ЕН.01 Элементы высшей математики

ЕН.01 Элементы высшей математики

для студентов специальности 230111 «Компьютерные сети»

2013 г.

РАССМОТРЕНО Цикловой комиссией ___________________ Протокол №__ от «__» _______ 20__г. Председатель _________/___________

Методические рекомендации для выполнения внеаудиторных самостоятельных работ по учебной дисциплине Элементы высшей математики разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности 230111 Компьютерные сети и рабочей программой учебной дисциплины Элементы высшей математики

Организация-разработчик: государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Владимирской области «Муромский техникум радиоэлектронного приборостроения».

Разработчики: Патрикеева Наталья Александровна, методист ГБОУ СПО ВО МТРП, преподаватель.

Рецензент:

Разработчики: Патрикеева Наталья Александровна, методист, преподаватель

Рецензент:

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1. Основы линейной алгебры. Тема 1.1 Определители и матрицы.	Стр.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Самостоятельная работа №4.
Самостоятельная работа №5.
Самостоятельная работа №6.
Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Раздел 2. Элементы математического анализа
Тема 2.1 Основы дифференциального исчисления функций одной переменной.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Самостоятельная работа №4.
Самостоятельная работа №5.
Самостоятельная работа №6.
Тема 2.2 Основы интегрального исчисления функций одной переменной.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Самостоятельная работа №4.
Тема 2.3 Основы дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Самостоятельная работа №4.
Тема 2.4 Дифференциальные уравнения.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Раздел 3. Основы аналитической геометрии
Тема 3.1 Уравнения прямой.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Тема 3.2 Кривые второго порядка.
Краткие теоретические сведения
Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа №2.
Самостоятельная работа №3.
Литература.

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка доклада на тему «История численности и таблиц».

Форма организации работы: индивидуальная.

Порядок выполнения работы:

Подготовьте устный доклад по теме.

Указание: выступление с докладом по времени не должно занимать более 10 минут; доклад должен сопровождаться соответствующими иллюстрациями, картинками, оформленными в виде слайд-шоу.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №1 на тему «Выполнение простейших операций над матрицами».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5).
Ответьте на вопросы:

- Что называется матрицей?

- Какие виды матриц вы знаете? Охарактеризуйте их.

- Какие операции можно выполнять над матрицами?

- Перечислите свойства этих операций?

- В каком случае операция умножения матриц невыполнима?

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №2 на тему «Вычисление определителей матриц».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-6).
Ответьте на вопросы:

- Что называется определителем матрицы?

- Сформулируйте правила для вычисления определителей второго и третьего порядка.

- Какими свойствами обладает определитель?

- Что называется алгебраическим дополнением? Минором матрицы?

- Сформулируйте правило для вычисления определителя высшего порядка.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: подготовка к практической работе №3 на тему «Нахождение обратной матрицы».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
Ответьте на вопросы:

- Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

- В каком случае матрица не имеет обратную?

- Сформулируйте алгоритм обращения матрицы.

Самостоятельная работа №5.

Вид работы: подготовка к практической работе №4 на тему «Вычисление ранга матрицы».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
Ответьте на вопросы:

- Что называется рангом матрицы?

- Что называется дефектом матрицы? Как найти дефект матрицы?

- Как вычислить ранг матрицы методом окаймления?

- Какие преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы?

- В чем заключается суть метода вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований?

Самостоятельная работа №6.

Вид работы: решение задач по образцу.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Решите задачи:

1.1

Найдите 2А²+В

Вычислите определитель матрицы В.

Найдите ранг матрицы, обратной к матрице А.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: изучение материала по теме «Исследование СЛАУ на совместность. Решение произвольных систем».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Изучите теоретический материал.

Пусть дана СЛАУ:

Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы. Если присоединить к матрице системы столбец свободных членов, то получится матрица, которая называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли: «СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы».

Если система совместна и ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если система совместна и ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Пусть дана произвольная СЛАУ, где число уравнений не равно числу неизвестных:

(1)

Допустим, что система совместна, тогда в матрицах системы найдутся r линейно независимых строк, а остальные m-r строк окажутся их линейными комбинациями. Перестановкой уравнений можно добиться, что эти r линейно независимых строк займут первые r мест.

Отсюда следует, что любое из последних m-r уравнений системы (1) можно представить как сумму первых r уравнений. Тогда система (1) эквивалентна следующей системе:

(2)

Предположим, что минор r-го порядка отличен от нуля, т.е. является базисным минором. В этом случае неизвестные, коэффициенты при которых составляют базисный минор, называются базисными неизвестными, а остальные n-r – свободными неизвестными.

В каждом их уравнений системы (2) перенесем в правую часть все члены со свободными неизвестными. Тогда получим систему:

(3)

Даная система содержитr уравнений с r базисными неизвестными. Так как определитель системы (3) есть базисный минор, то система (3) имеет единственное решение относительно базисных неизвестных, которое можно найти по формулам Крамера. Это решение называется общим. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения получим частные решения системы.

Подготовьте ответы на вопросы:

- Что называется матрицей системы? Что называется расширенной матрицей системы?

- В каком случае СЛАУ совместна?

- Когда СЛАУ имеет единственное решение?

- Когда СЛАУ имеет бесконечное множество решений?

- Какая СЛАУ называется произвольной?

- Какие переменные называются свободными; базисными?

- Сформулируйте алгоритм решения произвольных СЛАУ.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №5 на тему «Решение СЛАУ матричным методом и методом Крамера».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.9-10).
Ответьте на вопросы:

- Что называется решением системы?

- Какие системы называются эквивалентными?

- Какая система уравнений называется совместной? Противоречивой?

- В каком случае к системе неприменим метод Крамера?

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №6 на тему «Решение СЛАУ методом Гаусса».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.11-13).
Ответьте на вопросы:

- Сформулируйте алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса.

- Как реализуется решение СЛАУ по схеме единственного деления Гаусса?

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: повторение материала на тему «Производная функции. Физический и геометрический смысл производной».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.7, с.130-152; МУ: с.16).

2. Подготовьте краткий конспект в рабочей тетради согласно плану:

- понятие производной функции;

- физический и геометрический смысл производной;

- производные элементарных функций;

- правило вычисления производной сложной функции.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №7 на тему «Вычисление производной функции».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.7, с.152-173; МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

- Что называется производной функции?

- Какие функции называются дифференцируемыми?

- Сформулируйте правила дифференцирования.

- Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №8 на тему «Вычисление пределов функции».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.6, с.110-122; МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

- Дайте определение предела функции?

- Сформулируйте свойства пределов функций.

- Какие виды неопределенностей вы знаете?

- Перечислите методы избавления от неопределенности вида 0/0.

- Сформулируйте правило Лопиталя для вычисления пределов функций.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: повторение материала по теме «Исследование функций».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме ([1]: Гл.8).
Ответьте на вопросы:

- Какие функции называются возрастающими? Убывающими?

- Какие функции называются монотонными?

- Что называется точкой максимума? Минимума?

- Какие точки называются точками экстремума?

- В чем заключается необходимое условие экстремума; монотонности?

- В чем заключается достаточное условие экстремума; монотонности?

- Сформулируйте второй признак экстремума.

Самостоятельная работа №5.

Вид работы: подготовка к практической работе №9 на тему «Исследование функции на непрерывность».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

-Дайте определение функции.

- Какие функции называют монотонными?

- Какие функции называют непрерывными в точке? На интервале?

- Что называется точкой разрыва функции?

- Как классифицируются точки разрыва?

- В чём заключается алгоритм исследования функции на непрерывность и разрыв?

Самостоятельная работа №6.

Вид работы: подготовка к практической работе №10 на тему «Полное исследование функции и построение графика».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.16-18).
Ответьте на вопросы:

- Дайте определение функции.

- Какие функции называют монотонными?

- Какие функции называют непрерывными в точке? На интервале?

- Что называется точкой разрыва функции?

- Как классифицируются точки разрыва?

- В чём заключается алгоритм исследования функции на непрерывность и разрыв?

- Дайте определение экстремума функции.

- Сформулируйте необходимый и достаточный признаки монотонности и экстремума.

- В чём заключается алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум?

- Какие функции называются выпуклыми?

- Дайте определение точек перегиба кривой.

- Сформулируйте алгоритм исследования функции на выпуклость и перегиб.

- Что называется асимптотой?

- Сформулируйте алгоритм исследования функции на асимптоты.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: повторение материала по теме «Первообразная. Неопределенный интеграл».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме ([2]: с.138-140).
Решите в рабочей тетради задачи: [2]: с.147 №188, № 192, № 194, № 201

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №11 на тему «Вычисление неопределенного интеграла различными методами».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.20-21).
Ответьте на вопросы:

- Что называется первообразной функции?

- Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

- Какие методы интегрирования вы знаете?

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №12 на тему «Вычисление определенного интеграла».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.20-21).
Ответьте на вопросы:

- Что называется первообразной функции?

- Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

- Какие методы интегрирования вы знаете?

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: повторение материала и подготовка к практической работе №13 на тему «Приложения определенного интеграла».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: с.205-209; [2]: с.152-157).

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №14 на тему «Нахождение частных производных и дифференциалов».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.22-23).

Ответьте на вопросы:

- Дайте определение функции двух переменных.

- Что называется частной производной функции? Частным дифференциалом? Полным дифференциалом? Смешанной производной?

- Сформулируйте правило для нахождения частных производных высшего порядка.

- Каким свойством обладают смешанные производные непрерывных функций?

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №15 на тему «Исследование функций двух переменных на экстремум, наибольшее и наименьшее значения».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.23-25).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется функцией двух переменных?

- Какая область называется замкнутой?

- Дайте определение частной производной функции, полного дифференциала функции, смешанной производной.

- Что называется частной производной высшего порядка?

- Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

- Сформулируйте алгоритмы исследования функции двух переменных на наибольшее и наименьшее значения, экстремум.

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: изучение материала на тему «Приложения двойного интеграла».

Форма организации работы: индивидуальная.

Порядок выполнения работы:

1. Изучите материал согласно следующему плану:

1.1 Геометрические приложения двойного интеграла.

1.2 Физические приложения двойного интеграла.

2. Подготовьте выступление в свободной форме продолжительностью не более 5 минут. При необходимости сопроводите выступление слайдами, картинками.

3. Выделите основные мысли доклада и (или) формулы для записи однокурсникам.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: подготовка к практической работе №16 на тему «Вычисление двойного интеграла».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.23-26).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется двойным интегралом?

- Перечислите основные свойства двойного интеграла.

- Какие случаи различают при вычислении двойного интеграла в декартовых координатах?

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №17 на тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([2]: с.160-170 МУ с.28-30).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется дифференциальным уравнением?

- Какие дифференциальные уравнения называются обыкновенными?

- Что называется порядком дифференциального уравнения?

- Дайте определение решению дифференциального уравнения?

- Какое решение ДУ называется общим?

- Как получается частное решение ДУ?

- Каков алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными?

- С помощью какой подстановки однородное ДУ первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными?

- В чем заключается метод Бернулли при решении линейных ДУ первого порядка?

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №18 на тему «Решение дифференциальных уравнений второго порядка».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([2]: с.160-179, МУ с.28-30).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется ДУ?

- Что называется общим решением ДУ?

- Дайте определение частного решения.

- Укажите метод решения ДУ с разделяющимися переменными.

- Какие частные случаи ДУ второго порядка вы знаете? в чем заключается алгоритм решения каждого из них?

- Какие возможны случаи при решении линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части?

- Какое уравнение называется характеристическим? Как оно составляется?

- Какой вид может принимать правая часть ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами? Как найти общее решение таких ДУ? из чего в данном случае состоит общее решение?

ТЕМА 3.1 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Краткие теоретические сведения:

[1]: Гл.1-3.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядкаАх + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

1. C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат;

2. А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох;

3. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу;

4. В = С = 0, А ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу;

5. А = С = 0, В ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от заданных начальных условий.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №19 на тему «Преобразование координат и составление уравнений прямой».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: с.13-80, МУ с.31-33).

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: решение вариативных задач и задач по образцу.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: с.13-80, МУ с.31-33).

2. Решите задачи:

Ознакомительный уровень.

Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а=2/5 и в=-1/10.
Построить прямую x-2y+5=0.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(-1; 3) и N(2; 5).
Найти острый угол между прямыми (x-5)/(-24)=(y-2)/7 и (x+4)/8=(y-3)/15.

Репродуктивный уровень.

1. Показать, что прямые 3x-2y+1=0 и 2x+5y-12=0 пересекаются, и найти координаты точки пересечения. Сделайте чертеж.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; -5) и параллельной прямой 3x+4y+2=0.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3; -5) и перепендикулярной вектору n(4; 2).

Продуктивный уровень.

1. Даны вершины треугольника: А(2; 2), В(-2; -8) и С(-6; -2). Составить уравнения медиан треугольника.

2. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 3x-4y+7=0 и 5x+2y+3=0 и параллельную оси ординат.

3. Даны уравнения высот треугольника: x+y-2=0, 9x-3y-4=0 и координаты вершины А(2; 2). Составить уравнения сторон треугольника.

4. На прямой 2x+y-6=0 найти точку равноудаленную от точек А(3; 5) и В(2; 6). Сделайте чертеж.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: решение вариативных задач и задач по образцу.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.4, МУ с.34-36).

2. Решите задачи с построением кривых:

Окружность.

Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9x-2y-41=0, 7x+4y+7=0, x-3y+1=0.
Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5; 0), В(1; 4), если ее центр лежит на прямой x+y-3=0.
Составить уравнение хорды окружности x²+y²=49, делящейся в точке А(1; 2) пополам.
Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке А(3; 0) и имеющей радиус равный 6.
Центр окружности находится в точке О(-3; 1). Составить уравнение окружности, касающейся прямой 4x+3y-16=0.

Эллипс.

Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А(-6; 0) и В(6; 0), а фокусы в точках (-4; 0) и (4; 0).
Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках задачи 1, а эксцентриситет 0.8.
Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось 14, а эксцентриситет 2/3.
Составить уравнение эллипса, если его вершины находятся в точках (-8; 0) и (8; 0), а фокусы в точках (0; -6) и (0; 6).

Гипербола.

Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы в точках (-5; 0) и (5; 0).
Составить уравнение гиперболы, если координаты ее фокусов (-20; 0) и (20; 0), а эксцентриситет 5/3.
Эксцентриситет гиперболы равен . Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М .
Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

Парабола.

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке (3; 0).
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=-4.
Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы х=-3.
Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Заполните таблицу:

окружность

эллипс

гипербола

парабола

№ задачи

Какая задача вызвала у меня наибольшее затруднение?

Дайте оценку вашему уровню усвоения материала по темам (по четырехбальной шкале)

Дайте оценку вашей деятельности е (по четырехбальной шкале)

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №20 на тему «Преобразование координат и построение кривых второго порядка».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.4, МУ с.34-36).

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к дифференцированному зачету.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по дисциплине, руководствуясь данными МУ и рабочей тетрадью.

( название тем для повторения/устной проверки )

Функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциалы.
Полный дифференциал функции двух переменных. Смешанные производные.
Экстремум функции двух переменных. Алгоритм исследования функции на экстремум.
Исследование функции двух переменных на наибольшее и наименьшее значения.
Двойной интеграл в прямоугольных координатах. Свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла.
Общая теория дифференциальных уравнений.
ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Алгоритм решения.
Однородные ДУ первого порядка. Алгоритм решения.
Линейные ДУ первого порядка. Алгоритм Бернулли.
ДУ второго порядка и их частные случаи.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.
Прямоугольны координаты на прямой и плоскости.
Полярные координаты. Формулы перехода.
Прямая на плоскости и ее уравнения.
Преобразование координат.
Окружность. Уравнение окружности.
Эллипс. Уравнение эллипса.
Гипербола. Уравнение гиперболы.
Парабола. Уравнение параболы.
Построение кривых второго порядка.

2. Решите задачи: /письменная проверка

Ознакомительный уровень.

Задание 1. Найдите полный дифференциал функции, частные производные второго порядка и смешанную производную.

1. 1

1. 2.

1. 3.

1. 4.

Задание 2. Исследуйте функцию на экстремум.

Задание 3. Решите ДУ.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

Задание 4. В полярной системе координат постройте точку М и найдите ее прямоугольные координаты:

4.1. 4.4.

4.2. 4.5.

4.3.

Репродуктивный уровень.

Задание 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

3.1. в прямоугольнике .

3. 2. в круге .

3. 3. в замкнутой области .

Задание 2. Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.

4.1. ∫ ∫ dxdy/(x+y² ); x =3; x = 4; y = 1; y = 2

4.2. ∫ ∫ xydxdy; y = 0; y = 1– x²

4.3. ∫ ∫ (x+y)dxdy; x = 0; y = 0; x+y = 3

4.4. ∫ ∫ x√ ydxdy; y = 1; y = x; y = 3x

4.5. ∫ ∫ (x² +2xy)dxdy; y = 0; y = 1; y = x; y = x-1

Задание 3. Решите ДУ.

3.1

3.2

Задание 4. Треугольник задан вершинами А(-7; 3), В(2; -1), С(-1; -5). Найдите:

1.уравнение прямой АМ, параллельной стороне ВС;

2.уравнение медианы AD;

3.уравнение высоты BF;

4.угол В;

5.площадь треугольника.

Сделайте чертеж.

Задание 5. Координаты точки в новой системе А(3; 1), а координаты нового начала при сохранении направления осей В(2; 3). Найдите координаты точки в старой системе.

Задание 6. Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (0; 3) и (6; -7).

Задание 7. Составьте уравнение окружности с центром в точке (-1; 4) и проходящей через точку (3; 5).

Задание 8. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (-5; 0) и (5; 0), а фокусы в точках (-3; 0) и (3; 0).

Задание 9. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если большая ось 10, эксцентриситет 0, 6.

Задание 10. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если малая ось 16, эксцентриситет 0, 6.

Задание 11. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (0; -8) и (0; 8), а фокусы в точках (-5; 0) и (5; 0).

Задание 12. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если действительная ось равна 24, мнимая ось равна 40.

Задание 13. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если действительная ось равна 12, а расстояние между фокусами 20.

Задание 14. Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

Задание 15. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=-2.

Задание 16. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=3.

Задание 17. Найдите координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы х=-3.

Задание 18. Найдите полный дифференциал функции.

Продуктивный уровень.

Задание 1. Измените порядок интегрирования.

1. ⁴∫ dx^x∫ f (x, y)dy2. ³ ∫ dx^9-^x²∫ f (x, y)dy

^{220 0}

3. ⁴∫ dy^8-^y∫ f (x, y)dx

Задание 2. Определите, какую линию задает уравнение. Сделайте чертеж.

Задание 3. Решите ДУ

y(0)=1; y’(0)=-1
y(0)=1; y’(0)=-1
y(0)=1; y’(0)=-1
y(0)=1; y’(0)=-1

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания: в аудитории во время занятия

2. Максимальное время выполнения задания: 40 минут

3. Вспомогательный материал: справочный материал

Показатели устного обоснования результатов работы:

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒