ТЕМА 1.2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

Краткие теоретические сведения:

На основе матриц разработаны различные методы решения задач. Например, матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы:

Систему уравнений можно записать: АХ=В

Задача 1. Решите систему уравнений:

Решение:

Найдем обратную матрицу :

detA=-30 (для матрицы А вычисление определителя можно производить по правилу треугольника)

А₁₁=5, А₁₂=10, А₁₃=-5, А₂₁=-1, А₂₂=14, А₂₃=-19, А₃₁=-1, А₃₂=-16, А₃₃=11

Решением системы является тройка чисел: 1; 2; 3.

Формула Крамера: (для невырожденных или неособенных матриц) , где –определитель матрицы, полученный из данного заменой i-ого столбца матрицы столбцом свободных членов, – определитель матрицы системы.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Правило Крамера и матричный метод неприменимы в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна, а метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет к ответу! Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных. На втором этапе решения (обратный ход) последовательно находят переменные из получившейся ступенчатой системы. На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.

Для решения СЛАУ по схеме единственного деления Гаусса произведем следующие преобразования:

Рассмотрим СЛАУ четвертого порядка:

Будем исключать неизвестное x₁ из всех уравнений системы(1), кроме первого.

x₁ – ведущее неизвестное

a₁₁ – ведущий коэффициент

a₁₁ ≠ 0

Разделим первое уравнение на a₁₁:

x₁+ + + =

Обозначим a₁₂/a₁₁ = b₁₂, … a₁₅/a₁₁ = b₁₅

bij= aij/a11

x₁ + b₁₂x₂ + b₁₃x₃ + b₁₄x₄ = b₁₅ (2)

x₁ = b₁₅ – b₁₂x₂ – b₁₃x₃ – b₁₄x₄

Для исключения х₁ произведем следующие преобразования:

из второго уравнения (1) вычтем (2) умноженное на а₂₁:

(a₂₂-a₂₁b₁₂)x₂+(a₂₃ – a₂₁b₁₃)x₃+(a₂₄ – a₂₁b₁₄)x₄ = (a₂₅-a₂₁b₁₅)

 

Обозначим a₂₂-a₂₁b₁₂ = a₂₂⁽¹⁾

a₂₃ – a₂₁b₁₃ = a₂₃⁽¹⁾…

получим a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + a₂₄⁽¹⁾x₄ = a₍¹⁾₂₅

a(1)ij=aij-ai1*b1j

По аналогии из третьего уравнения (1) вычитаем (2) умноженное на а₃₁, после преобразования получим:

а₃₂⁽¹⁾ х₂+ а₃₃⁽¹⁾ х₃ + а₃₄⁽¹⁾ х₄ = а₃₅⁽¹⁾

Аналогично из четвертого уравнения (1) вычитаем (2) умноженное на а₄₁:

а₄₂⁽¹⁾х₂ + а₄₃⁽¹⁾х₃+а₄₄⁽¹⁾х₄=а₄₅⁽¹⁾

В результате получим: (1)¹

Далее, ≠ 0 – ведущий коэффициент.

В результате исключения х₂из всех уравнений (1)⁽¹⁾, кроме первого получим:

(1)², где

aij(2)=aij(1)-ai2(1)*b2j(1)

 

Далее алгоритм повторяется, пока не получим последнее неизвестное.

Задача 4. По схеме единственного деления Гаусса решите систему:

Решение:

Х1	Х2	Х3	Х4	с.ч
		-1 -1 -3 -2
		-0, 5	0, 5
	-1 -3	-0, 5	0, 5	-2 -4
		-1
		-2 -0, 5	0, 5
				-1
			0, 5	-0, 5
				-1
			х4=-1 х3=-1 х2=1 х1=1

 

 

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: изучение материала по теме «Исследование СЛАУ на совместность. Решение произвольных систем».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Изучите теоретический материал.

Пусть дана СЛАУ:

Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы. Если присоединить к матрице системы столбец свободных членов, то получится матрица, которая называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли: «СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы».

Если система совместна и ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если система совместна и ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

 

Пусть дана произвольная СЛАУ, где число уравнений не равно числу неизвестных:

(1)

Допустим, что система совместна, тогда в матрицах системы найдутся r линейно независимых строк, а остальные m-r строк окажутся их линейными комбинациями. Перестановкой уравнений можно добиться, что эти r линейно независимых строк займут первые r мест.

Отсюда следует, что любое из последних m-r уравнений системы (1) можно представить как сумму первых r уравнений. Тогда система (1) эквивалентна следующей системе:

 

 

(2)

Предположим, что минор r-го порядка отличен от нуля, т.е. является базисным минором. В этом случае неизвестные, коэффициенты при которых составляют базисный минор, называются базисными неизвестными, а остальные n-r – свободными неизвестными.

В каждом их уравнений системы (2) перенесем в правую часть все члены со свободными неизвестными. Тогда получим систему:

(3)

Даная система содержитr уравнений с r базисными неизвестными. Так как определитель системы (3) есть базисный минор, то система (3) имеет единственное решение относительно базисных неизвестных, которое можно найти по формулам Крамера. Это решение называется общим. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения получим частные решения системы.

1. Подготовьте ответы на вопросы:

- Что называется матрицей системы? Что называется расширенной матрицей системы?

- В каком случае СЛАУ совместна?

- Когда СЛАУ имеет единственное решение?

- Когда СЛАУ имеет бесконечное множество решений?

- Какая СЛАУ называется произвольной?

- Какие переменные называются свободными; базисными?

- Сформулируйте алгоритм решения произвольных СЛАУ.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №5 на тему «Решение СЛАУ матричным методом и методом Крамера».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы (с.9-10).
2. Ответьте на вопросы:

- Что называется решением системы?

- Какие системы называются эквивалентными?

- Какая система уравнений называется совместной? Противоречивой?

- В каком случае к системе неприменим метод Крамера?

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №6 на тему «Решение СЛАУ методом Гаусса».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы (с.11-13).
2. Ответьте на вопросы:

- Сформулируйте алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса.

- Как реализуется решение СЛАУ по схеме единственного деления Гаусса?

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. II этап. Обоснование системы показателей для комплексной оценки, их классификация.
3. II. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ ДЫХАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ У ДЕТЕЙ
4. III. Интегральная математическая модель расчета газообмена в здании, при пожаре
5. IV. Математическая двухзонная модель пожара в здании
6. LANGUAGE IN USE - Повторение грамматики: система времен английских глаголов в активном залоге
7. Linux - это операционная система, в основе которой лежит лежит ядро, разработанное Линусом Торвальдсом (Linus Torvalds).
8. SWIFT как система передачи данных.
9. VI. Приемно-комплексная система
10. XVI. Основные правовые системы современности.
11. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННО – УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
12. Автоматизированные системы управления