Уравнения равновесия плоской системы сил

Для равновесия произвольной плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух прямоугольных осей, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, расположенной в плоскости действия сил, также была равна нулю:

 

(3.4)

 

Равенства (3.4) представляют так называемую основную форму условий равновесия при действии на тело плоской системы сил. Условия равновесия тела под действием плоской системы сил могут быть представлены еще в двух других формах.

Вторая форма условий равновесия:

 

(3.5)

 

т. е. должны быть равны нулю суммы моментов сил относительно любых двух точек А, В, расположенных в плоскости действия сил, и сумма проекций всех этих сил на ось х (при этом ось х не должна быть перпендикулярна прямой АВ).

Третья форма условий равновесия:

 

(3.6)

 

т. е. должны быть равны нулю суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех точек А, В, С (эти точки расположены в плоскости действия сил и не лежат на одной прямой).

Если на объект действует плоская система параллельных сил, условия равновесия выражаются двумя формами уравнений равновесия:

(3.7)

или

(3.8)

 

В формулах (3.7) ось у следует выбирать параллельно силам, центр А выбирается произвольно. В формулах (3.8) отрезок АВ не должен быть параллелен силам.

Направления осей координат х и у следует выбирать так, чтобы они были перпендикулярны неизвестным силам.

За центр моментов следует выбирать точку пересечения двух неизвестных сил или точку на линии действия неизвестной силы.

Рациональный выбор формы уравнений равновесия, направления осей координат и центров моментов позволяет составлять такие уравнения равновесия, каждое из которых содержит по одной неизвестной. Решение такой системы уравнений сопровождается минимумом вычислений.

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектораколичества движения рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы (см. § 8, 14 и 28).

Таким образом, моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина то определяемая равенством

где — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр (рис. 224; для сравнения на нем показан и вектор ).

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси проходящей через центр О, будет равенпроекции вектора на эту ось:

где — угол между вектором и осью Oz.

Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор . Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени выражение (35). Получим

Но как векторное произведение двух параллельных векторов, , где при действии нескольких сил . Следовательно,

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Сравнивая уравнения (37) и (32), видим, что моменты векторов и F связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы

Если спроектировать обе части равенства (37) на какую-нибудь ось проходящую через центр О, то, учтя соотношение (36), получим

Это равенство выражает теорему моментов относительно оси.

Из уравнения (37) следует, что если то , т. е. если момент действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная. Такой результат имеет место в практически важном случае движения под действием центральной силы (см. § 86).

Рис. 224

Рис. 225

Связи и их реакции

Тело, которое может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным.

Тело, перемещениям которого препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещение данного тела, называют связью.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Принцип освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие реакциями. В статике этот принцип позволяет рассматривать равновесие несвободного твердого тела как свободного под действием активных (заданных) сил и реакций связей.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. F2: Васильев Николай Гаврилович, профессор кафедры ГСЭД ГОУ ВПО ВСФ РАП
3. I. СИЛА БЕЗМОЛВИЯ В СИМПТОМАХ
4. II этап. Обоснование системы показателей для комплексной оценки, их классификация.
5. II. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ ДЫХАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ У ДЕТЕЙ
6. Rк- определяет максимальный ток коллектора транзистора, создает нагрузку коллекторной цепи и своей величиной влияет на коэффициент усиления каскада.
7. XVI. Основные правовые системы современности.
8. А. И. Черевко. Расчет и выбор судовых силовых трансформаторов для полупроводниковых преобразователей. Севмашвтуз, 2007.
9. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННО – УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
10. Автоматизированные системы управления
11. АКСИОМЫ СТАТИКИ. СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. ТРЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
12. Акустоэлектронные полупроводниковые усилители СВЧ на ПАВ