Альфа- и бета-распады, гамма-излучение ядер

Задача 2.19

Покоящиеся ядро ²¹³Ро испустило α -частицу с кинетической энергией Т_α = 8, 34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергию Q_α , освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра?

Решение 1). Запишем схему α -распада ядра ²¹³Ро:

.

Поскольку высвобождаемая энергия Е_α выделяется в виде кинетичской энергии продуктов распада, то при распаде покоящегося ядра ²¹³Ро

Qα = Тα + Тя.

(2.19.1)

Закон сохранения импульса

,

или

,

(2.19.2)

т.к. исходное ядро покоится. Поскольку Т_α < < m_α , а следовательно, и Т_я < < m_я, то можно использовать классическую связь между кинетической энергией и импульсом:

.

В этом случае с помощью (2.19.2) получаем, что

.

(2.19.3)

Подставив (2.19.3) в (2.19.1) и решая полученное уравнение относительно Е_α , получим

.

(2.19.4)

2). Доля кинетической энергии Т_я ядра ²⁰⁹Pb от полной энергии Q_α , высвобождаемой при α -распаде ядра ²¹³Ро, составит

.

3). Скорость ядра отдачи

=

= 3, 8·10⁵ м/с.

Задача 2.20

Распад ²²⁶Th ядер происходит из основного состояния и сопровождается испусканием α -частиц с кинетическими энергиями 6, 33; 6, 23; 6, 10 и 6, 03 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней дочернего ядра.

Решение. Построим энергетическую диаграмму α -переходов ядра ²²⁶Th. Жирными линиями обозначены основные уровни энергии материнского и дочернего ядер. Суммарная кинетическая энергия ядра отдачи ²²²Ra и α -частицы при рождении дочернего ядра в одном из возможных энергетических состояний равна, согласно (2.19.4),

.

(2.20.1)

Тогда, если энергию E₂₀ основного уровня дочернего принять за нуль, энергии уровней будут иметь следующие значения:

.

Задача 2.21

При распаде ядер ²¹²Ро испускаются четыре группы α -частиц: основная с кинетической энергией 8, 780МэВ и длиннопробежные с кинетическими энергиями 9, 492; 10, 422 и 10, 543 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней ядра ²¹²Ро, если известно, что дочерние ядра во всех случаях возникают непосредственно в основном состоянии.

Решение. Ядра ²¹²Ро, имеющие период полураспада относительно α -распада около 2·10^-7 с, рождаются в результате β -распада ядер ²¹²At, причем преимущественно в одном из возбужденных состояний. У α -активных ядер с существенно большими периодами полураспада подавляющая часть ядер сначала перейдет в основное состояние с испусканием γ -квантов, после чего испытает α ‑ распад. Однако у ядер со сравнимыми временами жизни по отношению к α -распаду и испусканию γ -квантов небольшая, но заметная часть возбужденных ядер ²¹²Ро будет испытывать α -распад из возбужденных состояний. При этом энергия α -распада увеличивается и возникающие таким образом α -частицы имеют бó льшую энергию, чем испущенные из основного состояния. Возникающая ситуация иллюстрируется с помощью диаграммы возможных энергетических переходов при α -распаде ядер ²¹²Ро. Тогда, согласно формулам (2.19.1) и (2.20.1), возможные уровни энергий ядра ²¹²Ро будут иметь следующие значения:

.

Задача 2.22

Оценить высоту кулоновского барьера для α -частиц, испускаемых ядрами ²²²Rn (закруглением вершины барьера пренебречь). Какова у этих ядер ширина барьера (туннельное расстояние) для α -частиц, вылетающих с кинетической энергией 5, 5 МэВ?

Решение. Если пренебречь линейными размерами α -частицы и считать ее точечным объектом, то кулоновский барьер будет иметь остроконечную форму. Из формулы (2.15)

Очевидно, что полученная оценка несколько завышена.

Если предположить, что кинетическая энергия α -частицы по обе стороны потенциального барьера Т_к = Т_α = 5, 5 МэВ, то ширина барьера (туннельное расстояние) – область, классически недоступная α -частице, представлена на схеме отрезком R_яR₁.

Для нахождения радиуса ядра ²²²Rn воспользуемся формулой (1.1):

R_я = 1, 4·10^-13A^1/3 = 1, 4·10^-13222^1/3 = 8, 5·10^-13 см.

Положение точки R₁ на оси r найдем из условия равенства потенциальной энергии α -частицы в электрическом поле ядра ²²²Rn в точке R₁ (формула 2.15) и ее кинетической энергии Т_α :

,

если использовать формулу (2.14). Из последнего уравнения

см.

Ширина барьера составит

R₁ – R_я = (42, 8 – 8, 5)·10^-13 = 3, 4·10^-12 см.

Задача 2.23

Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте кулоновского барьера для α -частиц, испускаемых ядрами ²⁰⁹Ро, с орбитальным моментом l = 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.

Решение. Альфа-частица может покидать ядро не только двигаясь точно по линии, проходящей через центр инерции системы дочернее ядро – альфа-частица, т.е. с l = 0, но и покидать ядро, имея орбитальный момент l > 0. В этом случае кинетическая энергия α -частицы, необходимая для преодоления кулоновского барьера, уменьшается на величину центробежной энергии на границе ядра:

Т_к = Т_α – B_ц.

Таким образом, возникает центробежный барьер, который необходимо преодолеть α -частице как при входе в ядро, так и покидая его. В классической механике центробежная энергия двух тел массой M и m, вращающихся вокруг центра инерции c линейными скоростями v_M и v_m соответственно, равна

,

т.к. вращение обоих тел относительно центра инерции (точка «о») происходит с одинаковой угловой скоростью и поэтому v_M/v_m = R/r = m/M (см. схему). Продолжая преобразования, получим

,

где – приведенная масса частиц.

Учитывая, что механический (орбитальный) момент α -частицы может принимать только дискретные значения,

,

величины которых определяются орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, …, получим выражение для центробежной энергии

,

где μ – приведенная масса α -частицы и ядра ²⁰⁹Ро. Значение V_ц при r = R_я называется высотой центробежного барьера

.

(2.23.1)

Последовательное квантовомеханическое рассмотрение приводит к такому же выражению для центробежного барьера.

Используя формулу (2.14) для высоты кулоновского барьера, получим окончательно

Задача 2.24

Найти ширину первого возбужденного уровня ядер ²¹⁴Ро по отношению к испусканию γ -квантов, если известно, что при распаде с этого уровня на каждую α -частицу основной группы испускается в среднем 4, 3·10^-7 длиннопробежных α -частиц и 0, 286 γ -квантов. Постоянная распада по отношению к испусканию длиннопробежных α -частиц равна 2, 0·10⁵ с.

Решение

.

(2.24.1)

Число длиннопробежных α -частиц на одну основную

,

(2.24.2)

то же для γ -квантов:

,

(2.24.3)

где в (2.24.2) и (2.24.3): (А_α )₀и А_α – активности α -распада из основного и возбужденного состояний; А_γ – активность по отношению к испусканию γ -квантов из возбужденного состояния; N₀ и N – количество ядер ²¹⁴Ро в основном и возбужденном состояниях; (λ _α )₀, λ _α и λ _γ – соответствующие постоянные распада.

Разделив (2.24.3) на (2.24.2), получим

,

(2.24.4)

откуда

.

(2.24.5)

Подставив (2.24.5) в (2.24.1), имеем

эВ.

(2.24.6)

 

Задача 2.25

Вычислить суммарную кинетическую энергию частиц, возникающих при β -распаде покоящегося нейтрона.

Решение. Распад свободного (изолированного от действия ядерных сил) нейтрона происходит по схеме

n → p + + .

Энергия Q_β , высвобождаемая при β -распаде нейтрона, выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся частиц:

Q_β = Т = m_n – m_p – m_e - m_ν = m_n – m_p – m_e,

т.к. по современным представлениям m_ν < 18 эВи ей можно пренебречь. Тогда

Т = m_n – m_p – m_e = 939, 57 – 938, 28 – 0, 511 = 0, 78 МэВ.

Задача 2.26

Как определяются энергии, освобождаемые при β ^--распаде, β ⁺‑ распаде и К-захвате, если известны массы материнского и дочернего нуклидов и масса электрона.

Решение а). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при -распаде:

Q_β ^- = M(A, Z) – M(A, Z+1) – m_e.

Прибавим к правой части и вычтем Z·m_e:

Q_β ^- = M(A, Z) – M(A, Z + 1) – m_e + Z·m_e - Z·m_e.

Поскольку масса атома

M_aт(A, Z) = M(A, Z) + Z·m_e – Δ W_e(A, Z),

где Δ W_e(A, Z) – энергия связи всех атомных электронов, то

Q_β ^- = M_aт(A, Z) – M_aт(A, Z+1) + Δ W_e(A, Z) – Δ W_e(A, Z + 1).

Но величина |Δ W_e(A, Z) – Δ W_e(A, Z + 1)| по порядку величины равна энергии связи валентного электрона в атоме. Поэтому с хорошей точностью

Qβ - = Maт(A, Z) – Maт(A, Z + 1).

(2.26.1)

б). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при β ⁺-распаде:

Q_β ⁺ = M(A, Z) – M(A, Z – 1) – m_e.

Прибавив к правой части и вычитая Z·m_e, получим, выполняя преобразования аналогичные п. а),

Qβ + = Mат(A, Z) – Mат(A, Z – 1) – 2me.

(2.26.2)

в). Запишем выражение для нахождения энергии, освобождаемой при К-захвате:

Q_К = M(A, Z) + m_e – M(A, Z–1).

Прибавим к правой части и вычтем (Z – 1)·m_e. Выполнив преобразования, аналогичные п. а ), получим

QK = Mат(A, Z) – Mат(A, Z – 1).

(2.26.3)

Задача 2.27

Зная массу дочернего нуклида и энергию β -распада Q_β , найти массу нуклида

а) ⁶Не, испытывающего β ^--распад, Q_β = 3, 50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β ⁺-распад, Q_β = 1, 83 МэВ.

Решение а). Схема распада ⁶Не: .

Используя формулу (2.26.1), получим

M_aт(A, Z) = M_aт(A, Z+1) + Q_β =

= 6 + 0, 015126 + 3, 50/931, 5 = 6, 0189 а.е.м.

б ) Схема распада ²²Na: .

Используя формулу (2.26.2), получим

M_aт(A, Z) = M_aт(A, Z–1) + 2m_e + Q_β ^- =

= 22 – 0, 005565 + (2·0, 511 + 3, 50)/931, 5 = 21, 99944 а.е.м.

Задача 2.28

Установить, возможны ли следующие процессы:

а) β ^--распад ядер ⁵¹V (–0, 05602);

б) β ⁺-распад ядер ³⁹Са (–0, 02929);

в) К-захват для ядер ⁶³Zn (–0, 06679).

В скобках указаны избытки масс нуклидов в а.е.м.

Решение. Перечисленные процессы возможны, если энергия распада Q_β > 0. Для нахождения Q_β воспользуемся результатами решения задачи 2.26.

а). По формуле (2.26.1)

Qβ - = Maт(51V) – Ma(51Cr) = 51 + Δ (51V) – 51 – Δ (51Cr) = = –0, 05602 + 0, 055214 < 0; нет.

б). По формуле (2.26.2)

Qβ + = Mат(39Са) – Mат(39К) – 2me = 39 + Δ (39Са) – 39 – Δ (39К) – – 2me = -0, 02929 + 0, 036286 –2·5, 486·10-4 = 5, 89·10-3 > 0; да.

в). По формуле (2.26.3)

QK = Mат(63Zn) – Mат(63Cu) = 61 + Δ (63Zn) – 61 – Δ (63Cu) = (-0, 06679 + 0, 070406) > 0; да.

Задача 2.29

Ядро ³²Р испытало β -распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Определить максимальную кинетическую энергию β -частиц и соответствующую кинетическую энергию дочернего ядра.

Решение. Процесс β -распада ³²Р выглядит следующим образом:

³²Р → + ³²Si + , Q_β = 1, 71 МэВ (см. табл. 1 приложения).

Высвобождаемая энергия в этом процессе представляется в следующим виде:

.

Вылету β -частиц с максимальной кинетической энергией соответствует нулевая энергии антинейтрино и для этого случая

;	(2.29.1)
,	(2.29.2)

если материнское ядро покоится. Здесь – величины импульсов дочернего ядра и β -частицы. Поскольку кинетическая энергия β -частиц сравнима с энергией массы покоя электрона (m_e = 0, 511 МэВ), то кинетическая энергия β -частиц

.

(2.29.3)

Возведя в квадрат (2.29.2), имеем

.

(2.29.4)

Подставим (2.29.4) в (2.29.3). Затем полученное выражение в (2.29.1), найдем уравнение для нахождения Т_я:

.

(2.29.5)

Уравнение (2.29.5) приводится к квадратному уравнению, решение которого может быть найдено обычным способом. Однако решение имеет громоздкий вид. Воспользуемся тем обстоятельством, что Т_я < < Q + m_ec², и величиной Т_я в левой части уравнения (2.29.5) можно пренебречь. Тогда

эВ.

Подставляя последовательно полученные значение Т_я в правую часть уравнения (2.29.5), из левой части этого уравнения находим более точные значение Т_я. Предлагаем читателю убедиться, что оно будет мало отличаться от полученного выше. Точное значение Т_я = 76, 5 эВ.

Задача 2.30

Вычислить энергию γ -квантов, сопровождающих β -распад ядер ²⁸Al (см. схему распада ниже).

Решение. Согласно схеме распада дочернее ядро ²⁸Si рождается в возбужденном состоянии. Энергия возбуждения дочернего ядра будет равна

Е_возб = [Δ (²⁸Al) – Δ (²⁸Si)]·931, 5 – (T_β )_max =

= [0, 023073 – 0, 018092]·931, 5 – 2, 86 =

= 1, 78 МэВ,

где (T_β )_max = 2, 86 МэВ (см. табл. 1 приложения) – максимальная энергия β -спектра.

С хорошей точностью можно считать, что энергия γ -квантов

Е_γ = Е_возб = 1, 78 МэВ.

Задача 2.31

Изомерное ядро ⁸¹Se^m с энергией возбуждения 103 кэВ переходит в основное состояние, испуская или γ -квант, или конверсионный электрон с К ‑ оболочки (энергия связи К-электрона W_K = 12, 7 кэВ). Найти скорость ядра отдачи в обоих случаях.

Решение. Скорость ядра отдачи ⁸¹Se можно найти, если известен его импульс

.

(2.31.1)

Закон сохранения энергии и импульса при радиоактивном преобразовании ядра ⁸¹Se^m в ⁸¹Se выражается следующей системой уравнений:

Евозб = Еγ + Тя;	(2.31.2)
рγ = ря, => Еγ = ря·c.	(2.31.3)

Учитывая, что Т_я = , из этой системы получим

Евозб = ря· .

(2.31.4)

Пренебрегая в (2.31.4) скоростью ядра отдачи по сравнению со скоростью света, имеем

.

Подставив полученное выражение для Р_я в (2.31.1), находим

м/с.

Закон сохранения энергии и импульса для явления внутренней конверсии записывается в виде

Te = Евозб – WК – Тя;	(2.31.5)
ре = ря.	(2.31.6)

Связь между кинетической энергией конверсионного электрона и его импульсом следующая:

Te = ,

или, если учесть (2.31.6), то

Te = .

Подставляя это выражение в (2.31.5) и выполнив несложные преобразования, получим:

= Евозб – WК – Тя + mec2.

(2.31.7)

Величиной Т_я в (2.30.7) можно пренебречь, тогда

(vя)К = = = = 1, 26·103 м/с.

Задача 2.32

Свободное ядро с энергией возбуждения Е_возб = 129 кэВ переходит в основное состояние, испустив γ -квант. Найти изменение энергии γ -кванта относительно энергии возбуждения вследствие отдачи ядра.

Решение. По закону сохранения энергии и импульса

Евозб = Еγ + Тя;	(2.32.1)
рγ = ря, => Еγ = ря·c.	(2.32.2)

Из этих уравнений

.

(2.32.3)

Подставляя (2.32.3) в (2.32.1), получим

.

Поэтому относительное изменение энергии γ -кванта

.

Задача 2.33

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер ¹⁹¹Ir, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ -квантов с энергией 129 кэВ.

Решение. Максимальное (резонансное) поглощение γ -квантов может наблюдаться только тогда, когда γ -квант передает ядру энергию, равную энергии возбуждения Е_возб. Но γ -квант уносит не всю энергию Е_возб возбуждения ядра, т.к. часть этой энергии Т_я передается на отдачу ядра, испустившего γ -квант:

Для возбуждения ядра до энергии Е_возб нужно поглотить g-квант с энергией

так как согласно закону сохранения импульса не вся энергия поглощенного g-кванта переходит в энергию покоя ядра, а часть ее вызывает движения ядра. В результате энергии испущенного и поглощенного g-квантов не совпадают на величину 2Т_я и для возникновения максимального (резонансного) поглощения необходимо чтобы излучающие и поглощающие ядра имели кинетическую энергию относительного движения, равную 2Т_я.

Согласно решению предыдущей задачи (см. формулу (2.32.3))

2Т_я = ,

а относительная скорость сближения источника и поглотителя равна

м/с.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Генотип как целое. Ядерная и цитоплазматическая наследственность.
2. Закономерности наследования внеядерных генов. Цитоплазматическое наследование
3. Законы сохранения в ядерных реакциях
4. Краткая характеристика и поражающие факторы ядерного взрыва
5. О заигранной пластинке, «ядерном» конфликте и «любимой мозоли»
6. Опишите опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Дайте характеристику ядерной модели атома. Сформулируйте квантовые постулаты Бора.
7. Организация оказания первой врачебной помощи в очаге ядерного поражения
8. Организация оказания специализированной медицинской помощи в очаге ядерного поражения
9. ПОДИМПЕРИЯ ЯДЕРНЫЕ ОРГАНИЗМЫ
10. Практическая работа №1. Определение суммарной альфа- и бета-удельной активности воды.
11. Радиационная обстановка в результате разрушения ядерного энергетического реактора. Зонирование загрязненных территорий