0001
	3, 4	4, 2	5, 5	3, 9	0.31	-0, 19	0, 0961	0, 0361
	3.2	2, 7	5, 7	3, 5	-0, 09	-0, 39	0, 0081	0, 1521
	2, 8	2.6	4, 7	3, 2	-0, 39	-0, 79	0, 1521	0, 6241
	1, 9	1, 6	4, 3	2.8	-0, 79	-1, 69	0.6241	2, 8561
	3, 7	2, 3	5, 6	3, 4	-0, 19	0, 11	0, 0361	0, 0121
	3, 4	3, 1	6, 3	3, 8	0, 21	-0, 19	0, 0441	0, 0361
	4, 7	3, 7	7, 2	4, 3	0, 71	1, 11	0, 5041	1, 2321
							5, 026	9, 838

 

Находим коэффициент множественной детерминации

Его скорректированное значение

Проверим значимость . Для этого вычислим наблюдаемое значение

Так как выполняется условие т.е. то хотя бы один из коэффициентов и значимо отличаются от нуля.

Задание 6. Найти коэффициенты частной корреляции и между и одним из параметров , при исключении влияния другого. Расчетные формулы:

Проверить значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Сделать выводы.

Решение. Находим коэффициенты частной корреляции и используя данные из решения задачи №2.

Используя критерий Стьюдента, проверим значимость коэффициентов , для чего вычислим:

для

для

 

Так как в первом случае полученное значение меньше критического значения то коэффициент не будет значимым, а во втором случае полученное значение боль критического значения значит коэффициент будет значимым.

 

Задание №7. Используя критерий Дарбина - Уотсона, проверить данные на наличие автокорреляции. Для этого вычислить величины остатков и величину статистики

­

Сравнить полученные данные со значениями и , найденными по таблице (для Если имеется положительная корреляция, если отрицательная. При автокорреляция отсутствует. В остальных случаях нельзя сделать вывод ни о наличии автокорреляции, ни о ее отсутствии.

Решение. Используя исходные данные и данные задачи №5 составим таблицу 3.8, в которую занесем данные .

Вычислим величину -статистики.

Так как выполняется условие т.е. делаем вывод, что автокорреляция отсутствует.

 

 

Таблица 3.8.

	№
		3, 9	4, 1	5, 1	3, 7	0, 2	-	0, 04	-
		3, 7	2, 2		2, 8	0, 9	0, 7	0, 81	0, 49
		3, 5	2, 7	5, 5	3, 5		-0, 9		0, 81
		4, 3	3, 6	6, 1	3, 9	0, 4	0, 4	0, 16	0, 16
	3, 8	3, 9	6, 9	4, 2	-0, 4	-0, 8	0, 16	0, 64
	2, 8	0, 6	3, 8	2, 4	0, 4	0, 8	0, 16	0, 64
	2, 9	2, 1	5, 5	3, 3	-0, 4	-0, 8	0, 16	0, 64
	4, 8	3, 5	6, 9	4, 1	0, 7	1, 1	0, 49	1, 21
	3, 8	4, 4	5, 5	3, 9	-0, 1	-0, 8	0, 01	0, 64
	3, 2	3, 8	5, 3	3, 7	-0, 5	-0, 4	0, 25	0, 16
	4, 8	3, 7	6, 4		0, 8	1, 3	0, 64	1, 69
	3, 6	2, 9	4, 4	3, 2	0, 4	-0, 4	0, 16	0, 16
	3, 6	3, 2	7, 1	4, 1	-0, 5	-0, 9	0, 25	0, 81
	3, 4	4, 2	5, 5	3, 9	-0, 5		0, 25
	3, 2	2, 7	5, 7	3, 5	-0, 3	0, 2	0, 09	0, 04
	2, 8	2, 6	4, 7	3, 2	-0, 4	-0, 1	0, 16	0, 01
	1, 9	1, 6	4, 3	2, 8	-0, 9	-0, 5	0, 81	0, 25
	3, 7	2, 3	5, 6	3, 4	0, 3	1, 2	0, 09	1, 44
	3, 4	3, 1	6, 3	3, 8	-0, 4	-0, 7	0, 16	0, 49
	4, 7	3, 7	7, 2	4, 3	0, 4	0, 8	0, 16	0, 64
							5, 01	10, 92

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Б2.П. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ПРАКТИКА
2. Взаимосвязь с другими функциями организации
3. Гарантийная функция уставного капитала общества заключается в том, что стоимость чистых активов общества не может быть меньше размера уставного капитала.
4. Герой и персонаж (сюжетная функция)
5. Дисфункция сексуальная партнерская, дисгамия
6. Ж. Лакан. Функция и поле речи и языка в психоанализе.
7. Интегративная функция правовой информатики
8. Информационная функция маркетинга персонала
9. Как работать с функциями принадлежности.
10. Кейнсианская функция потребления
11. Кейнсианская функция потребления
12. Классификация правовых норм. Деление норм права по предмету правового регулирования, по функциям, объему регулирования, по характеру обязательности.