Законы радиоактивного распада

Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Решение. Пусть в момент времени t = 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времени t = t´ (рис. 2.1.1) имеются две возможности:

1) ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q(t´ );

2) ядро распалось и вероятность этого события равна р(t´ ).

Очевидно, что

q(t´ ) + р(t´ ) = 1,

(2.1.1)

т.к. третьей возможности нет.

Выясним, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´ , если за предшествующее время t´ ядро не распалось. Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность того, что произойдут оба события будет равна

dр = q(t´ )·λ ·dt,

(2.1.2)

где λ dt - вероятность распада за интервал времени dt. Из (2.1.1) следует, что dp(t´ ) = –dq(t´ ). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахождения q(t´ ):

dq= –q(t´ )·λ ·dt.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие q(t = 0) = 1 найдем, что вероятность того, что ядро не испытает распад к заданному моменту времени

q(t) = e^{-λ t},

(2.1.4)

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

p(t) = 1 – e^{-λ t}.

(2.1.5)

Если в момент времени t = 0 имелось N₀ радиоактивных ядер, то к моменту времени t наиболее вероятное (ожидаемое) число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад, должно быть равным

N(t) = N₀·q(t) = N₀e^{-λ t},

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться от N(t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.

Задача 2.2

Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер τ = 1/λ, где λ – их постоянная распада.

Решение. По правилу нахождения среднего значения случайной величины

(2.2.1)

поскольку dp(t) – вероятность (вероятность р(t) нормирована на единицу! ) того, что ядро, прожив время t, распадется между t и t + dt, а вероятность p(t) получена в предыдущей задаче (см. (2.1.4)). Выполняя в (2.2.1) интегрирование по частям, получим

Задача 2.3

Какая доля первоначального количества ядер ⁹⁰Sr а ) останется через 10 и 100 лет; б ) распадется за одни сутки; за 15 лет?

Решение. Будем предполагать, что первоначальное количество ядер настолько велико, что доли распавшихся η _а и доли оставшихся η _б ядер совпадают с вероятностями q(t) (2.1.4) и p(t) (2.1.5) соответственно, полученными в задаче 2.1. Необходимую величину постоянной распада λ = ln2/Т_1/2 определим через период полураспада, величину которого найдем в табл. 1 приложения.

а) η _а(t) = e^-^{λ t} = .

η _а(t₁) = = 0, 78.

η _а(t₂) = = 0, 084.

б) η _б(t) = .

η _б(t₁) = = 6, 8·10^-5

η _б(t₁) = = 0, 31.

Задача 2.4

Вычислить постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радиоактивного нуклида, активность A(t) которого уменьшается в 1, 07 раза за 100 дней.

Решение. Активность по определению – среднее число распадающихся ядер в единицу времени (см. формулу (2.2)).

Число ядер, которые должны испытать распад за время t,

N_d(t) = N₀ – N(t) = N₀(1 – e^-^{λ t}).

(2.4.1)

Дифференцируя (2.4.1) по времени, получим формулу (2.2)

А(t) = λ N₀ e^-^{λ t} = А₀ e^-^{λ t},

(2.4.2)

где А₀ = λ N₀– активность в начальный момент времени. Таким образом,

Решая последнее уравнение относительно λ, получим

сут^-1.

Найти τ и Т_1/2 рекомендуется самостоятельно, используя приведенные выше формулы.

Задача 2.5

Определить возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность ¹⁴С составляет 3/5 удельной активности этого же нуклида в только что срубленных деревьях.

Решение. Радиоактивный углерод ¹⁴С, период полураспада которого Т_1/2 = 5730 лет, непрерывно образуется в верхних слоях атмосферы Земли из азота ¹⁴N под действием космического излучения. Благодаря ветрам и океанским течениям равновесная концентрация ¹⁴С в различных местах земного шара одинакова и равна примерно 15 распадам в минуту на каждый грамм углерода в составе живых организмов. Пока организм жив, в результате процессов обмена концентрация ¹⁴С в нем остается постоянной из-за круговорота веществ в природе. После смерти организма усвоение ¹⁴С прекращается, и его количество начинает убывать по обычному закону (2.1) радиоактивного распада, что позволяет определить дату смерти или, как говорят археологи, возраст.

Согласно (2.2) и условию задачи

откуда

Задача 2.6

Свежеприготовленный препарат содержит 1, 4 мкг радиоактивного нуклида ²⁴Nа. Какую активность он будет иметь через сутки?

Решение. Согласно (2.2)

Задача 2.7

Определить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном препарате ⁸²Br, если известно, через сутки его активность стала равной 7, 4·10^-9 Бк (0, 4 Ки).

Решение

Из формулы (2.2) следует, что

Задача 2.8

Вычислить удельную активность чистого ²³⁹Pu.

Решение. Удельная активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:

(2.8.1)

Для нуклида (без учета вторичных компонент, возникающих после распада)

(2.8.2)

т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени. Учитывая, что T_1/2(²³⁹Pu) = 24100 лет, получим

Задача 2.9

Сколько миллиграмм β -активного ⁹⁰Sr следует добавить к 1 мг нерадиоактивного стронция, чтобы удельная активность препарата стала равной 6, 8 Ки/г?

Решение.

(2.9.1)

Из этого уравнения

Удельную активность нуклида ⁹⁰Sr, период полураспада которого Т_1/2 = 28, 6 лет, вычислим по формуле (2.8.2):

Используем полученную удельную активность нуклида ⁹⁰Sr для получения ответа:

Задача 2.10

В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего ²⁴Nа активностью А₀ = 2, 1·10³ Бк. Активность одного кубического сантиметра крови, взятой через t = 5 ч после этого, оказалась равной а_v = 0, 28 Бк/см³. Найти объем крови человека.

Решение. Будем предполагать, что за 5 ч концентрация атомов ²⁴Nа в крови человека выровнялась и стала однородной. Тогда

Из этого уравнения находим

Задача 2.11

При радиоактивном распаде ядер нуклида А₁ образуется радионуклид А₂. Их постоянные распада равны λ ₁ и λ ₂. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклида А₁ в количестве N₀₁, определить

а ) количество ядер нуклида А₂ через промежуток времени t;

б ) промежуток времени, через который количество ядер нуклида А₂ достигнет максимума;

в ) в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?

Решение а ). Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:

N₁(t) = N₁₀·exp(–λ ₁t),

(2.11.1)

где N₁₀ – начальное количество ядер нуклида А₁.

Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А₂ за время dt:

dN₂ = λ ₁·N₁·dt – λ ₂·N₂·dt.

(2.11.2)

Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А₂, которые возникают за время dt, второй – среднее число ядер нуклида А₂, которые распадаются за время dt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид

dN₂/d t = λ ₁ ·N₁₀ ·exp(–λ ₁t)– λ ₂ ·N₂.

(2.11.3)

Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.

Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть

N₂ (t) = С(t)·exp(–λ ₂t),

(2.11.4)

в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функции С(t):

dС/d t = λ ₁·N₁₀·exp[(λ ₂– λ ) t],

решение которого есть

(2.11.5)

Константа С₁ определяется из начальных условий.

Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим

(2.11.5)

Если N₂₀(t = 0) = 0, то окончательно имеем

(2.11.6)

б ). Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахождения t_m – времени накопления максимального числа ядер нуклида А₂:

из которого

(2.11.7)

в ). Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение:

Если λ ₂ > > λ ₁ [(T_1/2)₂ < < (T_1/2)₂] и t > > 1/ λ ₂ ≈ (T_1/2)₂, то

(2.11.8)

Таким образом, получена формула (2.4).

Задача 2.12

Нуклид ²²⁶Ra, являясь продуктом распада ²³⁸U, содержится в последнем в количестве одного атома на каждые 2, 80·10⁶ атомов ²³⁸U. Найти период полураспада ²³⁸U, если известно, что он значительно больше периода полураспада ²²⁶Ra, который равен 1620 годам.

Решение. Для решения используем формулу (2.11.8) из предыдущей задачи, так как условия, при которых она справедлива, соблюдены:

откуда

лет.

Задача 2.13

При β -распаде ¹¹²Pd возникает β -активный нуклид ¹¹²Ag. Их периоды полураспада равны соответственно 21 и 3, 2 ч. Найти отношение максимальной активности нуклида ¹¹²Ag к первоначальной активности препарата, если в начальный момент препарат содержал только нуклид ¹¹²Pd.

Решение. Будем обозначать индексом «1» величины, относящиеся к ¹¹²Pd, а индексом «2» величины, относящиеся к ¹¹²Ag. Тогда

; .

Искомое отношение

(2.13.1)

где N(t_m) – максимальное число атомов нуклида ¹¹²Ag, которое накапливается за время t_m (2.11.7). Используя (2.11.6), получим

(2.13.2)

Вычислим, используя (2.11.7),

10, 2 ч,

а затем по формуле (2.13.2) рассчитаем

Задача 2.14

Радионуклид испытывает превращение по цепочке

(под стрелками указаны соответствующие периоды полураспада). Считая, что в начальный момент t = 0 препарат содержал только ¹¹⁸Cd, найти

а ) какая часть ядер превратиться в стабильные ядра через 60 мин;

б ) во сколько раз уменьшится активность препарата через 60 мин.

Решение а ). Пусть N₁₀ – первоначальное количество ядер, а N₃(t) – количество образовавшихся ядер ¹¹⁸Sn за время t.

В свою очередь, количество образовавшихся ядер ¹¹⁸Sn за время t равно числу распавшихся ядер ¹¹⁸In за этот же промежуток времени:

где N₂(t) и λ ₂ – зависимость числа ядер ¹¹⁸In от времени и их постоянная распада. Используя формулу (2.11.6), получим

Таким образом,

Величину η _а вычислить самостоятельно (η _а = 0, 7).

б ) Активность препарата через время t составит

A(t) = A₁(t) + A₂(t) = λ ₁·N₁(t) + λ ₂·N₂(t).

Тогда

Величину η _б вычислить самостоятельно (η _б = 1, 85).

Задача 2.15

Определить массу свинца, который образуется из 1, 0 кг ²³⁸U за время, равное возрасту горных пород (2, 5·10⁹ лет).

Решение. ²⁰⁶Pb является конечным и стабильным элементом в радиоактивном семействе (ряду) урана, родоначальником которого является ²³⁸U. Поскольку суммарный период полураспада всех последующих звеньев семейства много меньше, чем период полураспада ядер ²³⁸U, то с хорошей точностью можно считать, что период полураспада, приводящий к образованию ядер ²⁰⁶Pb, равен периоду полураспада ²³⁸U.

Искомая масса ²⁰⁶Pb будет равна

M(²⁰⁶Pb) = М_ат(²⁰⁶Pb)·N(²⁰⁶Pb) = М_ат(²⁰⁶Pb)· N_p(²³⁸U),

(2.15.1)

где N_p(²³⁸U) – количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t, которые, в конечном итоге, превратились в равное количество ядер ²⁰⁶Pb. Если первоначальное количество ядер ²³⁸U равнялось

то количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t составит

Подставив последнее выражение в (2.15.1), получим

M(²⁰⁶Pb) = = = = 0, 27 кг.

Задача 2.16

Радионуклид ²⁷Mg образуется с постоянной скоростью g = 5, 0·10¹⁰ ядер в секунду. Определить количество ядер ²⁷Mg, которое накопится в препарате через промежуток времени а ) значительно превышающий его период полураспада; б ) равный периоду полураспада.

Решение. Рассмотрим изменение dN ядер ²⁷Mg в течение малого промежутка времени dt:

dN = gdt – λ Ndt,

(2.16.1)

где gdt – количество рождаемых ядер, а λ Ndt – количество распадающихся ядер за время dt.Интегрируя это уравнение с начальным условием N(t = 0) = 0, получим формулу (2.3):

а) Предельный переход в (2.3) при t → ∞ дает

Полученный результат определяет максимальное количество ядер ²⁷Mg, которое может образоваться при заданных условиях.

б ) Если t = T_1/2, то выражение в скобках в (2.3) равно 1/2 и с учетом результата п. а), получим

Задача 2.17

Радионуклид ¹²⁴Sb образуется с постоянной скоростью g = 1, 0·10⁹ ядер в секунду. С периодом полураспада Т_1/2 = 60 сут он превращается в стабильный нуклид ¹²⁴Те. Найти а ) через сколько времени после начала образования активность ¹²⁴Sb станет А = 3, 7·10⁸ Бк; б ) какая массануклида ¹²⁴Те накопится в препарате за четыре месяца после начала его образования.

Решение а ). Умножая правую и левую части формулы (2.3) на постоянную распада λ нуклида ¹²⁴Sb, получим уравнение

(2.17.1)

из которого

б ) Поскольку распад каждого атома нуклида ¹²⁴Sb сопровождается образованием атома стабильного нуклида ¹²⁴Те, то его масса за время t после начала образования нуклида ¹²⁴Sb будет равна

M_Te(t) = М_ат(¹²⁴Те)·N(t),

где N(t) – количество ядер нуклида ¹²⁴Sb, распавшихся за время t. В свою очередь

если для вычисления A(t) использовать (2.17.1).

Окончательно получим

M_Te(t_б) = М_ат(¹²⁴Те)·

= 124·1, 66·10^-24

Задача 2.18

Радионуклид ¹³⁸Xe, который образуется с постоянной скоростью g= 1, 0·10⁹ ядер в секунду, испытывает превращение по схеме

(под стрелками указаны периоды полураспада). Вычислить суммарную активность препарата через 60 мин после начала накопления.

Решение. Искомая активность

А(t) = А₁(t) + А₂(t) = А₁(t) + λ N₂(t).

(2.18.1)

Зависимость А₁(t) активности нуклида ¹³⁸Xe выражается формулой (2.17.1). Для нахождения зависимости N₂(t) накопления ядер нуклида ¹³⁸Сs необходимо решить уравнение

где N₁(t) и N₂(t) – накопление ядер ¹³⁸Xe и ¹³⁸Сs, а N₁(t) вычисляется по формуле (2.3), тогда

Решение этого уравнения, которое получается методом вариации постоянной (см. задачу 2.11), при N₂(t=0) = 0 имеет вид

Подставив полученное решение и (2.17.1) в (2.18.1), получим окончательно

Вычисление величины А проделать самостоятельно (А = 1, 4·10¹⁰ Бк).

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒