ТЕМА 1.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.

Краткие теоретические сведения:

Матрицей размера n x m, где n – это число строк, m – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца и из одного элемента. Матрица, состоящая только из одной строки (только из одного столбца) называется матрицей-строкой или вектор-строкой (вектор-столбцом).

Если n=m, то матрица называется квадратной.

Матрица вида = Е, называется единичной.

Если a_nm=a_mn, то матрица называется симметрической.

Квадратная матрица вида называется диагональной.

Матрица, все элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Данные операции определены только для матриц одинакового размера.

Операции умножения (деления) матрицы на произвольное число (≠ 0) число сводятся к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Произведением матрицы называется матрица, элементы которой могут быть вычислены как сумма произведений элементов i-той строки первой матрицы на элементы j-ого столбца второй матрицы.

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ≠ ВА. Но, если для каких либо матриц АВ≠ ВА, то матрицами называются перестановочными.

Умножение матриц справедливо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Матрицу В называют транспонированной матрице А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

Определителем квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы с помощью миноров и алгебраических дополнений по теореме: «Определитель матрицы равен произведению элементов какой-либо строки или какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения этих элементов».

Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Минор произвольного элемента квадратной матрицы равен определителю матрицы, полученному из исходного вычеркиванием i – ой строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением называется минор матрицы, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и столбцов минора матрицы.

Определитель матрицы обладает следующими свойствами:

Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
Определитель суммы матриц равен сумме определителей матриц.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц.
При перестановке двух строк или двух столбцов матрицы определитель поменяет знак, не изменившись по абсолютной величине.
Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на отличное от нуля число, то и определитель умножится на это число.
Определитель, содержащий две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца равен нулю.
Определитель, содержащий две одинаковых строки или два одинаковых столбца равен нулю.

8. Определитель, содержащий нулевую строку или нулевой столбец равен нулю.

9. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же, отличное от нуля число.

Задача 1. Вычислите определитель матицы A=

Решение:

Det=

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другой строки;
перестановка строк;
вычеркивание одной из одинаковых строк;
транспонирование.

Данные операции применимы и для столбцов.

Если существуют квадратные матицы Х иА, удовлетворяющие условию: ХА=АХ=Е, гдеЕ – единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается , причем .

Задача 2. Найдите обратную матрицу для матрицы

Решение:

detA=4-6=-2

A₁₁=4, A₁₂=-3, A₂₁=-2, A₂₂=1

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка доклада на тему «История численности и таблиц».

Форма организации работы: индивидуальная.

Порядок выполнения работы:

Подготовьте устный доклад по теме.

Указание: выступление с докладом по времени не должно занимать более 10 минут; доклад должен сопровождаться соответствующими иллюстрациями, картинками, оформленными в виде слайд-шоу.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №1 на тему «Выполнение простейших операций над матрицами».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5).
Ответьте на вопросы:

- Что называется матрицей?

- Какие виды матриц вы знаете? Охарактеризуйте их.

- Какие операции можно выполнять над матрицами?

- Перечислите свойства этих операций?

- В каком случае операция умножения матриц невыполнима?

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №2 на тему «Вычисление определителей матриц».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-6).
Ответьте на вопросы:

- Что называется определителем матрицы?

- Сформулируйте правила для вычисления определителей второго и третьего порядка.

- Какими свойствами обладает определитель?

- Что называется алгебраическим дополнением? Минором матрицы?

- Сформулируйте правило для вычисления определителя высшего порядка.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: подготовка к практической работе №3 на тему «Нахождение обратной матрицы».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
Ответьте на вопросы:

- Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

- В каком случае матрица не имеет обратную?

- Сформулируйте алгоритм обращения матрицы.

Самостоятельная работа №5.

Вид работы: подготовка к практической работе №4 на тему «Вычисление ранга матрицы».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы (с.5-7).
Ответьте на вопросы:

- Что называется рангом матрицы?

- Что называется дефектом матрицы? Как найти дефект матрицы?

- Как вычислить ранг матрицы методом окаймления?

- Какие преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы?

- В чем заключается суть метода вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований?

Самостоятельная работа №6.

Вид работы: решение задач по образцу.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Решите задачи:

1.1

Найдите 2А²+В

Вычислите определитель матрицы В.

Найдите ранг матрицы, обратной к матрице А.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒