Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 10. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её вторую производную, то есть уравнение вида

,

где – независимая переменная, – искомая функция, – её первая производная, – вторая производная функции .

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 11. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение, имеющее вид

, (11)

где – искомая функция, а и – числа.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами может иметь множество решений. Однако среди них выделяют два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения.

Будем искать решение уравнения (11) в виде

,

где – некоторое число. Подставляя эту функцию в само уравнение (11), получаем

.

Деля обе части уравнения на , имеем квадратное уравнение относительно :

. (12)

Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (11). Обозначим корни характеристического уравнения (12) через , .

Справедлива следующая теорема:

Теорема. 1)Если корни характеристического уравнения вещественные и различны: , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид

, .

2) В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и равные: , общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) является функция

, .

3) Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные: , , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид

, .

Примеры. Решим следующие дифференциальные уравнения:

1) .

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: . Его корни вещественны и различны: , . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид , .

Ответ: , .

2) .

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения вещественны и совпадают: . Поэтому общее решение исходного уравнения таково .

Ответ: , .

3) .

Корни характеристического уравнения заданного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами комплексно сопряжены: , . Следовательно, общее решение имеет вид .

Ответ: , .

Тема 2. РЯДЫ

Понятие числового ряда

Определение 12. Пусть дана числовая последовательность тогда выражение вида

(13)

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа называются членами ряда, первым, вторым и так далее, – общим или -ым членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

,

,

,

……………………

носят название частичных сумм ряда (13).

Числовой ряд (13) называется сходящимся, если предел его частичных сумм конечен, то есть . Число называется суммой ряда (13): . Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд (13) называется расходящимся.

Пример. Покажем, что ряд сходится.

Составим частичную сумму первых членов ряда:

.

Чтобы упростить выражение для , разложим на элементарные дроби. Имеем

,

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях дробей, получаем

, ;

, ,

поэтому

.

Следовательно,

.

Переходя к пределу, находим

.

Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.

Важное место в теории рядов имеет теорема, отражающая необходимое условие сходимости ряда.

 

1.2. Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Ряд из предыдущего примера сходится, и его общий член действительно стремится к нулю. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда.

Пример. Докажем, что ряд

,

который называется гармоническим рядом, расходится.

, то есть для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено. Докажем, что это ряд расходится методом от противного. Действительно, если бы этот ряд сходился, то обозначая его сумму через , мы бы имели

Но , то есть . Отсюда следует, что равенство невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Но, если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то необходимый признак сходимости ряда позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

 

 

1.2. Свойства сходящихся рядов

1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов.

2) Пусть даны два сходящихся ряда и , тогда ряд сходится и .

3) Пусть дан сходящийся ряд и постоянная , тогда ряд сходится и .

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм составления уравнения реакции гидролиза
2. Апериодическое звено первого порядка
3. Банки второго уровня, их классификация и ф-ции.
4. Виды административных правонарушений против порядка управления.
5. Вопрос №82. Правопорядок: понятие, структура, функции. Соотношение правового и общественного порядка.
6. Восстановление порядка в отступающих подразделениях
7. Гарантии законности и правопорядка
8. Гарантии законности и правопорядка.
9. Глава 2. КОНЦЕПЦИИ «НОВОГО МИРОВОГО ПОРЯДКА» В XXI ВЕКЕ.
10. Дифференциальные уравнения 1 порядка
11. Дифференциальные уравнения первого порядка