![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯСтр 1 из 4Следующая ⇒
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть II Учебно-методическое пособие
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………....4
Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ………………………......4
1. Дифференциальные уравнения первого порядка……..….……….......5 1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными………...…...…………………..6 1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………………………..……………...……….…..8 1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…..10 1.4. Дифференциальные уравнения Бернулли…………….………..12 1.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах…..14 2. Дифференциальные уравнения второго порядка……….…….…….16 2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами….………...16
Тема 2. РЯДЫ……………………………………………...……………..….18
1. Понятие числового ряда…………..……………………....…………..18 1.1. Необходимое условие сходимости ряда……….………...……..19 1.2. Свойства сходящихся рядов….......…….………......…………...20 2. Ряды с неотрицательными членами…………...……………………..20 2.1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.....20 3. Знакочередующиеся ряды………………..………………..………….23 4. Знакопеременные ряды…………...…..……………………………….24 5. Степенные ряды…………………….…………………..……………..26 5.1. Свойства степенных рядов…………………….………………...27 5.2. Разложение функций в степенные ряды….…………..………...28 5.3. Применение рядов в приближённых вычислениях……………30
Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА……………………..……..32
Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ……………33
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….....39 ВВЕДЕНИЕ Дисциплины математического цикла служат фундаментальной базой экономического образования. Математический анализ является наиболее сложной из этих дисциплин. Настоящее пособие предназначено для помощи студентам, обучающимся по направлению подготовки 080100 «Экономика» как очной, так и заочной форм обучения. Оно является дополнением и продолжением учебно-методического пособия «Математический анализ. Часть I» того же автора. В основу структуры пособия положен тематический принцип. Сюда вошёл материал, относящийся к таким темам математического анализа, как «Дифференциальные уравнения» и «Ряды». Наряду с изложением основного теоретического материала по вышеперечисленным темам, в пособии приведены примеры решения типовых задач, вопросы для подготовки к экзамену и варианты контрольной работы. Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальными называются уравнения, содержащие неизвестную функцию и её производные. Они занимают важное место в высшей математике и имеют многочисленные приложения в разных науках.
Дифференциальные уравнения второго порядка Определение 10. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её вторую производную, то есть уравнение вида
где Линейные однородные дифференциальные уравнения Тема 2. РЯДЫ Понятие числового ряда Определение 12. Пусть дана числовая последовательность
называется числовым рядом или просто рядом. Числа Суммы конечного числа членов ряда
…………………… носят название частичных сумм ряда (13). Числовой ряд (13) называется сходящимся, если предел его частичных сумм Пример. Покажем, что ряд Составим частичную сумму
Чтобы упростить выражение для
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
поэтому
Следовательно,
Переходя к пределу, находим
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1. Важное место в теории рядов имеет теорема, отражающая необходимое условие сходимости ряда.
1.2. Необходимое условие сходимости ряда Если ряд Ряд из предыдущего примера сходится, и его общий член действительно стремится к нулю. Условие Пример. Докажем, что ряд который называется гармоническим рядом, расходится.
Но Но, если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то необходимый признак сходимости ряда позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.
1.2. Свойства сходящихся рядов 1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов. 2) Пусть даны два сходящихся ряда 3) Пусть дан сходящийся ряд
Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами I. если выполняется неравенство Пример. Исследуем на сходимость ряд Аналогично можно показать, что любой ряд вида
при II. Если существует предел отношения общих членов рядов Пример. Исследуем на сходимость ряд Сравним его с рядом III. Если выполняется неравенство Признак Коши. Пусть для ряда а) если б) если в) если Пример. Исследуем сходимость ряда
Очевидно, что признак Коши целесообразно применять в случае, когда общий член ряда является Признак Даламбера. Пусть для ряда а) если б) если в) если Пример. Исследуем сходимость ряда Для заданного ряда Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда Пример. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда Функция
При Знакочередующиеся ряды Определение 13. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём они в ряде чередуются:
Например, Справедлива следующая теорема: Знакопеременные ряды Определение 14. Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём их расположение в ряде произвольно:
Числа Заметим, что знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (16):
Так как ряд (17) является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные ранее признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Справедлива следующая теорема: Теорема. Если ряд (17), составленный из модулей членов ряда (16), сходится, то и ряд (16) сходится. В этом случае знакопеременный ряд (16) называется абсолютно сходящимся. Определение 15. Знакопеременный ряд (16) называется условно сходящимся, если ряд (17), составленный из модулей членов ряда расходится, а сам исходный ряд (16) сходится. Например, ряд Примеры. Исследуем на сходимость ряды. а) Составим ряд из модулей: б) Согласно второму признаку сравнения, ряд, составленный из модулей заданного ряда, расходится так же, как гармонический ряд 1) последовательность из модулей монотонно убывает; 2) предел модуля общего члена равен нулю: Следовательно, исходный ряд сходится условно. в) Ряд из модулей Степенные ряды Определение 16. Степенным называетсяряд вида
Числа Придавая Определение 17. Множество тех значений Справедлива следующая теорема: Теорема Абеля. Если степенной ряд Рис. 1. Промежутки сходимости и расходимости степенного ряда Таким образом, существует такое число 1) при 2) при Определение 18. Число Если ряд (18) сходится на всей числовой прямой, то пишут При Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по одной из следующих формул:
если соответствующие пределы существуют. Примеры. Исследуем сходимость рядов. 1) Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением
Следовательно, радиус сходимости Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть в точках При При Таким образом, заданный ряд сходится в любой точке полуинтервала 2) Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением
Следовательно, ряд сходится в единственной точке При
5.1. Свойства степенных рядов 1) Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке 2) Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке
5.2. Разложение функций в степенные ряды Если функция
который называется рядом Тейлора. Положим Пример. Разложим в ряд Маклорена функцию Найдём производные функции Вычислим значения функции и производных в точке Таким образом, Так как При разложении функций в степенные ряды используются разложения в ряд Маклорена следующих функций: 1) 2) 3) 4) 5)
Примеры. Разложим в ряд Маклорена следующие функции: 1) Воспользуемся разложением Заменяя
2) Воспользуемся разложением Заменяя
тогда 3) Получим разложение заданной функции с помощью разложения в ряд Маклорена функции
Почленно дифференцируя данный ряд в интервале
Действительно, при 4) Разложим в ряд Маклорена функцию Используя биномиальный ряд, напишем разложение для функции
тогда
4.3. Применение рядов в приближенных вычислениях Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определённых интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений. При приближенных вычислениях используется следующая теорема: Следствие из теоремы Лейбница: погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. Пример. Вычислим приближенно с точностью до 0, 0001 значение выражения Выпишем соответствующий ряд при Взяв первые шесть членов разложения на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность, не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), то есть
Итак, Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА
1. Дифференциальные уравнения: общее решение, теорема Коши, частное решение, начальные условия. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример. 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример. 4. Уравнения Бернулли. Пример. 5. Однородные дифференциальные уравнения. Пример. 6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Примеры. 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Пример. 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры. 9. Применение дифференциальных уравнений в экономике. 10. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. 11. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши. Примеры применения. 12. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Примеры. 13. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Примеры. 14. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. 15. Свойства степенных рядов. 16. Разложение функций в степенные ряды: ряды Тейлора и Маклорена. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. 17. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям. Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Найдите решения дифференциальных уравнений первого порядка (см. табл. 1). 2. Исследуйте сходимость ряда (см. табл. 2). 3. Исследуйте на сходимость знакочередующийся ряд. В случае сходимости укажите её тип (см. табл. 3). 4. Найдите промежуток сходимости степенного ряда (см. табл. 4).
Таблица 1 Варианты задания 1 (найдите решения дифференциальных уравнений первого порядка)
Таблица 1 (продолжение) Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 621; Нарушение авторского права страницы