Асимптоты графика функции и их отыскание

Определение. Прямая х = х₀ называется вертикальной асимп­то­­той графика функции y = f (x), если точка х₀ является точкой разрыва второго рода этой функции.

Таким образом, задача отыскания вертикальных асимптот сводится к задаче отыскания таких точек х₀, в которых либо правый, либо левый, либо оба сразу пределы функции бесконечны.

ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет вертикальную асимп­тоту х = 0, т.е. ось Oy, т.к. График этой функции приведен на рис. 10:

Рис. 10.

Определение. Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) при , если .

Задача отыскания горизонтальных асимптот, очевидно, сводится к нахождению указанных в определении пределов.

ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет горизонтальную асимп­тоту y = 0, т.к. (рис. 10).

Определение. Прямая y = kx + b называется наклонной асимп­тотой графика функции y = f (x) при , если параметры k и b уравнения этой прямой найдены по формулам:

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то наклонные асимптоты отсутствуют. Кроме того, наклонные асимптоты имеет смысл искать только в том случае, когда отсутствуют горизонтальные асимптоты.

ПРИМЕР: Для функции существует наклонная асимптота с уравнением y = x + 2, т.к. вычисления по формулам определения дают:

Общая схема исследования функции и построения

Эскиза ее графика

Исследование заданной функции y = f (x) и построение эскиза ее графика целесообразно проводить по следующей схеме.

1). Найти область определения (существования) функции, а также точ­ки разрыва функции, если таковые имеются.

2). Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3). Определить вид функции (четная, нечетная, периодическая, общего вида) в целях упрощения построения эскиза ее графика.

4). Найти асимптоты графика функции, если таковые имеются. Реко­мендуется отыскивать их в следующей последовательности: вертикальные, го­ризонтальные, наклонные.

5). Вычислить первую производную функции f′ (x). Решив уравнение f′ (x) = 0, найти стационарные точки (точки возможного экстремума). Исследуя знаки производной на различных промежутках и в окрестностях стационарных точек, найти участки монотонности функции и точки экстремума, если таковые имеют­ся.

6). Вычислить вторую производную функции. Решив уравнение f″ (x) = 0, найти критические точки (точки возможного перегиба). Исследуя знаки второй производной на различных промежутках и в окрестностях критических точек, найти участки постоянства направлений выпуклости и точки перегиба графика функции, если таковые имеются.

7). Вычислить значения функции в найденных точках экстремума и перегиба, а также, при необходимости, и в некоторых добавочных точках.

8). По результатам исследования, т.е. после выполнения п.п. 1 ¸ 7, пост­роить эскиз графика функции.

ПРИМЕР: По приведенной выше схеме провести исследование и постро­ить эскиз графика функции: .

Решение. 1). Областью определения данной функции является мно­жество всех действительных чисел, за исключением точек х = − 2 и х = 2 в ко­торых знаменатель обращается в нуль. Нетрудно убедиться в том, что исключенные точки являются точками разрыва второго рода.

2). Поскольку при x = 0 и y = 0, график функции пересекает обе оси координат сразу в единственной точке – начале координат.

3). Поскольку числитель и знаменатель выражения для функции содержат только квадраты аргумента, данную функцию следует считать четной, т.е. ее график должен иметь осевую симметрию относительно оси ординат.

4). Для нахождения асимптот вначале используем результаты выполне­ния п. 1, т.е. факт, что точки и являются точками разрыва второго рода. Это означает, что график нашей функции имеет две вертикальные асимп­тоты с уравнениями: и .

Для отыскания горизонтальных асимптот с учетом четности заданной функции вычислим предел: Это означает, что график нашей функ­ции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением

Поскольку найдена горизонтальная асимптота поиски наклонной асим­п­тоты, как отмечалось выше, смысла не имеют.

5). Для нахождения стационарных точек (точек возможного экстрему­ма) вычислим первую производную нашей функции:

Решив уравнение: − 8х = 0, получим единственную стационарную точ­ку х = 0. Исследование знаков первой производной (рис. 11) показывает, что на интервалах (- ¥, - 2) и (- 2, 0) функция возрастает, а на интервалах (0, 2) и (2, +¥ ) – убывает. Следовательно, в точке x = 0 функция имеет макси­мум.

Рис. 11.

6). Для нахождения критических точек и промежутков постоянства направления выпуклости вычислим вторую производную функции:

Поскольку вторая производная в нуль не обращается, то критических точек и, следовательно, точек перегиба график данной функции не имеет. Иссле­дование знаков второй производной (рис. 12) показывает, что на интер­валах (- ¥; - 2) и (2; + ¥ ) график функции имеет направление выпуклости вниз, а на интервале (− 2; 2) – вверх.

Рис. 12.

7). Как следует из результатов п. 2, значение функции в точке максиму­ма, т.е. в точке x = 0, равно нулю.

8). По результатам исследования построим эскиз графика нашей функ­ции, как это показано на рис. 13.

Рис. 13