Ряды с неотрицательными членами

Рядом с неотрицательными членами называется ряд , где .

Для исследования на сходимость таких рядов используют признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

2.1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Признаки сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и , где , , тогда справедливы следующие признаки сравнения:

I. если выполняется неравенство при всех , то из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда , а из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда .

Пример. Исследуем на сходимость ряд . Для всех выполняется неравенство . Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда.

Аналогично можно показать, что любой ряд вида

(14)

при расходится. Ряд (14) называется обобщённым гармоническим рядом.

II. Если существует предел отношения общих членов рядов и ( ), не равный нулю и конечный, то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследуем на сходимость ряд .

Сравним его с рядом , который сходится (см. пример на стр. 18). Предел отношения общих членов этих рядов равен . Следовательно, исходный ряд, так же как и ряд , сходится.

III. Если выполняется неравенство при всех , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак Коши.

Пусть для ряда , где существует предел , тогда

а) если , ряд сходится,

б) если , ряд расходится,

в) если , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

. Ряд сходится.

Очевидно, что признак Коши целесообразно применять в случае, когда общий член ряда является -ой степенью некоторого выражения.

Признак Даламбера.

Пусть для ряда , где , существует предел отношения -го члена к -ому, то есть , тогда

а) если , ряд сходится,

б) если , ряд расходится,

в) если , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

Для заданного ряда , , и ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда положительны и убывают, то есть и – непрерывная положительная убывающая функция, определённая при , такая, что , …, , тогда несобственный интеграл и ряд ведут себя одинаково в смысле сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда при .

Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

При последний предел равен числу . Следовательно, обобщённый гармонический ряд при так же, как и несобственный интеграл , сходится.

Интегральный признак Коши целесообразно использовать в случае, когда общий член ряда интегрируем.

Знакочередующиеся ряды

Определение 13. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём они в ряде чередуются:

(15)

Например, – знакочередующийся ряд.

Справедлива следующая теорема:

Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Пусть для знакочередующегося ряда (15) выполнены условия:

1) последовательность из модулей членов ряда монотонно убывает: ;

2) предел модуля общего члена равен нулю: ,

тогда ряд (14) сходится.

Пример. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда . Для этого ряда выполнены оба условия признака Лейбница:

1) последовательность из модулей членов ряда: монотонно убывает: .

2) .

Следовательно, ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Определение 14. Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём их расположение в ряде произвольно:

(16)

Числа , , …, , … могут быть как положительными, так и отрицательными.

Заметим, что знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (16):

(17)

Так как ряд (17) является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные ранее признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Если ряд (17), составленный из модулей членов ряда (16), сходится, то и ряд (16) сходится. В этом случае знакопеременный ряд (16) называется абсолютно сходящимся.

Определение 15. Знакопеременный ряд (16) называется условно сходящимся, если ряд (17), составленный из модулей членов ряда расходится, а сам исходный ряд (16) сходится.

Например, ряд согласно последней теореме абсолютно сходящийся, так как сходится ряд, составленный из модулей членов этого ряда: ряд , как обобщённый гармонический ряд при . Ряд условно сходящийся, так как он, согласно признаку Лейбница сходится (см. пример на стр. 23), а ряд (гармонический ряд), составленный из модулей его членов, расходится.

Примеры. Исследуем на сходимость ряды.

а) .

Составим ряд из модулей: . Согласно признаку Коши, последний ряд сходится, так как . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

б) .

Согласно второму признаку сравнения, ряд, составленный из модулей заданного ряда, расходится так же, как гармонический ряд , потому что . Однако, для исходного ряда выполнены оба условия признака Лейбница:

1) последовательность из модулей монотонно убывает;

2) предел модуля общего члена равен нулю: .

Следовательно, исходный ряд сходится условно.

в) .

Ряд из модулей сходится по признаку Даламбера, так как . Поэтому исходный ряд абсолютно сходящийся.

Степенные ряды

Определение 16. Степенным называетсяряд вида

где . (18)

Числа , , …, , … носят название коэффициентов степенного ряда (18).

Придавая различные числовые значения, будем получать числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.

Определение 17. Множество тех значений , при которых ряд (18) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Справедлива следующая теорема:

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении таком, что . Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком значении таком, что (см. рис. 1).

Рис. 1. Промежутки сходимости и расходимости степенного ряда

Таким образом, существует такое число (оно может быть равно 0 или ), что:

1) при ( ) ряд (18) абсолютно сходится,

2) при ( ) ряд (18) расходится.

Определение 18. Число называется радиусом сходимости степенного ряда (18), если при ряд сходится, а при расходится. Интервал в этом случае носит название интервала сходимости ряда (18).

Если ряд (18) сходится на всей числовой прямой, то пишут , если он сходится только при (а это будет всегда для степенного ряда вида (18)), то пишут .

При ряд (18) может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается отдельно для каждого степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по одной из следующих формул:

, ,

если соответствующие пределы существуют.

Примеры. Исследуем сходимость рядов.

Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением отличны от нуля. Найдём радиус и интервал сходимости данного ряда. Здесь , , поэтому удобно использовать вторую формулу для вычисления радиуса сходимости ряда:

Следовательно, радиус сходимости и ряд сходится в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть в точках .

При получаем гармонический ряд , который расходится.

При – ряд , который является знакочередующимся и сходится в силу признака Лейбница.

Таким образом, заданный ряд сходится в любой точке полуинтервала и расходится вне него.

2) .

Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением отличны от нуля. Найдём радиус и интервал сходимости данного ряда. Здесь . Удобно использовать первую формулу для вычисления радиуса сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится в единственной точке и расходится при .

При из исходного получаем ряд , сумма которого равна 0.

5.1. Свойства степенных рядов

1) Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке , где , функция.

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , , и почленно дифференцировать в интервале .

5.2. Разложение функций в степенные ряды

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то её можно разложить в степенной ряд

,

который называется рядом Тейлора.

Положим , тогда получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

Пример. Разложим в ряд Маклорена функцию .

Найдём производные функции : , , , …, .

Вычислим значения функции и производных в точке : , , , …, .

Таким образом,

Так как , то ряд сходится на всей числовой прямой.

При разложении функций в степенные ряды используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:

1) , ,

2) , ,

3) , ,

4) , ,

5)

, – биномиальный ряд.

Примеры. Разложим в ряд Маклорена следующие функции:

1) .

Воспользуемся разложением , .

Заменяя на , получим

, ;

, ;

, .

2) .

Воспользуемся разложением , .

Заменяя на , получим

, ,

тогда

3) – биномиальный ряд при .

Получим разложение заданной функции с помощью разложения в ряд Маклорена функции :

, .

Почленно дифференцируя данный ряд в интервале , имеем

, .

Действительно, при разложение биномиального ряда имеет такой вид.

4) .

Разложим в ряд Маклорена функцию и почленным интегрированием полученного ряда найдём разложение в ряд по степеням для функции .

Используя биномиальный ряд, напишем разложение для функции :

,

тогда

4.3. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определённых интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений. При приближенных вычислениях используется следующая теорема:

Следствие из теоремы Лейбница: погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример. Вычислим приближенно с точностью до 0, 0001 значение выражения .

Выпишем соответствующий ряд при .

Взяв первые шесть членов разложения на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность, не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), то есть

.

Итак, .

Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

1. Дифференциальные уравнения: общее решение, теорема Коши, частное решение, начальные условия.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример.

4. Уравнения Бернулли. Пример.

5. Однородные дифференциальные уравнения. Пример.

6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Примеры.

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Пример.

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.

9. Применение дифференциальных уравнений в экономике.

10. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда.

11. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши. Примеры применения.

12. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Примеры.

13. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Примеры.

14. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

15. Свойства степенных рядов.

16. Разложение функций в степенные ряды: ряды Тейлора и Маклорена. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

17. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям.

Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Найдите решения дифференциальных уравнений первого порядка (см. табл. 1).

2. Исследуйте сходимость ряда (см. табл. 2).

3. Исследуйте на сходимость знакочередующийся ряд. В случае сходимости укажите её тип (см. табл. 3).

4. Найдите промежуток сходимости степенного ряда (см. табл. 4).

Таблица 1