Статистика регистрации ядерного излучения

Задача 2.34

В результате активации образовалось N₀ = 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точно n = 5 ядер за время t = Т_1/2?

Решение. Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим

Задача 2.35

Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10, 0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 или 5 импульсов.

Решение. Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точно n_i импульсов будет равно

N (n_i) = N·W(n_i),

где W(n_i) – вероятность появления точно n_i импульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.

Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N₀ и время t каждого измерения. Но величины N₀и t неизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случае n < < N₀и t < < T_1/2 биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда

N (n_i) = N ,

N (n₁) = 2000 76;

N (n₂) = 2000 .

Задача 2.36

Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100, 0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин, а также вероятность того, что абсолютное отклонение ε ₁от среднего числа имеет значение, большее 5, 0 имп./мин.

Решение. Согласно условию задачи, предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, т.к. связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ > > 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:

(2.36.1)

Тогда

Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и до равняется единице. Тогда

(2.36.2)

Используя формулу (2.36.1), вычислим

Таким образом,

Задача 2.37

Вычислить вероятность получения абсолютной погрешности измерения, превосходящей а) σ и б) 2σ, где σ – среднеквадратичная погрешность.

Решение. Предполагаем, что случайная величина x имеет нормальный закон распределения. Тогда искомая вероятность будет равна

(2.37.1)

Если в интеграле произвести замены

то получим

где Ф(α ) – интеграл ошибок, который не выражается в элементарных функциях и значения которого можно найти в подробных таблицах. Для поставленной задачи α = 1 и α = 2 и тогда Ф(α =1) = 0, 683; Ф(α =2) = 0, 955, а W( > α ) = 0, 317 и W( > 2α ) = 0, 045.

Задача 2.38

Счетчик, находящийся в поле исследуемого излучения, зарегистрировал 3600 импульсов за 10 мин. Найти а) среднюю квадратичную погрешность в скорости счета; б) продолжительность измерения, обеспечивающую определение скорости счета с погрешностью η = 1, 00%.

Решение. По определению средняя скорость счета

имп/мин.

Погрешность измерения числа импульсов является принципиально неустранимой, т.к. вызвана статистическим характером распада большого числа радиоактивных ядер. Измерение же времени обычно выполняется с относительной погрешностью, существенно меньшей, чем при измерении числа импульсов, и потому ее величиной можно пренебречь. Тогда, если предположить, что условия применения распределения Пуассона выполнены, можно воспользоваться формулой (2.10) и

имп/мин.

Относительная погрешность измерения числа импульсов

Следует отметить, что эта погрешность соответствует доверительной вероятности 68%. Если использовать значение доверительной вероятности 95%, как принято в настоящее время, то полученную величину надо удвоить (см. предыдущую задачу):

Тогда число импульсов, которое необходимо зарегистрировать для получения заданной относительной точности с доверительной вероятностью 95%, составит

Продолжительность измерений составит

мин.

Задача 2.39

При изучении интенсивности исследуемого облучения (вместе с фоном) счетчик зарегистрировал 1700 имп. за 10, 0 мин. Отдельное измерение фона дало 1800 имп. за 15, 0 мин. Найти скорость счета (имп./мин), обусловленную исследуемым облучением, и ее среднюю квадратичную погрешность.

Решение. Фоном принято называть излучение, не связанное с исследуемым излучением, действие которого на счетчик не представляется возможным исключить. Поэтому

Средняя квадратичная погрешность искомой скорости счета будет равна, согласно (2.9) и (2.12):

Задача 2.40

Скорость счета импульсов от фона составляет 15 имп./мин, а скорость счета от исследуемого препарата и фона составляет 60 имп./мин. Пусть t_ф и t_иф – время измерения фона и исследуемого препарата при наличии фона. Найти оптимальное отношение t_ф/t_иф, при котором точность определения скорости счета от самого препарата будет максимальной для заданного полного времени t_ф + t_иф.

Решение ; ,

; ;

(2.40.1)

Для нахождения отношения t_ф/t_иф, которое отвечает минимальному значению σ _и, вычислим полный дифференциал от (2.40.1) и приравняем его к нулю. Имеем

(2.40.2)

Из условия следует, что

(2.40.3)

Подставив (2.40.3) в (2.40.2), получим

Задача 2.41

Счетчик Гейгера-Мюллера с разрешающим временем τ = 0, 20 мс зарегистрировал 3, 0·10⁴ имп./мин. Оценить среднее число частиц, прошедших через счетчик за 1 минуту.

Решение. Любой счетчик ядерного излучения после регистрации частицы затрачивает некоторый промежуток времени τ для восстановления своих свойств. Время τ – время восстановления – является одной из основных характеристик счетчика ядерных частиц. Если в течение этого промежутка времени в счетчик попадает частица, то она не может быть зарегистрирована. Рисунок поясняет это явление. Частицы 1, 2, 4 будут зарегистрированы, а частица 3 – нет (просчитана), т.к. она попала в счетчик в интервал времени τ восстановления свойств счетчика.

Среднее число частиц N₀, прошедших через счетчик за это время, можно представить следующим образом:

N₀ = N + Δ N,

(2.41.1)

где N > > 1 – число частиц, зарегистрированных за время t > > τ; Δ N = – число просчитанных (незарегистрированных) частиц за суммарное мертвое время

Δ t = τ N =

(2.41.2)

т.к. τ N – суммарное время, в течение которого счетчик не мог регистрировать частицы, тогда

N₀ = N +

(2.41.3)

Разделив левую и правую части уравнения (2.41.3) на t, получим

(2.41.4)

Из последнего уравнения

имп./мин.

Задача 2.42

Какая доля η частиц, проходящих через счетчик с разрешающим временем τ =1, 0 мкс, не будет зарегистрирована при скорости счета и 1, 0·10⁵ имп./с?

Решение. Относительное количество просчитанных частиц (используем формулу (2.41.4) из предыдущей задачи) равно

тогда

η ₁ = 100·1, 0·10^-6= 10^-4 = 0, 01%,

η ₂ = 10⁵·1, 0·10^-6 = 0, 1 = 10%.

Задачи для самостоятельного решения

2.43. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ

а) останется через интервал времени, равный 10τ?

б) распадется за интервал времени между t₁= τ и t₂= 2τ?

2.44. Какая доля радиоактивного нуклида ³²Р распадется в течение второй недели (за вторую неделю) с момента приготовления препарата?

2.45. Определить вероятность распада ядра радиоактивного ядра золота ¹⁹⁸Au

а) за четверо суток; б) за четвертые сутки.

2.46. Во сколько раз вероятность распада ядер радиоактивного ¹²⁸I в течение первых суток, больше вероятности распада за вторые сутки?

2.47. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых равен 71, 3 суток, распадется за месяц (30 суток)?

2.48. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного ⁵⁵Со, если его активность уменьшается на 4% за один час.

2.49. Сколько β -частиц испускает за один час 1, 0 мкг нуклида ²⁴Na?

2.50. Активность некоторого радионуклида уменьшается в 2, 5 раза за 7 суток. Найти его период полураспада.

2.51. В начальный момент активность некоторого радионуклида времени составляла 10, 8·10⁶ Бк. Какова будет его активность по истечению времени, равного половине периода полураспада?

2.52. Активность радиоактивного препарата уменьшилась в 250 раз. Скольким периодам полураспада Т_1/2равен протекший промежуток времени?

2.53. Активность нуклида ²⁴Na через 20 часов стала равной 1, 0·10⁹ Бк. Найти активность свежеприготовленного препарата и его удельную активность.

2.54. Для измерения активности была принята единица 1 кюри (Ки), 1 Ки = 3, 7·10¹⁰ Бк, которая соответствовала активности 1 г ²²⁶Ra. Определить период полураспада ²²⁶Ra.

2.55. Ядра ²³⁵U наряду с a-распадом (период полураспада Т_1/2 = 8, 91·10⁸ лет) испытывают спонтанное деление (среднее время жизни t = 3·10¹⁷ лет). Оценить среднее количество ядер в 1 г чистого ²³⁵U, испытывающих спонтанный распад в течение одного часа. Сколько a-распадов происходит в том же образце за один час?

2.56. Показать, что удельная активность а любого радиоактивного нуклида, не зависит от времени.

2.57. Вычислить удельные активности нуклидов ²⁴Na и ²³⁵U, периоды полураспада которых равны 15 часов и 7, 1·10⁸ лет соответственно.

2.58. Найти отношение удельной активности плутония ²³⁸Pu к удельной активности урана ²³⁶U.

2.59. 1 мг ²²⁶Ra испускает 3, 61·10⁷ α -частиц в секунду. Оценить промежуток времени (в годах), через который от первоначального количества останется одно ядро ²²⁶Ra.

2.60. Активность препарата, содержащего радионуклид ²⁴Na, через 20 ч после приготовления стала равной 2, 1·10⁹ Бк. Найти активность свежеприготовленного препарата, учитывая, что удельная активность нуклида ²⁴Na равна 3, 22·10¹⁷ Бк/г.

2.61. Древесный уголь, обнаруженный на местах стоянок древних индейцев, обладает β -активностью, обусловленной наличием нуклида ¹⁴С и равной в среднем 12, 9 распадов в минуту на 1 г углерода в образце. Активность ¹⁴С в живых деревьях не зависит от выбранного дерева и равна в среднем 15, 3 распада в минуту на 1 г углерода в живых деревьях. Определить возраст стоянок.

2.62. Содержание трития в воде из некоторой глубокой скважины составляет 33% от того количества, которое содержится в свежей дождевой воде. Сколько времени прошло с того времени, когда вода, содержащаяся в скважине, выпала в виде дождя?

2.63. Считая, что в начальный момент ядер ⁹⁰Y не было, найти отношение числа ядер ⁹⁰Sr к числу ядер ⁹⁰Y в источнике β -частиц ⁹⁰Sr – ⁹⁰Y спустя а) сутки после изготовления; б) год после изготовления. Принять, что Т_1/2(⁹⁰Sr) = 28, 6 года, а Т_1/2(⁹⁰Y) = 64, 1 часа.

2.64. Образец ²³Na облучается потоком тепловых нейтронов, в результате чего образуется 10⁸ атомов ²⁴Na в секунду. Определить максимальное число атомов ²⁴Na, которое может образоваться при облучении данным потоком тепловых нейтронов.

2.65. Радионуклид ³²Р, период полураспада которого Т_1/2 = 14, 3 суток, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью q = 3, 1·10⁹ ядер/с. Через сколько времени после начала образования этого радионуклида его активность станет А = 1, 0·10⁹ Бк?

2.66. Радионуклид ²⁷Mg, который с периодом полураспада Т_1/2= 8, 5 минут превращается в стабильный нуклид ²⁷Al, образуется с постоянной скоростью q = 1, 0·10¹⁰ ядер/с. Какая масса нуклида ²⁷Al образуется спустя месяц (30 дней) после начала его образования?

2.67. Препарат урана массой 1, 0 г излучает 1, 24·10⁴ α -частиц в секунду. Найти его период полураспада.

2.68. Радионуклид ¹²⁸I образуется с постоянной скоростью q = 7, 48·10⁹ ядер/с. Его активность через двадцать минут стала равной 3, 23·10⁹ с^-¹. Чему равен период полураспада ¹²⁸I?

2.69. Какая доля радиоактивного нуклида ³⁵S распадется за вторую неделю (в течение второй недели) с момента изготовления препарата?

2.70. Радионуклид ³²Р, период полураспада которого Т_1/2=14, 3 суток, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью q = 5, 1·10⁹ ядер/с. Чему будет равна активность радионуклида через двадцать суток после начала облучения?

2.71. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного нуклида ⁵⁵Со, если его удельная активность составляет активность уменьшается на 4% в час.

2.72. Определить энергию, выделяющуюся при α -распаде ²³⁹Pu в течение одной секунды. Количество плутония ²³⁹Pu составляет один грамм. Энергия распада 5, 14 МэВ.

2.73. Возможен ли α -распад полония ²¹⁰Ро и железа ⁵⁶Fe?

2.74. Выразить кинетическую энергию дочернего ядра, возникающего в результате α -распада материнского ядра с массовым числом А, если энергия распада равна Q_α. Найти кинетическую энергию дочернего ядра при α -распаде ядра ²¹⁰Bi.

2.75. Вычислить высоту центробежного барьера для α -частиц, вылетающих из ядра ²²²Rn с орбитальным моментом l =2. Оценить полную высоту потенциального барьера для таких α -частиц.

2.76. При α -распаде ядер ²¹²Ро с первого возбужденного уровня (см. схему в задаче 2.21) наблюдаются два конкурирующих процесса: непосредственное испускание α -частиц (длиннопробежная группа α -частиц) и испускание α -частиц после перехода возбужденного ядра в основное состояние (основная группа α -частиц). При этом на каждые 1, 0·10⁶ α -частиц основной группы испускается в среднем 35 длиннопробежных α -частиц с первого возбужденного уровня. Найти среднее время τ _γ жизни возбужденного ядра по отношению к γ -излучению, если среднее время жизни этого уровня по отношению к испусканию длиннопробежных α -частиц τ _α= 1, 6·10^{‑ 9} с.

2.77. Рассчитать энергию ядра отдачи при захвате электронов ядрами ³⁷Ar. Изобразить графически энергетический спектр нейтрино.

2.78. Вычислить максимальную энергию ядра отдачи при β -распаде ядер трития. Определить максимальную энергию β -частиц и среднюю энергию нейтрино. Средняя энергия β -частиц равна 5, 7 кэВ.

2.79. Покоящееся ядро нуклида ⁷Ве испытывает Е-захват. Дочернее ядро при этом оказывается в основном состоянии. Вычислить энергию распада и определить кинетическую энергию, которую приобретает дочернее ядро.

2.80. Определить кинетическую энергию β -частицы при распаде ядра ²⁰⁴Та, если дочернее ядро остается в покое.

2.81. Изомерное ядро ⁶⁹^mZn переходит в основное состояние, испуская γ -квант с энергией 0, 436 МэВ. Вычислить кинетическую энергию образующегося ядра.

2.82. С какой скоростью и в каком направлении следует перемещать источник γ -излучения, чтобы полностью компенсировать в поглотителе гравитационное изменение энергии γ -кванта, если источник находится над поглотителем на высоте 20 м?

Указание: вспомнить эффект Допплера.

2.83. За один час измерений зарегистрировано 12000 импульсов. Вычислить скорость счета и абсолютную и относительную погрешности определения этой величины с доверительной вероятностью 0, 68 и 0, 95.

2.84. Интенсивность регистрации фона равна интенсивности исследуемого излучения. Сколько частиц необходимо зарегистрировать, чтобы статистическая погрешность определения интенсивности исследуемого излучения не превышала 5%, если измерения выполняются оптимальным образом?

2.85. В эксперименте по определению возраста древних предметов), найденных при археологических раскопках, с помощью радиоуглеродного метода (см. задачу 2.5) обнаружено, что скорость счета составляет 14 импульсов в минуту, а скорость счета фона – 9, 5 импульсов в минуту. Сколько времени займут измерения для оценки возраста предметов с точностью 5%?

2.86. Счетчик имеет разрешающее время τ = 8·10^-6 с. При какой скорости счета просчеты не будут превышать 2%?

2.87. При облучении детектора источником №1 зарегистрированная счетчиком скорость счета составляла имп./с. При облучении источником №2 скорость счета имп./с. Скорость счета при облучение детектора одновременно обоими источниками составила =1673имп/с. Вычислить разрешающее время счетчика.

Ответы

2.43. 4, 5·10^-5; 0, 25. 2.44. 0, 205. 2.45. 0, 642; 0, 11. 2.46. 2, 2·10¹⁷. 2.47. 0, 253. 2.48. 0, 021 ч^-1; 24, 5 ч. 2.49. 1, 1·10¹⁵. 2.50. 5, 3 суток. 2.51. 7, 64·10⁶ Бк. 2.52. ≈ 8Т_1/2. 2.53. 2, 5·10⁹Бк; 3, 2·10¹⁷ Бк/г. 2.54. 1580 лет. 2.55. 2, 28·10⁸; ≈ 1. 2.56. а= λ /М_ат. 2.57. 3, 2·10¹⁷ Бк/г; 7, 9·10⁴ Бк/г. 2.58. 2, 65·10⁵. 2.59. 9, 93·10⁴ ≈ 10⁵ лет. 2.60. 5, 3·10⁹ Бк. 2.61. 1370 лет. 2.62. ≈ 20 лет. 2.63. а) 1, 68·10⁴; б) 3840. 2.64. 7, 79·10¹². 2.65. 9, 54 сут. 2.66. 2, 6·10¹⁶ ядер; 1, 2·10-6 г. 2.67. 4, 5·10⁹ лет. 2.68. 24, 5 мин. 2.69. 5, 15·10^-2. 2.70. 3, 17·10⁹ Бк. 2.71. 0, 041 час^-1; 24, 5 ч. 2.72. 1, 19·10¹⁰ МэВ. 2.73. Да; Нет. 2.74. 9, 47·10^-2 МэВ. 2.75. 0, 032 и 28, 4 МэВ. 2.76. 5, 6·10^-14 с. 2.77. 9, 6 эВ. 2.78. 1, 8 эВ; 12, 9 кэВ; 7, 2 кэВ. 2.79. 0, 862 МэВ; 57 эВ. 2.80. 0, 21 МэВ. 2.81. 1, 48 эВ. 2.82. 6, 5·10^-5 см/с; вверх. 2.83. =200 мин^-1; Δ (68%)≈ 2 мин^-1и Δ (95%)≈ 4 мин^-¹; δ (68%)≈ 1% и δ (95%)≈ 2%. 2.84. 9600. 2.85. 19 ч. 2.86. 2, 5·10^‑3 с^{‑ 1}. 2.87. 9, 7·10^{‑ 5}≈ 10^-4 с.

Ядерные реакции

Символическая запись ядерной реакции

a +A → C *→ b + B,

(3.1)

где С* – возбужденное составное ядро.

Энергетическая схема ядерной реакции для частиц с энергией покоя, отличной от нуля

(3.2)

которая протекает с образованием возбужденного составного ядра , показана на рис. 3.1. На этом рисунке – сумма энергий покоя частиц a и A до реакции, а – сумма энергий покоя частиц b и B, образовавшихся в результате реакции. Все массы выражены в энергетических единицах. – суммарные кинетические энергии частиц до и после реакции в СЦИ (система центра инерции); Q – энергия реакции,

;

(3.3)

и – энергии отделения (связи) частиц a и b относительно составного ядра .

Энергетическая диаграмма для экзоэнергетической реакция представлена на рис. 3.1а, для эндоэнергетической реакции – на рис. 3.1б.

Энергия, которая может быть передана для возбуждения составного ядра С, образующегося в процессе (3.1)

(3.4)

где – кинетическая энергия частицы а в СЦИ.

Построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния нерелятивистской частицы массой на первоначально покоившейся частице массой в ЛСК (лабораторная система координат) приведена на рис. 3.2. Величины, относящиеся к СЦИ, обозначены сверху знаком «~» (тильда). Отрезок AB представляет импульс налетаюшей частицы a в ЛСК. Точка О делит отрезок AB на две части в отношении AO/OB = m_a/M_A. Отрезки AC и CB представляют собой импульсы и частиц a и A после рассеяния в ЛСК. Отрезки OB и OE – импульсы и в СЦИ частиц a и A до столкновения. Соответственно отрезки OC и OD представляют собой импульсы и в СЦИ частиц a и A после столкновения. Углы и φ – углы рассеяния частиц a и A в соответствующих системах координат.

Построение векторной диаграммы импульсов для частиц, участвующих в ядерной реакции A(a, b)B, показано на рис. 3.3. Частица А (ядро-мишень) в ЛСК покоится. , и – импульсы в ЛСК налетающей частицы и частиц, возникающих в результате реакции, а , = = – те же импульсы в СЦИ. О – центр окружности с радиусом, равным величине импульса :

(3.5)

где – приведенная масса возникающих частиц; Q – энергия реакции (см. (3.3)). Отрезок AB представляет собой импульс налетаюшей частицы a в ЛСК. Точка О делит отрезок AB на две части в отношении масс образовавшихся частиц: AO/OB = m_b/M_B. Отрезки AC и CB – импульсы и образовавшихся частиц b и B в ЛСК. Отрезки OF и OE представляют собой импульсы и частиц a и A до столкновения в СЦИ. Соответственно отрезки OC и OD – импульсы и образовавшихся частиц b и B в СЦИ. Углы и φ – углы вылета образовавшихся частиц b и B в соответствующих системах координат.

Пороговая кинетическая энергия (Т_а)_пор налетающей частицы а в ЛСК, при которой становится возможной эндоэнергетическая ядерная реакция

(3.6)

Ядро-мишень А в ЛСК покоится, .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒