ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда на точку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодически изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось равна

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина в равенстве (83) является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда определяется равенством (83). Такая возмущающая сила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже в задаче 117.

1. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Рассмотрим движение точки, на которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнениедвижения в этом случае будет

Разделим обе части этого уравнения на и положим

где имеет размерность ускорения. Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид

Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет где — общее решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (67), даваемое равенством (69), а — какое-нибудь частное решение полного уравнения (85).

Полагая, что будем искать решение в виде

где В — постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй производной в уравнение (85), получим

Это равенство будет выполняться при любом t, если или

Таким образом, искомое частное решение будет

Так как , а значение дается равенством (69), то общее решение уравнения (85) имеет окончательно вид

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение (87) показывает, что колебания точки слагаются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных условий) и частотой , которые называются вынужденными колебаниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных сопротивлений, собственные колебания будут довольно быстро затухать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86).

Частота вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на , можно представить в виде

где согласно равенствам есть величина статического отклонения точки под действием силы

Как видим, В зависит от отношения частоты возмущающей силы к частоте k собственных колебаний. Введем обозначения

Безразмерный коэффициент называют коэффициентом динамичности. Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения , и зависит от отношения частот . График этой зависимости, определяемой равенством (88), показан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком (другие кривые на рис. 264 дают зависимость от z при наличии сопротивления).

Из графика [или из формулы (88)] видно, что, подбирая различные соотношения между , можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При ) амплитуда равна (или близка к этой величине). Если величина близка к k, амплитуда В становится очень большой. Наконец, когда амплитуда В становится очень малой (практически близка к нулю).

Отметим еще, что при как видно из сравнения формул (83) и (86), фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все время совпадают (обе равны ). Если то, внося минус под знак синуса, можно представить уравнение (86) в виде

Следовательно, при сдвиг между фазами вынужденных колебаний и возмущающей силы равен я (когда сила Q имеет максимальное значение и направлена вправо, колеблющаяся точка максимально смещена влево и т. д.).

Резонанс. В случае, когда т. е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот случай не описывается, но можно доказать, что размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как это показано на рис. 262. Подробнее общие свойства вынужденных колебаний в частности, резонанса) рассмотрены в конце этого параграфа

Рис. 262

При уравнение (85) частного решения не имеет, и это решение будем искать в виде

Тогда и подстановка в уравнение (85), если учесть, что дает , откуда . В результате находим закон вынужденных колебаний при резонансе в случае отсутствия сопротивления:

Как видим, размахи вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Сдвиг фаз при резонансе равен

Вынужденные колебания при вязком сопротивлении. Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, пропорциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q, определяемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид

Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения (77) и (84), получим

Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид , где — общее решение уравнения без правой части, т. е. уравнения (76) [при это решение дается равенством (81)], а — какое-нибудь частное решение полного уравнения (91). Будем искать решение в виде

где — постоянные, которые надо подобрать так, чтобы равенство (91) обратилось в тождество. Вычисляяпроизводные, получим:

Подставляя эти значения производных и величины в левую часть уравнения (91) и обозначая для краткости найдем, что

Чтобы это равенство выполнялось при любом , т. е. в любой момент времени, коэффициенты при в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно,

Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначного определения величины ) находим, возводя их сначала почленно в квадрат и складывая, а затем деля почленно друг на друга:

Так как а значение дается равенством (81), то окончательно найдем решение уравнения (91) в виде

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а значения В и [3 даются формулами (92) и от начальных условий не зависят.

При найденные решения дают формулы (86) и (87), полученные выше для случая отсутствия сопротивления.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263, а) и вынужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263, б). Собственные колебания точки для рассматриваемого случая были изучены в § 95. Как было установлено, эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени называемого временем установления, ими практически можно пренебречь.

Рис. 263

Если, например, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда их размахи будут меньше 0, 01 В, то величина будет определяться из равенства , откуда

Как видим, чем меньше сопротивление (т. е. чем меньше b), тем время установления больше.

Одна из возможных картин установления колебаний, происходящих по закону (93) и начинающихся из состояния покоя, показана на рис. 263, в. При других начальных условиях и соотношениях между частотами характер колебаний в интервале времени может оказаться совершенно другим. Однако во всех случаях по истечении времени установления собственные колебания практически затухают и точка будет совершать колебания по закону

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В, определяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

 

 

35. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов, определению усилий в стержнях фермы.

Активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях в этом случае - внутренние силы. Поэтому для определения усилий необходимо рассмотреть равновесие части фермы, для которой искомые усилия являются внешними силами.

При решении задач на расчете ферм способом вырезания узлов необходимо придерживаться следующего плана действий:

1. Выбор тела (или т ел), равновесие которого должно быть рассмотрено. Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которому приложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надо найти давление на опору, то можно рассмотреть равновесие тела, к которому приложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.).

2. Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на другое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколько тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие системы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в отдельности.

3. Изображение действующих (активных) сил. Установив равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело, (или тела) внешние силы, включая как заданные, таи и искомые сковы, в том числе реакции всех связей.

4. Составление условий равновесия. Условия равновесия составляют для сил, действующих на тело (или тела), равновесие которых рассматривается.

5. Определение, реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, проверка правильности решения и исследование полученных результатов.

6. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и рассмотреть его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции

7. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла.

36. Свободными называются колебания при отсутствии возмущающих сил ( ). Необходимым условием возникновения свободных колебаний материальной точки является наличие положения равновесия и сил, которые стремятся вернуть точку в положение равновесия при ее отклонении от этого положения. Рассмотрим движение точки в среде без сопротивления ( ).

Дифференциальное уравнение гармонических свободных колебаний имеет вид .

Для интегрирования этого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение , его корни .

Так как корни мнимые, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Дифференцируя полученное решение по времени, получим второе уравнение для определения постоянных интегрирования .

С учетом начальных условий: , имеем , .

Рассмотрим другой вид записи общего решения, для чего введем следующую подстановку:

, ,

тогда получим .

Свободные прямолинейные колебания материальной точки происходят по гармоническому закону («по закону синуса»).

При этом:

− амплитуда колебаний,

− начальная фаза колебаний,

- циклическая или круговая частота свободных колебаний,

- период свободных колебаний,

− частота колебаний (количество колебаний за одну секунду).

Частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий движения.

Рассмотрим движение точки в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием линейной восстанавливающей силы ( ).

В этом случае − дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению, имеет вид: , его корни .

Если (случай малого сопротивления), то корни комплексные и общее решение дифференциального уравнения имеет вид: ,

или в амплитудной форме: .

Множитель указывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Такие колебания называютсязатухающими.

Период затухающих колебаний ,

где − период свободных колебаний без сопротивления.

Если , то сопротивление практически не влияет на период колебаний .

Рассмотрим влияние сопротивления на изменение амплитуды колебаний. Определяя максимальное отклонение точки от положения равновесия для двух моментов времени, отличающиеся на период , находим ; или

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону геометрической прогрессии со знаменателем , который называется декрементом затухающих колебаний. Модуль натурального логарифма декремента − называется логарифмическим декрементом.

Коэффициент называют коэффициентом затухания.

Так же используется понятие относительный коэффициент затухания .

Движение материальной точки теряет колебательный характер (становится апериодическим) в случае большого сопротивленияпри .

Если , то корни характеристического уравнения действительные и общее решение имеет вид:

.

При имеем равные действительные корни. В этом случае .

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ЗАДАЧА № 37)
2. Выявление условий возникновения и исследование резонанса напряжений в цепи синусоидального тока при последовательном соединении катушки индуктивности и батареи конденсаторов.
3. Выявление условий возникновения и исследование резонанса токов в цепи синусоидального тока при параллельном соединении катушки индуктивности и батареи конденсаторов.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ
5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА ТОКОВ
6. Магнитно-резонансная томография
7. Механические колебания. Виды вибраций и их воздействие на человека, вибрационная болезнь. Нормирование вибраций.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНОГО ПОТЕНЦИАЛА АТОМА
9. Резонансные измерители ёмкостей
10. Резонансные измерители индуктивностей
11. Резонансные режимы в цепях синусоидального тока