РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ТЕМА 2.1 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Краткие теоретические сведения:

[1]: Гл.6-8.

Производной сложной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Пусть - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем или . Иначе, производная сложной функции равна произведению производных функций ее составляющих.

Функция y= f (x) имеет предел А при х → а если при приближении х к а значение функции f (x) подходит близко к числу А. При значении х = а функция может и не принимать значение А, и вообще, может быть неопределенна.

Точная формулировка: , если

Основные теоремы о пределах функций:

1) Предел постоянной величины равен этой величине.

2) Предел сумы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций.

3) Предел произведения конечного числа функций равен сумме пределов этих функций.

4) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел знаменателя отличен от 0.

Некоторые важные пределы:

1) - второй замечательный предел;

2) ;

3) - первый замечательный предел.

Правило Лопиталя:

Пусть в некоторой окрестности точки х₀ функции f(x) и g(x) дифференцируемы и производная g(x) отлична от нуля, тогда если частное этих функций представляет собой неопределенность вида или (1), то . В случае неопределенностей вида или следует преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности первого вида. В случае неопределенностей вида или , или следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Задача 5. Вычислите предел функции при .

Решение:

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Функция называется непрерывной в точке а, если функция определена в некоторой окрестности точки а и существует предел функции при х стремящемся к а, равный значению функции в этой точке а.

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции, называются точками разрыва.

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции. (Рисунок 1.)

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции.

8. Найти наклонные асимптоты функции.

9. Построить график функции.

Рисунок 1.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: повторение материала на тему «Производная функции. Физический и геометрический смысл производной».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.7, с.130-152; МУ: с.16).

2. Подготовьте краткий конспект в рабочей тетради согласно плану:

- понятие производной функции;

- физический и геометрический смысл производной;

- производные элементарных функций;

- правило вычисления производной сложной функции.

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №7 на тему «Вычисление производной функции».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.7, с.152-173; МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

- Что называется производной функции?

- Какие функции называются дифференцируемыми?

- Сформулируйте правила дифференцирования.

- Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: подготовка к практической работе №8 на тему «Вычисление пределов функции».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.6, с.110-122; МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

- Дайте определение предела функции?

- Сформулируйте свойства пределов функций.

- Какие виды неопределенностей вы знаете?

- Перечислите методы избавления от неопределенности вида 0/0.

- Сформулируйте правило Лопиталя для вычисления пределов функций.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: повторение материала по теме «Исследование функций».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме ([1]: Гл.8).
Ответьте на вопросы:

- Какие функции называются возрастающими? Убывающими?

- Какие функции называются монотонными?

- Что называется точкой максимума? Минимума?

- Какие точки называются точками экстремума?

- В чем заключается необходимое условие экстремума; монотонности?

- В чем заключается достаточное условие экстремума; монотонности?

- Сформулируйте второй признак экстремума.

Самостоятельная работа №5.

Вид работы: подготовка к практической работе №9 на тему «Исследование функции на непрерывность».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.16-17).
Ответьте на вопросы:

-Дайте определение функции.

- Какие функции называют монотонными?

- Какие функции называют непрерывными в точке? На интервале?

- Что называется точкой разрыва функции?

- Как классифицируются точки разрыва?

- В чём заключается алгоритм исследования функции на непрерывность и разрыв?

Самостоятельная работа №6.

Вид работы: подготовка к практической работе №10 на тему «Полное исследование функции и построение графика».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.16-18).
Ответьте на вопросы:

- Дайте определение функции.

- Какие функции называют монотонными?

- Какие функции называют непрерывными в точке? На интервале?

- Что называется точкой разрыва функции?

- Как классифицируются точки разрыва?

- В чём заключается алгоритм исследования функции на непрерывность и разрыв?

- Дайте определение экстремума функции.

- Сформулируйте необходимый и достаточный признаки монотонности и экстремума.

- В чём заключается алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум?

- Какие функции называются выпуклыми?

- Дайте определение точек перегиба кривой.

- Сформулируйте алгоритм исследования функции на выпуклость и перегиб.

- Что называется асимптотой?

- Сформулируйте алгоритм исследования функции на асимптоты.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒