Законы сохранения в ядерных реакциях

Задача 3.1

Альфа-частица с кинетической энергией Т_α = 1, 0 МэВ упруго рассеялась на покоящемся ядре ⁶Li. Определить кинетическую энергию ядра отдачи, отлетевшего под углом φ = 30º к первоначальному направлению движения α -частицы.

Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса для упругого рассеяния:

;	(3.1.1)
.	(3.1.2)

Изобразим графически закон сохранения импульса для процесса упругого рассеяния α -частицы на покоившимся ядре ⁶Li, которое произошло в точке «о». Верхние правые индексы « ' » обозначают величины после рассеяния.

По теореме косинусов

(3.1.3)

Поскольку энергия покоя α -частиц m_αс² > > Т_α, то можно использовать классическую связь между импульсом и кинетической энергией. Тогда (3.1.3) приобретает вид

(3.1.4)

Выразим из (3.1.1), подставим в уравнение (3.1.4) и, освободившись от иррациональности, получим

МэВ.

(3.1.5)

Эта же задача может быть решена с помощью векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния, которая построена на рис. 3.1.1. Энергия ядра ⁶Li после соударения выражается через его импульс обычным образом:

(3.1.6)

Но длина отрезка CB соответствует величине импульса . Для нахождения отрезка CB используем равнобедренный треугольник COВ: СВ= 2ОВ·cosφ, тогда

Подставляя последнее выражение в (3.1.6), получим

Полученное выражение для энергии полностью совпадает с выражением (3.1.5), но получено гораздо проще, что, в конечном итоге, оправдывает применение векторной диаграммы импульсов.

Задача 3.2

Нерелятивистский дейтон упруго рассеялся на покоящемся ядре под углом 30º. Под таким же углом к направлению движения налетающего дейтона отлетело и ядро отдачи. Какому нуклиду принадлежит это ядро?

Решение. Рассмотрение кинематики упругого рассеяния позволяет определить только массовое число ядра.

Изобразим графически закон сохранения импульса. Из равнобедренного треугольника АВС находим, что

Подставляя полученные значения импульсов в закон сохранения энергии (3.1.1), получим

откуда

а.е.м.

Рассеяние ядра дейтерия произошло на протоне (ядре протия).

Задача 3.3

Построить векторные диаграммы импульсов для упругого рассеяния нерелятивистской α -частицы на покоящихся ядрах ⁶Li, ⁴Не, ²Н, если угол рассеяния в α -частицы в СЦИ равен 60º. В каком случае связь между кинетической энергией рассеянной α -частицы и углом ее рассеяния неоднозначна? Найти для этих трех случаев значения максимально возможного угла рассеяния α -частицы.

Решение. Для анализа упругого рассеяния α -частицы построим векторные диаграммы импульсов для всех трех случаев.

Рассеяние α -частицы на ядре ⁶Li. Отрезок АВ, изображающий импульс налетающей α -частицы, делим на 5 равных частей, т.к. m_α/M(⁶Li) = 2/3. От точки А отсчитываем две части и ставим точку О. Из точки О радиусом ОВ проводим дугу ВD. Под углом = 60º из точки О проводим луч до пересечения с дугой ВD. Точку пересечения обозначаем буквой С и соединяем ее с точками А и В. Полученный отрезок АС изображает величину импульса α -частицы и направление ее движения после рассеяния в ЛСК, а отрезок СВ – величину импульса и направление движения ядра ⁶Li после соударения в ЛСК. Для различных параметров удара точка С может располагаться на дуге ВD в любом месте от точки B и до точки D. При этом величина импульса α -частицы после рассеяния (длина отрезка АС) однозначно связана с углом или углом . Следовательно, и кинетическая энергия T = p²/2m в этом случае является однозначной функцией угла рассеяния в обеих системах координат. Максимальные углы рассеяния и в этом случае определяются положением точки С при ее совпадении с точкой D и равны π.

Рассеяние α -частицы на ядре ⁴Не. Поскольку массы сталкивающихся частиц равны, то отрезок АВ делим на две равные части и проводим дугу ВD с центром в точке О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущем пункте задачи. В этом случае связь кинетической энергии рассеянной α -частицы с углами рассеяния оказывается также однозначной в обеих системах координат. Предельное значение угла также стремится к π. Однако, как нетрудно заметить, предельное значение угла стремится к π /2. Из этого следует важный вывод о том, что угол рассеяния двух тел с одинаковой массой не может превышать π /2 в ЛСК.

Р ассеяние α -частицы на ядре ²Н. Отрезок АВ, изображающий импульс налетающей α -частицы, делим на 3 равных части, т.к. m_α/M(²Н) = 2/1. От точки А отсчитываем две части и ставим точку О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущих пунктах. Из диаграммы следует, что одному значению угла рассеяния в ЛСК соответствуют две возможные величины импульса рассеянной α -частицы (отрезки AС′ и АС), а следовательно, и два возможных значения кинетической энергии рассеянной α -частицы. Максимальное значение угла рассеяния α -частицы в СЦИ будет равно π. В ЛСК максимальное значение угла определяется положением касательной . Из прямоугольного треугольника сразу следует, что

и, следовательно,

Задача 3.4

Какую долю η кинетической энергии теряет нерелятивистская α -частица при упругом рассеянии под углом 60º в СЦИ на покоящимся ядре ¹²С?

Решение. Построим векторную диаграмму импульсов. Отрезок АВ, изображающий импульс налетающей α -частицы, делим на 4 равных части, т.к. m_α: M(¹²С) = 1 / 3. От точки А отсчитываем одну часть и ставим точку О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущей задаче.

Искомая доля будет равна

Из треугольника АОС, используя теорему косинусов, находим

АС² = 1 + 9 – 2·1·3·cos(π – ) = 1 + 9 + 3 = 13,

тогда

Рекомендуется получить формулу для вычисления η с произвольными углами .

Задача 3.5

Найти энергию реакции ⁷Li(p, α )⁴He, если известно, что удельная энергия связи в ядрах ⁷Li и ⁴He равна соответственно 5, 50 и 7, 06 МэВ/нуклон.

Решение. Согласно (3.2)

Q = M(⁷Li) + m_p– 2М(⁴Не).

Используя формулу для полной энергии связи ядра

Δ W(A, Z)= Zm_p + (A –Z)m_n – M(A, Z),

получим, что

Q = 3m_p + 4m_n – Δ W(⁷Li) + m_p – 2(2m_p + 2m_n – Δ W(⁴He)) =

= 2·Δ W(⁴He) – Δ W(⁷Li) = 2·4· – 7· =

= 8·7, 06 – 7·5, 60 = 17, 3 МэВ.

Задача 3.6

Получить формулу (3.6).

Решение. Из формулы (3.3) для эндоэнергетической реакции (Q < 0):

|Q| = T₁ –T₂ = M₂ – M₁,

(3.6.1)

где Т₁= T_а + T_А и М₁ = m_а + М_А, Т₂ = T_b + T_B и М₂ = m_b + М_B – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции (3.1). Выражение (3.6.1) справедливо в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Т_а)_порналетающей частицы а в ЛСК(частица А в ЛСК покоится! ), при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равны нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е² – p²с² = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М + Т и – полная энергия и суммарный импульс произвольной изолированной системы тел. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Т_а)_пор в ЛСК

inv₁ = [M₁+ (Т_а)_пор]² –

(3.6.2)

но

+ m_а² = [m_а + (Т_а)_пор]²,

откуда

= + 2m_а·(Т_а)_пор.

Подставляя полученное выражение в (3.6.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv₁ =

(3.6.3)

В СЦИ инвариант для частиц с энергией покоя М₂, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, будет равен

inv₂ =

(3.6.4)

т.к. их суммарная кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Т_а)_пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Т_а)_пор= (M₂² – M₁²)/ 2M_А = (M₂– M₁²) (M₁+ M₂) / 2M_А= = (M₂– M₁) (M₁+ M₂ + M₁ – M₁)/ 2M_А= (M₂– M₁)[2M₁+ + (M₂ – M₁)]/2M_А =

|Q| +

(3.6.5)

т. к. согласно (3.6.1) (M₂– M₁) = |Q|. Полученное выражение является точным и справедливо при любых скоростях налетающей частицы а. Но при |Q| < 50 МэВ второе слагаемое в (3.6.5) ничтожно мало по сравнению с первым и поэтому нерялитивистское приближение имеет вид

(3.6.6)

Однако второе слагаемое в (3.6.5) становится значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу для нерелятивистского случая, когда .

Запишем (3.6.1) в СЦИ:

(3.6.7)

где верхний знак «~» указывает на принадлежность к СЦИ, а по определению. Кинетическая энергия Т₁ частиц а и А в ЛСК и в СЦИ связаны следующим образом:

(3.6.8)

где

(3.6.9)

есть суммарная кинетическая энергия частиц а и А, движущихся в ЛСК со скоростью – скоростью движения СЦИ относительно ЛСК.

Согласно принципу относительности Галилея скорости частиц в ЛСК и СЦИ связаны следующим образом:

(3.6.10)

т. к. в ЛСК.

Используя (3.6.10), запишем закон сохранения импульса

(3.6.11)

Поскольку суммарный импульс частиц а и А в СЦИ равен нулю, то , и тогда из (3.6.11) скорость движения СЦИ относительно ЛСК

(3.6.12)

Решая систему уравнений (3.6.8), (3.6.9), (3.6.12) и учитывая, что , получим связь между Т₁ и в нерелятивистском случае

(3.6.13)

Подставив из (3.6.13) в (3.6.7), получим выражение

(3.6.14)

которое совпадает с (3.6.6). Еще раз обращаем внимание, что выражения (3.6.6) и (3.6.14) приближенные и действительны только в нерелятивистских случаях.

Задача 3.7

Вычислить пороговую кинетическую энергию налетающей частицы в реакции а + ³H → ³He + n, если налетающей частицей а является а) протон; б) ядро трития (тритон).

Решение. По формуле (3.3) рассчитаем энергию реакции

Q = m_p + M(³H) – m_n – M(³He) = [Δ m_p + Δ (³H) – Δ m_n – Δ (³He)]·931, 5 =

= [0, 007825 + 0, 016049 – 0, 016030 – 0, 0086665]·931, 5 = –0, 7648 МэВ.

Значения избытков масс атомов взяты из табл. 1 приложения. Как видно, реакция эндоэнергетическая.

Пороговая кинетическая энергия, согласно формуле (3.6) будет равна

а) МэВ;

б) МэВ.

Задача 3.8

Определить кинетическую энергию ядер ⁷Ве, возникающих в реакции p + ⁷Li → ⁷Be + n – 1, 65 МэВ при пороговом значении кинетической энергии протона.

Решение. Кинетическая энергия возникающего ядра ⁷Ве равна

(3.8.1)

где, согласно (3.6.10), – скорость движения ядра ⁷Ве в ЛСК, а – скорость СЦИ относительно ЛСК.

Поскольку в СЦИ скорости движения образовавшихся ядра ⁷Be и нейтрона при пороговой энергии протона равны нулю по определению, то в ЛСК обе образовавшиеся частицы движутся с одинаковой скоростью и

(3.8.2)

Согласно (3.6.12),

(3.8.3)

Поскольку

(3.8.4)

а в свою очередь, согласно (3.6.14),

(3.8.5)

то из уравнений (3.8.2) – (3.8.5) получаем

(3.8.6)

Задача 3.9

Вычислить энергию реакции ¹⁴N(α, p)¹⁷O, если T_α = 4 МэВ – энергия налетающих α -частиц, а протон, вылетевший под углом º к направлению движения α -частицы, имеет энергию Т_р = 2, 08 МэВ.

Решение. Согласно (3.3), энергия реакции

Q = T₂ – T₁ = T_р +

– T_α.

(3.9.1)

Изобразим графически закон сохранения импульса в виде векторного треугольника (рис. 3.9.1). По теореме косинусов

(3.9.2)

Учитывая, что р² = 2mT, из (3.9.2) получим

(3.9.3)

Подставив это выражение в (3.9.1), имеем

Q = T_р +

– T_α = = 2, 08 +

– 4 = –1, 2 МэВ.

Задача 3.10

Получить в СЦИ формулу (3.5) для импульса частиц, возникающих в результате ядерной реакции (3.1), если энергия реакции Q, а кинетическая энергия налетающей частицы а в ЛСК равна Т_а.

Решение. В СЦИ импульсы и образовавшихся частиц b и В должны быть равны по величине и противоположно направлены:

Из определения энергии реакции (3.3)

(3.10.1)

В свою очередь,

(3.10.2)

где приведенная масса частиц, образовавшихся в результате ядерной реакции.

Подставив выражение (3.10.2) для кинетической энергии в (3.10.1), получим

(3.10.3)

Из (3.6.13) выразим в СЦИ суммарную кинетическую энергию частиц, участвующих в ядерной реакции, через кинетическую энергию Т₁ = Т_а в ЛСК и подставим результат в (3.10.2)

(3.10.4)

Полученная формула удобна для построения векторной диаграммы импульсов.

Задача 3.11

Определить кинетическую энергию ядер кислорода, вылетающих под углом 30º к направлению бомбардирующих протонов в реакции ¹⁴N(p, n)¹⁴О, Q = – 5, 9 МэВ. Кинетическая энергия протонов 10 МэВ. Решение получить с помощью построенной в масштабе векторной диаграммы импульсов для ядерной реакции.

Решение. Поскольку кинетическая энергия вылетающих частиц в СЦИ не зависит от угла вылета, то делаем заключение, что следует определить кинетическую энергию Т_О( ) в ЛСК. Предварительно напомним, что в нерелятивистском случае, который здесь реализуется (почему? ), кинетическая энергия ядер ¹⁴О выражается через их импульс обычным образом:

(3.11.1)

Для нахождения p(¹⁴О) построим векторную диаграмму импульсов. Для этого определим величину вектора налетающей частицы:

у.е.,

т. к. энергию и массу выражаем во внесистемных единицах. Выбираем в качестве масштаба 1 у.е. = 1 см и на рис. 3.11.1 строим направленный отрезок АВ длиной 4, 47 см, отображающий вектор импульса налетающего протона. Затем делим этот отрезок точкой О на два отрезка АО и ОВ таким образом, чтобы АО / ОВ = m_n / M(¹⁴O). По формуле (3.5), используя (3.10.4), вычисляем величину импульса образовавшихся частиц в СЦИ:

2, 53 у.е.

Радиусом R = 2, 53 см проводим дугу с центром в точке О. Из точки В под углом φ = 30º по направлению к отрезку АВ проводим луч до пересечения с дугой в точках С и С₁. Направленные отрезки С₁В и СВ отображают в ЛСК два возможных импульса вылетающих под углом φ = 30º ядер ¹⁴О. Соответственно отрезки АС₁ и АС отображают в ЛСК два возможных импульса образующихся нейтронов. Измерив длину отрезков С₁В и СВ получаем, что Р₁(¹⁴О) = 5, 0 у.е., а Р(¹⁴О) = 2, 2 у.е. Этим величинам импульсов отвечают, согласно формуле (3.11.1), два значения кинетической энергии ядер ¹⁴О в ЛСК:

МэВ.

Полезно получить величины р₁(¹⁴О) и р₂(¹⁴О) аналитически. Для этого на рис. 3.11.1 соединим точки О и С и решим треугольник ОВС. Сторона ОС = = 2, 53 у.е., сторона ОВ = = (14/15)Р_а = = 4, 17 у.е. Используя теорему косинусов, получим

ОС² = СВ² + ОВ² – 2СВ·ОВ·соsφ,

или квадратное уравнение для нахождения Р(¹⁴О):

2, 53² = Р²(¹⁴О) + 4, 17² - 2р(¹⁴О)· .

Это уравнение имеет два корня, которые дают две искомые величины векторов:

р₁(¹⁴О) = 3, 61 + 1, 43 = 5, 04 у.е.

р₂(¹⁴О) = 3, 61 - 1, 43 = 2, 18 у.е.,

которые являются, разумеется, более точными, чем значения, полученные выше графическим способом.

Задача 3.12

Найти максимальную кинетическую энергию α ‑ частиц, возникающих в результате реакции ¹⁶O(d, α )¹⁴N, Q = + 3, 1 МэВ при энергии бомбардирующих дейтонов 2, 0 МэВ.

Решение. Воспользуемся векторной диаграммой импульсов (рис. 3.12.1). Кинетическая энергия образующейся α ‑ частицы пропорциональна квадрату ее импульса. В ЛСК длина отрезка АС соответствует импульсу образующейся α ‑ частицы, вылетающей под углом . Поэтому максимальная длина отрезка АС будет соответствовать углу = 0º, т.е. случаю, когда точка С совмещается с точкой С´. Таким образом,

= 2, 17p_d.

В этом выражении при записи использована формула (3.10.4).

Максимальная энергия α -частицы составит

Задача 3.13

Определить ширину энергетического спектра нейтронов, возникающих в реакции ¹¹B(α, n)¹⁴N, Q = 0, 30 МэВ, если кинетическая энергия бомбардирующих α -частиц равна 5, 0 МэВ.

Решение. Построим векторную диаграмму импульсов (рис. 3.13.1) для реакции ¹¹B(α, n)¹⁴N. Импульс образующихся нейтронов (отрезок АС), а следовательно, и их кинетическая энергия зависят от угла вылета нейтронов. Эти свойства как экзоэнергетических, так и эндоэнергетических реакций с образованием нейтронов используют для получения монохроматических нейтронов, энергию которых можно изменять в диапазоне от (T_n)_min до (T_n)_max, изменяя угол отбора пучка образующихся нейтронов. Максимальному значению кинетической энергии вылетающих нейтронов соответствует совмещение точки С с точкой С´, а минимальному – совмещение с точкой С´ ´. Поэтому

= {0, 36·p_α, 0, 50·p_α}.

Учитывая, что , получим окончательно

;

Задача 3.14

Найти максимально возможные углы вылета (в ЛСК) продуктов реакции ⁹Be(p, n)⁹B, если энергия реакции Q = –1, 84 МэВ, а кинетическая энергия протона в ЛСК Т_р = 4, 00 МэВ.

Решение. Проще и нагляднее получить решение, используя векторную диаграмму импульсов (рис. 3.14.1). Поскольку точка С перемещается по дуге окружности от точки В до точки С', то максимальное значение угла вылета нейтрона . Однако максимальная величина угла вылета ядра ⁹В определяется положением касательной СВ к окружности. Из прямоугольного треугольника ОСВ

Численное значение угла φ _max получить самостоятельно.

Задача 3.15

Найти пороговую энергию γ -квантов, при которой становится возможной эндоэнергетическая реакция фоторасщепления покоящегося ядра массой М₁, если энергия реакции равна Q.

Решение. Запишем закон сохранения энергии и импульса для данной реакции при пороговом значении энергии (Е_γ)_пор налетающего γ -кванта:

(Е_γ)_пор + М₁ ;	(3.15.1)
р₁ = р₂,	(3.15.2)

где М₁ и М₂ – энергия покоя ядра-мишени и суммарная энергия покоя образовавшихся частиц, а р₁ и р₂ – суммарные величины импульсов до и после взаимодействия в ЛСК. Поскольку р₁ = (Е_γ)_пор/с (ядро М₁ покоится! ), то из (3.15.1) и (3.15.2) получаем

(Е_γ)_пор + М₁²

(3.15.3)

Возведем левую и правую части (3.15.3) в квадрат и после несложных преобразований получим

(Е_γ)_пор =

(3.15.4)

По определению . Поэтому (3.15.4) приводится к виду

(Е_γ)_пор =

(3.15.5)

Поскольку , то вторым слагаемым в скобках выражения (3.15.5) часто пренебрегают.

Задача 3.16.

Найти возможное значение спина основного состояния ядра ¹⁷О, возникающего в реакции срыва при взаимодействии дейтонов с ядрами ¹⁶О, если известно, что орбитальный момент захватываемых нейронов l_n = 2. Сравнить результат со значением спина, который дает оболочечная модель ядра.

Решение. Предполагается, что в реакции срыва электрическое поле ядра ориентирует дейтон таким образом, что в момент наибольшего сближения ядра и дейтона, ближним к ядру оказывается нейтрон, который и захватывается ядром, а протон продолжает движение. Ядро ¹⁶О является дважды магическим ядром, у которого заполнены как протонные, так и нейтронные 1s и 1р оболочки. Поэтому спин ядра ¹⁶О равен нулю. Захват нейтрона с образованием основного состояния ядра ¹⁷О может произойти, согласно оболочечной модели, только на нижний уровень 1d_5/2, спин которого равен 5/2.

Согласно правилу сложения квантово-механических векторов, возможные значения спина ядра ¹⁷О могут принимать следующие значения:

I(¹⁷O) = I(¹⁶O) + l_n + s_n = 0 + 2 ±1/2 = 5/2 и 3/2.

Второе значение спина отвечает возбужденному уровню 1d_3/2 ядра ¹⁷О, переход с которого в основное состояние должен сопровождаться испусканием магнитного дипольного γ -кванта M1, т. к. четность при этом переходе не изменяется.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒