ТЕМА 2.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Краткие теоретические сведения:

[2]: с.160-179.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и её производные. Любое ДУ имеет бесчисленное множество решений, которые определяются формулой, содержащей произвольные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением. Общее решение обладает тем свойством, что из него по любому заданному начальному возможному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Задачу отыскания частного решения по начальным условиям называется задачей Коши.

Рассмотрим одну важную задачу электротехники, которая приводит к линейному уравнению 1-го порядка:

Пусть электрическая цепь имеет сопротивление R и самоиндукцию L. (Рисунок 4.)

Рисунок 4.

I- сила тока в цепи

Е- ЭДС

Считая, чтоЕ – функция времени, получим уравнения:

Проинтегрируем это уравнение в предположение, что E = const при I (0) = 0. Это означает, что мы включаем в цепь, в которой не было тока, постоянную ЭДС.

Ток I слагается из двух токов: тока , соответствующего з-ну Ома, и экстратока замыкания.

, протекающего в обратном направлении.

Экстраток замыкания быстро стремится к 0 => в цепи довольно скоро устанавливаетсяпостоянный ток.

ДУ вида называется ДУ с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения:

1. Представить в дифференциалах.

2. Разделить переменные.

3. Проинтегрировать обе части уравнения.

4. Записать общее решение и при необходимости частное решение.

ДУ вида называется однородным, если и – однородные функции одного измерения. Для его решения используется подстановка .

Уравнение вида называется линейным, если , то неоднородным, если , то однородным. Общее решение линейного однородного уравнения получается разделением переменных. Общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить методом Бернулли, с помощью подстановки .

Некоторые случаи ДУ второго порядка представлены в таблице 1.

Таблица 1.

ДУ 2-го порядка
Частные случаи	Линейные однородные с постоянными коэффициентами
y’’ = f(x)	y’’ = f(x, y’’)	y’’ = f(y, y’’)
	y’ = z y’’ = z’	y’ = p	Без правой части f( x) = 0.	С правой частью: Решение ДУ=общее решение ДУ без правой части (п.ч.)+частное решение ДУ с п.ч.
			1. 2. 3.	1. - частное решение . Если m не является корнем ХУ, то k = 0. Если m – корень ХУ, то k – кратность корня. 2. - частное решение Ст.Q(x) –максимальная из ст. R(x); Если m+in не является корнем ХУ, то k=0, иначе k – кратность

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №17 на тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([2]: с.160-170 МУ с.28-30).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется дифференциальным уравнением?

- Какие дифференциальные уравнения называются обыкновенными?

- Что называется порядком дифференциального уравнения?

- Дайте определение решению дифференциального уравнения?

- Какое решение ДУ называется общим?

- Как получается частное решение ДУ?

- Каков алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными?

- С помощью какой подстановки однородное ДУ первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными?

- В чем заключается метод Бернулли при решении линейных ДУ первого порядка?

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №18 на тему «Решение дифференциальных уравнений второго порядка».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([2]: с.160-179, МУ с.28-30).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется ДУ?

- Что называется общим решением ДУ?

- Дайте определение частного решения.

- Укажите метод решения ДУ с разделяющимися переменными.

- Какие частные случаи ДУ второго порядка вы знаете? в чем заключается алгоритм решения каждого из них?

- Какие возможны случаи при решении линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части?

- Какое уравнение называется характеристическим? Как оно составляется?

- Какой вид может принимать правая часть ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами? Как найти общее решение таких ДУ? из чего в данном случае состоит общее решение?

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒