Сложение пар. Условия равновесия пар

Рассмотрим первоначально систему пар лежащих в одной плоскости.

Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действуют три пары сил с моментами (рис. 26 )

Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами , имеющими общее плечо d и такие же моменты

Сложив отдельно силы получим:

Вся система заменится одной парой с моментом

Обобщая эту формулу на n-пар получим:

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.

Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27 )

Складываем силы в точках А и В:

и убеждаемся, что пары заменяются одной парой . Найдем момент этой пары

Если на тело действует л пар с моментами , то:

Геометрически вектор - это замыкающий вектор силового многоугольника.

Если векторы лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить аналитически:

Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся:

38. Из второго закона динамики материальной точки

, (1.1)получается следующие дифференциальные уравнения:

- дифференциальные уравнения движения точки на плоскости

, (1.2)- дифференциальное уравнение движения точки по прямой

, (1.3)

где , - проекции ускорения на оси декартовых координат.

Первой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых или естественных осях. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.

Для решения следует выполнить следующие операции:

- построить расчетную схему, на которой в соответствии с условием задачи изобразить систему осей координат, нарисовать траекторию точки и отметить на траектории то положение точки, для которого требуется найти действующую силу. Эту силу следует представить составляющими на выбранные ос координат;

- по заданному движению материальной точки определить проекции ее ускорения на принятые оси координат;

- составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (1.2) или (1.3). Из полученных уравнений определить проекции искомой силы, а затем ее модуль и направляющие косинусы.

Рассмотрим пример выполнения теста 1.

«Материальная точка М массой кг движется в горизонтальной плоскости согласно уравнениям , , где - в метрах, - в секундах. Определить силу , действующую на точку в момент с.».

Решение

Строится расчетная схема. В соответствии с условием задачи принимается декартовая система координат. Из заданных уравнений движения следует, что траекторией точки является парабола . Она изображена на рисунке 1.1.

Положение точки в момент с. определяется координатами:

м; м.

М₁ (0, 5; -0, 5).

Искомую силу представим составляющими и .

Вычислим проекции ускорения точки на оси координат

, .

Для заданного момента с. имеем

м/с², м/с².

Рисунок 1.1 – траектория точки

Из дифференциальных уравнений (1.2) находим

Н, Н.

Затем определяем модуль силы

Н.

и направляющие ее косинусы

, .

39. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величинаJ_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

, где:

· m_i — масса i-й точки,

· r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, какмасса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера[править | править вики-текст]

Основная статья: Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_cотносительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел[править | править вики-текст]

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J_a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁	Ось цилиндра	^{[Комм 1]}
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс
	Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс
	Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс

40. Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

41. 1.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)

- уравнение колебаний струны.

(1)

Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия:

(2)

где -функция, задающая форму струны в начальный момент времени,

-скорость точки струны в начальный момент.

Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных:

, где

-некоторая функция только переменной η, то есть

не зависит от

Интегрируя это равенство по η при фиксированном ξ, получим: .

Вернемся к старой переменной:

(3)

- описывает волну, бегущую направо.
Например, функция f имеет вид x-at=0, следовательно x=at, то есть “горб” движется направо со скоростью а.
- описывает волну, бегущую налево.
x+at=0, следовательно x=-at, то есть “горб” движется налево со скоростью а.

Функция (3) является общим интегралом уравнения (1). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям (2):

(4) (5)

Интегрируя (5), получим:

, где С=const.

(6)

Из равенств (4) и (6) находим

(7) (8)

Выражения (7), (8) подставляем в (3).

-формула Даламбера.

42. В динамике связи можно учесть с помощью введения сил реакции связей. Силы реакции связей наряду с действующими, или активными силами Записывают в правую часть уравнений второго закона Ньютона: (2.5)

Силы реакции связей заранее неизвестны и определяются во время интегрирования уравнений движения. Поэтому при наличии связей решение задач механики с помощью уравнений второго закона Ньютона усложняется тем, что необходимо интегрировать больше уравнений, чем число степеней свободы, и тем, что приходится определять силы реакции связей.

Вначале рассмотрим случай, когда материальные точки покоятся. Это возможно, если сумма сил, действующих на каждую материальную точку, равна нулю: (2.6)

Введем понятие виртуального перемещения. Виртуальное перемещение — это мысленное бесконечно малое перемещение, которое в данный момент времени материальная точка может совершить, не нарушая связей. Чтобы отличать виртуальные перемещения от реальных перемещений материальных точек, будем обозначать их греческой буквой , то есть виртуальное перемещение материальной точки с индексом обозначим , а реальное бесконечно малое ее перемещение по-прежнему будет обозначаться как .Домножая равенства (2.6) на И суммируя по всем материальным точкам системы, получим (2.7)

Первое слагаемое в (2.7) представляет работу активных сил на виртуальных перемещениях. Это — работа, которую совершили бы активные силы, если бы эти перемещения произошли. Ее называют Виртуальной работой активных сил. Соответственно второе слагаемое в (2.7) дает виртуальную работу сил реакции связей. Существует большое количество связей, для которых виртуальная работа сил реакции связей равна нулю. Такие связи называются Идеальными связями. Идеальными являются связи, осуществляемые нерастяжимыми нитями и в пренебрежении сил трения связи, обеспечиваемые твердыми телами.

Для идеальных связей второе слагаемое в равенстве (2.7) равно нулю. В результате получаем уравнение (2.8)

В отличие от равенства (2.7), которое вследствие выполнения условий равновесия (2.6) представляет собой тождество, выражение (2.8) является уравнением. Так как при наличии связей не все Независимы, то из (2.8) следуют условия . Эти условия по-прежнему выполняются в отсутствие связей, когда Независимы. Уравнение (2.8) позволяет найти условия равновесия системы материальных точек как в отсутствие связей, так и при их наличии. При этом нет необходимости рассматривать силы реакции связей. Уравнение (2.8) формулируется какПринцип виртуальных перемещений: в положении равновесия работа активных сил на виртуальных перемещениях равна нулю.

Принцип виртуальных перемещений является основным принципом, применяемым в решении задач статики в механике. Проведенные для статики рассуждения обобщаются и на случай динамики. Для этого необходимо в уравнении (2.5) перенести направо и проделать те же операции, что и в статике. В результате получается уравнение: (2.9)

Если формально ввести силы инерции , то его можно записать в таком же виде, как уравнение принципа виртуальных перемещений:

. (2.10)

Уравнение (2.10) формулируется как Принцип Даламбера: Работа активных сил вместе с силами инерции на виртуальных перемещениях равна нулю.

Принцип Даламбера является основным принципом динамики систем материальных точек со связями. В отсутствие связей все независимы, и из принципа Даламбера получаются уравнения второго закона Ньютона.Виртуальные перемещения можно выразить через изменения обобщенных координат, которые обозначим . Эти бесконечно малые изменения обобщенных координат рассматриваются для фиксированного момента времени и называются Вариациями обобщенных координат. Посчитаем дифференциал от выражений (2.2Преобразование от декартовых координат к обобщенным координатам в векторной форме: )при фиксированном . Так как время фиксировано и любое изменение обобщенных координат приводит к изменению , совместимых со связями, то полученные бесконечно малые изменения Являются виртуальными перемещениями. В результате виртуальные перемещения выражаются через вариации обобщенных координат:

(2.11)Подставляя выражения для из (2.11) в уравнение (2.9), получим еще одно выражение для Принципа Даламбера: . (2.12)

Поскольку вариации обобщенных координат Независимы, то из (2.12) получается система уравнений

(2.13)

В системе уравнений (2.13) нет сил реакции связей, и число уравнений равно числу степеней свободы. В дальнейшем во все уравнения будут входить только активные силы, и мы специально не будем отмечать это.

43. Используя понятие массы, можно представить соотношение между силой (причиной) и ускорением (следствием).

Если:
F — сила вызывающая ускорение тела (Ньютон),
m — масса тела, (килограмм),
a — приобретенное телом ускорение, (метр/секунда² ),
То:

Основное уравнение динамики

F= ma

, или в векторной форме

→ F

= m

→ a

Единица СИ силы:

[F]= нютон(Н)= кг ·

м с²

Сила, определение

Силой в один ньютон называется такая сила, которая сообщает телу массой 1 (кг) ускорение 1 (м/с² ).

44. Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

Вид уравнений[править | править вики-текст]

Если голономная механическая система описывается лагранжианом ( — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцированиепо времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где — кинетическая энергия системы, — обобщённая сила.

Вывод уравнений[править | править вики-текст]

Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определенных ограничениях на систему (в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи). Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа. Отметим, что это частный (хотя и очень важный) случай механических систем.

Если для рассматриваемой системы применим принцип наименьшего действия, то вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией , называемой лагранжианом. Лагранжиан - это разность кинетической и потенциальной энергий системы. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал

называемый действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t₁ и t₂ — начальный и конечный моменты времени). Заметим, что необходимо доказать применимость принципа наименьшего действия к рассматриваемой системе: далеко не все физические системы ему подчиняются. Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.

Вывод уравнений для системы с одной обобщенной координатой и скоростью

Изменение действия при переходе из состояния в

Разлагая эту разность по степеням

Варьируя это выражение, получаем:

Первое слагаемое заменяется по формуле Ньютона-Лейбница. Второе интегрируем по частям замечая что

Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю только если подынтегральное выражение равно нулю. Оно и является искомым уравнением Лагранжа:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78