Интерполяция функции с помощью формулы Лагранжа

Содержание

1 Исходные данные. 2 2 Расчётная часть. 3 2.1 Краткие сведения из теории. 3 2.1.1 Интерполяция функции. 3 2.1.2 Экстраполяция функции. 8 2.1.3 Аппроксимация функции. 9 2.2 Ручной счёт. 11 2.2.1 Интерполяция функции с помощью формулы Лагранжа. 11 2.2.2 Интерполяция функции с помощью первой формулы Ньютона. 13 2.2.3 Интерполяция функции с помощью второй формулы Ньютона. 13 2.2.4 Экстраполяция функции с помощью первой формулы Ньютона. 13 2.2.5 Экстраполяция функции с помощью второй формулы Ньютона. 14 2.2.6 Аппроксимация функции методом неопределённых коэффициентов. 14 2.2.7 Аппроксимация функции методом наименьших квадратов. 15 Список литературы.. 16 Приложение А Листинг программы, реализованной в среде MathCAD.. 17

Исходные данные

Исследовалась кинематика прессового поршня машины литья под давлением с холодной горизонтальной камерой.

По данным осциллографирования фиксировались значения пути прессового поршня S, м в соответствующие моменты времени τ, с — таблица 1.1.

Таблица 1.1 — Данные измерений

№ опыта
τ _ХОЛ., с	0, 20	0, 40	0, 60	0, 80	1, 00	1, 20	1, 40	1, 60
S_ХОЛ., м	0, 02	0, 03	0, 11	0, 19	0, 27	0, 30	0, 33	0, 34

Задание:

а) реализация в программе MathCAD:

— провести интерполяцию функции, заданной выборками Ax и By, различными способами и определить значения функции в двух точках внутри интервала;

— провести экстраполяцию заданной функции с применением функции предсказания в пяти точках правее интервала;

— оценить степень парной корреляции данных выборок Ax и By;

— провести аппроксимацию заданной функции различными способами;

— провести фильтрацию данных выборок Ax и By;

б) ручной счёт (одно из заданий по указанию преподавателя):

— определить значение функции в одной из точек интервала [x₀, x_i] методами Лагранжа или Ньютона (задача интерполяции);

— определить значение функции в одной из точек за пределами интервала [x₀, x_i] (задача экстраполяции);

— провести аппроксимацию заданной функции полиномом 2-го порядка по трём точкам методом неопределённых коэффициентов;

— провести аппроксимацию заданной функции полиномом 1-го порядка по шести точкам методом наименьших квадратов.

Расчётная часть

Краткие сведения из теории

Интерполяция функции

Общие сведения. Основная задача интерполяции (от лат. interpolar – обновлять) – нахождение значений таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана или не может быть рассчитана аналитически.

В ходе интерполяции заданная функция f(x) заменяется другой – интерполяционной L(x), приближённой к исходной и проходящей через заданные точки – узлы интерполяции. С помощью интерполяционной формулы можно рассчитать значение исходной функции в любой точке внутри интервала.

Для повышения степени точности вычислений методом интерполяции исходной функции необходимо решить три главные проблемы:

— выбора интерполяционной функции L(x);

— оценки погрешности интерполяции R(x);

— размещение узлов интерполяции x₀, x₁, x₂, x₃, …, х_i, …, x_n_-1, x_n для обеспечения наибольшей возможной точности восстановления исходной функции.

Постановка задачи. Предположим, что задано различных точек плоскости с координатами:

Требуется найти функцию , значения которой при данных значениях абсциссы x в точности равны соответствующим ординатам заданных точек:
, т.е. нужно найти линию, описываемую уравнением , проходящую через заданную точку (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – Иллюстрация к постановке задачи интерполяции

Существует бесконечное число линий, проходящих через заданную точку. Потребуем, чтобы искомая линия была простейшей, т.е. значения функции, задающие эту линию, должны находиться при помощи простейших операций (сложения, умножения и т.д.). Этому требованию отвечают многочлены (полиномы), т.е. выражения вида:

. (2.1)

Зная численные значения коэффициентов многочлена, мы можем найти его ординату при любом значении переменной х. Наконец, из двух многочленов условимся считать простейшим тот, степень которого ниже.

Итак, приходим к задаче о полиномиальной интерполяции: пусть даны различных чисел x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n и соответствующих им чисел y₀, y₁, y₂, y₃, …, y_n, требуется найти многочлен f(x) наименьшей возможной степени, удовлетворяющий условиям:

. (2.2)

1) Интерполяция методом Лагранжа для произвольно расположенных узлов. Для решения предложенной задачи зафиксируем одну ординату y₂, а остальные будем считать равными нулю (рисунок 3.2), т.е. заданным значениям абсцисс x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n ставятся в соответствие значения ординат y₀ = 0, y₁ = 0, y₂ = y₂,
y₃ = 0, …, y_n = 0. Из свойств многочленов следует, что многочлен, обращающийся в ноль в n разных точках, т.е. имеющий n различных корней, должен делиться на каждую из n разностей:

, (2.3)

Рисунок 3.2 – Иллюстрация к методу Лагранжа
для произвольно расположенных узлов

а, следовательно, и на произведение этих разностей, т.е. его степень не может быть ниже n. В таком случае многочлен должен иметь вид:

. (2.4)

Из условия определим значение const:

, (2.5)

таким образом, находим:

. (2.6)

В полученном выражении никакого особого преимущества х₂ не имеет, мы можем приписать эту особую роль любому x_i, т.е. если абсциссам x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n поставить в соответствие значения y, указанные в любой из следующих строк:

y₀, 0, 0, 0, 0, …, 0,

0, y₁, 0, 0, 0, …, 0,

0, 0, y₂, 0, 0, …, 0, (2.7)

0, 0, 0, y₃, 0, …, 0,

……………………

0, 0, 0, 0, 0, …, y_n,

то выражение для многочлена, принимающего при соответствующих значениях абсцисс численные значения, выписанные в одной из строк, будет аналогично рассмотренному, т.е.:

(2.8)

Общее решение является суперпозицией (суммой) частных решений (2.8):

(2.9)

Выражение (2.9) есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

2) Интерполяция методом Ньютона. а) Первая интерполяционная формула Ньютона. Пусть для функции y = f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной: x_i = x_i + ih (i = 0, 1, 2, …, n), где h – шаг интерполяции. Требуется подобрать полином L_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения:

L_n(x_i) = y_i, при i = 0, 1, …, n. (2.10)

Условие (2.10) эквивалентны тому, что:

, при m = 0, 1, 3, …, n. (2.11)

Следуя Ньютону, будем искать полином в виде:

L_n(x) = a₀ + a₁∙ (x – x₀) + a₂∙ (x – x₀)∙ (x – x₁) + a₃∙ (x – x₀)∙ (x – x₁)∙ (x – x₂) + … +

+ a_n∙ (x – x₀)∙ (x – x₁)∙ (x – x₂)∙ …∙ (x – x_n-1). (2.12)

Пользуясь обобщенной степенью, выражение (2.10) примет вид:

L_n(x) = a₀ + a₁∙ (x – x₀)^[1] + a₂∙ (x – x₀)^[2] + a₃∙ (x – x₀)^[3] + … + a_n∙ (x – x₀)^[ⁿ^] (2.13)

Наша задача состоит в определении коэффициентов a_i (i = 0, 1, 2, …, n) полинома L_n(x). Полагая x = x₀ в выражении (2.13), получим:

L_n(x₀) = y₀ = a₀. (2.14)

Чтобы найти коэффициент a₁, составим первую конечную разность:

. (2.15)

Полагая в последнем выражении x = x₀, получим:

, (2.16)

откуда . (2.17)

Для определения коэффициента а₂ составим конечную разность второго порядка:

. (2.18)

Положив x = x₀, получим:

, (2.19)

откуда . (2.21)

Последовательно продолжая этот процесс, мы обнаружим, что:

, (2.21)

где положено 0! = 1 и .

Подставляя найденные значения коэффициентов a_i в выражение (2.13), получим интерполяционный полином Ньютона:

. (2.22)

Для практических целей интерполяционную формулу Ньютона (2.22) записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём переменную t, равную:

, (2.23)

тогда

(2.24)

Подставляя эти выражения в формулу (2.22), получим:

, (2.25)

где t представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки x, исходя из точки x₀.

Это и есть окончательный вид первой инерполяционной формулы Ньютона. Формулу (2.25) выгодно использовать для интерполирования функции y = f(x) в сторону увеличения х_i правее х₀ (интерполяция вперёд).

б) Вторая интерполяционная формула Ньютона. Первая интерполяционная формула неудобна для интерполирования в конце интервала. Пусть имеем систему значений функции:

, (2.26)

где i = 0, 1, 2, …, n,

для равноотстоящих значений аргумента:

x_i = x₀ + ih. (2.27)

Построим интерполирующий полином следующего вида:

(2.27)

или, используя обобщенную степень, получаем:

(2.28)

Наша задача состоит в определении коэффициентов a₀, а₁, а₂, а₃, …, a_n таким образом, чтобы были выполнены равенства:

, (2.29)

где i = 0, 1, 2, 3, …, n.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы:

, (2.30)

где i = 0, 1, 2, 3, …, n.

Положив x = x_n в формуле (2.28) будем иметь:

, (2.31)

следовательно,

а₀ = y_n. (2.32)

Далее, берём от левой и правой частей формулы (2.28) конечные разности первого порядка:

(2.33)

Отсюда, полагая x = x_n_{– 1} и учитывая соотношения (2.30), будем иметь:

. (2.34)

Следовательно:

. (2.35)

Аналогично составив вторую разность от L_n(x), получим:

(2.36)

Полагая x = x_n _– ₂, находим:

, (2.37)

и, таким образом:

. (2.38)

Характер закономерности коэффициентов a_i достаточно ясен. Применяя метод математической индукции, можно строго доказать, что:

, (2.39)

где i = 0, 1, 2, 3, …, n.

Подставляя эти значения в формулу (2.28), будем иметь окончательно:

(2.40)

Формула (2.40) носит название второй интерполяционной формулы Ньютона.

Для удобства записи введём некоторые обозначения:

, (2.41)

тогда:

(2.42)

Подставив эти значения в формулу (2.40), получим:

(2.43)

Это и есть окончательный вид второй инерполяционной формулы Ньютона. Формулу (2.43) выгодно использовать для интерполирования функции y = f(x) в сторону уменьшения x_i левее x_n (интерполяция назад).

Экстраполяция функции

Экстраполяция функции – нахождение значения таблично заданной функции в точках за пределами заданного интервала. Как первая так и вторая формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции у для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы.

Если х < х₀ и х близко к х₀, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём:

. (2.44)

Если х > х_n и х близко к х_n, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём:

. (2.44)

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная – для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Заметим, что операция экстраполяции менее точна, чем операция интерполяции, поэтому используется только вблизи границ заданного интервала.

Аппроксимация функции

Общие сведения. Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешностей в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить график точно через все точки, как при интерполяции) или при необходимости получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется количественной мерой – критерием аппроксимации. Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от заданных (экспериментальных):

, (2.45)

где у_i – заданные табличные значения функции;

– расчетные значения по аппроксимирующей функции;

– весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-й точки.

Квадратичный критерий обеспечивает дифференцируемость и единственность решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

Менее распространен критерий максимального отклонения:

. (2.46)

Это обусловлено вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости и дифференцируемости функции.

Обычно в ходе аппроксимации выполняется перебор различных аппроксимирующих функций (шаблонов) и выбор из них наилучшей. Иногда структура аппроксимирующей функции задается. В любом случае решается задача минимизации критерия аппроксимации.

Основными методами аппроксимации являются: метод наименьших квадратов (МНК) и метод равномерного приближения. Первый ориентируется на использование квадратичного критерия аппроксимации при b = b_i = 1, а второй – критерия максимального отклонения. Реже применяют графический метод, метод выравнивания и метод неопределенных коэффициентов. В условиях компьютерной обработки данных часто применяют медиан-медианный метод с квадратичным критерием, для которого .

1) Аппроксимация функции методом неопределённых коэффициентов. Необходимо построить аппроксимирующую функцию (k – степень полинома) по трём точкам x₀, х₁, х₄. Аппроксимацию провести полиномом 2-й степени, требуется найти коэффициенты а₀, а₁, а₂ полинома:

. (2.47)

Соответственно, имеем систему уравнений:

(2.48)

Подставив выражение (2.47) в (2.48) получим систему алгебраических уравнений с тремя неизвестными а₀, а₁, а₂.

(2.49)

В матричной форме данная система будет выглядеть так:

. (2.50)

Решение системы находится по формуле:

а = А^–1 ∙ В, (2.51)

где А^–1 – обратная матрица коэффициентов при а_i.

Определитель матрицы А находится следующим образом:

Если detА ≠ 0, то для матрицы А существует обратнаяматрица.

Присоединённая матрица А^* к матрице А находится следующим образом:

Необходимо заметить, что в присоединённой матрице элементы, сумма коэффициентов которых равна нечётному числу, меняют свой знак на противоположный (с₂₁, с₁₂, с₃₂, с₂₃).

Обратная матрица А^-1 находится по формуле:

Далее по формуле (2.51) находятся искомые значения функции.

Ошибка аппроксимации неопределённых коэффициентов вычисляется по соотношению:

. (2.52)

2) Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (МНК). Необходимо провести аппроксимацию функции по шести точкам (n = 5, при i = 0…n) полиномом 1-й степени (прямой). В данном случае требуется определить коэффициенты b₀ и b₁ аппроксимирующего полинома :

. (2.53)

Идея метода заключается в нахождении аппроксимирующей функции из условия минимальности квадратов отклонений этой функции в данных точках от соответствующих табличных значений. Математически идея МНК заключается в нахождении коэффициентов b₀ и b₁ из условия минимальности суммы квадратов отклонений как функции многих переменных:

. (2.54)

Необходимым условием минимума функции S(b₀, b₁) является равенство нулю её частных производных. Следовательно, для нахождения коэффициентов b₀ и b₁ получим систему линейных алгебраических уравнений:

(2.55)

В матричной форме полученная система нормальных уравнений МНК имеет вид:

, или А[2, 2]∙ b[1, 2] = С[1, 2]. (2.56)

Решение такой системы можно найти по формуле:

b = A^–1 ∙ C, (2.57)

где A^–1 – обратная матрица коэффициентов при b_i.

Ошибка аппроксимации МНК определяется по соотношению (2.52).

Ручной счёт

Список литературы

1. Леушин, И.О. Лабораторный практикум по методам математического моделирования: Учебное пособие/ И.О. Леушин. — Н.Новгород: Изд-во «НГТУ», 2007. — 122 с.

2. Леушин, И.О. Моделирование процессов и объектов в металлургии: учебник для студентов вузов/ И.О. Леушин. — Н.Новгород: Изд-во «НГТУ им. Р.Е. Алексеева», 2010. — 181 с.

3. Леушин, И.О. Математическая обработка результатов экспериментов: методические указания к выполнению расчётно-графической работы/ И.О. Леушин, В.А. Решетов. — Н.Новгород: Изд-во «НГТУ», 2001. — 35 с.

Приложение А

(обязательное)

Листинг программы, реализованной в среде MathCAD

Лабораторная работа №2 Приёмы вторичной математической обработки данных Вариант № Группа: ФИО студента: Задание: 1) провести интерполяцию функции, заданной выборками Ах и Ву, различными способами и определить значения функции в двух точках внутри интервала; 2) провести экстраполяцию заданной функции с применением функции предсказания в пяти точках правее интервала; 3) оценить степень парной корреляции данных выборок Ах и Ву; 4) провести аппроксимацию заданной функции различными способами; 5) провести фильтрацию данных выборок Ах и Ву. Исходные данные:

Расположение точек заданной функции в поле хОу

Линейная интерполяция заданной функции

Значения функции в двух точках внутри интервала

Интерполяция заданной функции линейными сплайнами

Значения функции в двух точках внутри интервала

Интерполяция заданной функции квадратичными сплайнами

Значения функции в двух точках внутри интервала

Интерполяция заданной функции кубическими сплайнами

Значения функции в двух точках внутри интервала

Эксраполяция заданной функции функцией предсказания

< = Количество значений выборки Ву, по которым проводится экстраполяция

< = Количество точек для экстраполяции за пределами интервала

< = Длина выборки Ву

< = Значения функции в пяти точках справа от интервала

Оценка степени парной корреляции данных выборок Ах и Ву

Такое значение коэффициента парной корреляции свидетельствует о том, что связь между элементами выборок Ах и Ву близка к функциональной. Аппроксимация заданной функции полиномом 2-й степени прямым применением метода наименьших квадратов

Аппроксимация заданной функции полиномом 4-й степени прямым применением метода наименьших квадратов

Линейная регрессия данных выборок Ах и Ву

Линейная регрессия методом наименьших квадратов

Вычисление коэффициентов полинома

Линейная регрессия медтан-медианным методом

Вычисление коэффициентов полинома

Полиномиальная регрессия данных выборок Ах и Ву

Полиномиальная регрессия естественным аппроксимирующим полиномом 4-й степени

Полиномиальная регрессия участками квадратичных полиномов

Регрессия единственной аппроксимирующей логарифмической функцией

Аппроксимация заданной функции методом линейной регрессии общего вида Задание линейной комбинации функции

Аппроксимация заданной функции методом нелинейной регрессии общего вида Задание вида функции Первый элемент содержит приближающую функцию, остальные - её частные производные по параметрам