ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ЗАДАЧА № 37)

Рекомендуемая литература

Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970. Гл. ХV (§ 101–104).

Строительная механика. Под ред. Даркова А. В. М.: Высшая школа, 1976. Гл 15.

Основные определения

Свободные (собственные) колебания – это колебания системы после сообщенного ей начального импульса. Их частота зависит от упругих свойств системы, и при наличии сил сопротивления собственные колебания постепенно затухают. Вынужденные колебания происходят под действием возмущающих внешних сил. При изучении колебаний упругие системы различают по числу степеней свободы, то есть по числу независимых координат, определяющих положение системы. На рис. 7.1 изображена балка с колеблющейся массой m. Если массой самой балки можно пренебречь по сравнению с колеблющейся массой, то эта система имеет одну степень свободы, так как положение массы полностью определяется ее вертикальной координатой[20].

Рис. 7.1. Система с одной степенью свободы

Для систем с одной степенью свободы круговая частота свободных колебаний, то есть число колебаний за 2p секунд, определяется по формуле

, (7.1)

где – перемещение сечения с сосредоточенной массой по направлению ее возможного движения, вызванное единичной силой, приложенной в том же сечении и по тому же направлению. Для определения этого перемещения обычно используется метод Максвелла – Мора.

Если на систему с одной степенью свободы действует возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону и создающая вынужденные колебания системы с частотой , то возникающая при движении массы сила инерции тоже меняется по гармоническому закону . Если точка приложения возмущающей силы не совпадает с сосредоточенной массой (рис. 7.2), то, пренебрегая силами сопротивления, амплитудное значение силы инерции можно найти по формуле

, (7.2)

где – статическое перемещение сечения, в котором расположена сосредоточенная масса, по направлению ее возможного движения, вызванное амплитудным значением заданной нагрузки . Это перемещение ищется, как правило, по методу Максвелла – Мора. Из формулы (7.2) видно, что, когда частота собственных колебаний равна частоте вынужденных колебаний , амплитуда силы инерции (а стало быть, и амплитуда перемещения массы) стремится к бесконечности. Это известное в физике явление называется резонансом.

Предполагаем, что частота вынужденных колебаний достаточно далека от частоты собственных колебаний и система работает упруго. В этом случае максимальное значение изгибающего момента (изгибающего момента от динамического действия нагрузки) можно найти, используя принцип независимости действия сил:

. (7.3)

Формула (7.3) показывает, что изгибающий момент от динамического действия нагрузки равен сумме момента, вызванного статическим действием амплитуды возмущающей нагрузки , и момента от амплитудного значения силы инерции . ( – изгибающий момент от единичной силы, приложенной в сечении, где расположена масса, и направленной по направлению ее возможного движения.) Напряжения в конструкции от динамического действия нагрузки меняются пропорционально величине внутренних усилий.

Примечание. В частном, наиболее часто встречающемся случае, когда точка расположения массы и точка приложения динамической нагрузки совпадают, и . Тогда динамические усилия можно определить через статические усилия и динамический коэффициент :

где

Пример расчета системы с одной степенью свободы

Условие задачи [21]

Рис. 7.2. Балка с одной степенью свободы под действием возмущающей силы

На балку с сосредоточенной массой действует возмущающая нагрузка (рис. 7.2). Требуется построить эпюру изгибающих моментов от динамического действия нагрузки. Примем следующие исходные данные: кг, жесткость балки кН× м², ее длина м, отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний , амплитудное значение возмущающей нагрузки кН.

Решение

Найдем частоту свободных колебаний по формуле (7.1). Перемещение ищем методом Максвелла – Мора:

Для построения эпюры изгибающих моментов приложим в точке, где расположена сосредоточенная масса, единичную силу по направлению возможного перемещения массы. В данном примере сосредоточенная масса может перемещаться только по вертикали. Эпюра моментов от единичной силы показана на рис. 7.3, а. Интегрирование формулы Максвелла – Мора по правилу Верещагина дает

= .

Рис. 7.3. Эпюры изгибающих моментов: а – от единичной силы; б – от амплитудного значения вынуждающей нагрузки F

Обратите внимание на единицы измерения величины . Подставим в формулу (7.1). Вспомним, что 1 кН = 10³ Н = 10³ кг× м / с², после подстановки массы в кг получим круговую частоту свободных колебаний в с^–1:

Теперь определим амплитудное значение силы инерции, используя формулу (7.2). Чтобы воспользоваться этой формулой, найдем величину – перемещения по направлению движения массы от амплитудного значения силы . В соответствии с методом Максвелла – Мора это перемещение

Эпюра от действия амплитудного значения показана на рис. 7.3, б. Перемножая эпюры и по правилу Верещагина, найдем

Частота вынужденных колебаний согласно условию

Тогда амплитудное значение силы инерции по формуле (7.2)

Рис. 7.4. Эпюра изгибающих моментов от динамического действия нагрузки

Окончательная эпюра изгибающих моментов от динамического действия нагрузки, построенная с учетом формулы (7.3), показана на рис. 7.4.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒