|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её первую производную, то есть уравнение вида
где Если уравнение (1) можно разрешить относительно
и называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. Например, уравнения Определение 2. Решением дифференциального уравнения называется функция Например, функция Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения называется функция Таким образом, функция В теории дифференциальных уравнений основным является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него даёт теорема Коши. Теорема Коши: Пусть дано дифференциальное уравнение (2), разрешённое относительно производной. Если функция Условия, которые задают значение функции
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего условию (3), называется задачей Коши. Начальные условия (3) из множества интегральных кривых выделяют ту, которая проходит через точку
1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение 4. Дифференциальное уравнение первого порядка вида где Алгоритм решения уравнений вида (4) носит название «разделение переменных» и состоит в следующем: 1) Разделить переменные, то есть добиться, чтобы в левой части уравнения стояла только переменная
2) Если необходимо, перейти от производных к дифференциалам, учитывая, что
3) Вычислить интегралы от левой и правой частей:
4) Подстановкой в исходное уравнение проверить, являются ли решениями нули функций, на которые делили в пункте 1 (в данном случае нули функции Примеры. 1) Найдём общие решения дифференциальных уравнений: а) Перепишем уравнение в виде Интегрируя обе части, имеем Ответ: б) Разделим переменные, для чего перенесём
Интегрируя обе части, имеем При потенцировании получаем Проверим, является ли решением Ответ: Семейство интегральных кривых представляет собой пучок возрастающих экспонент, проходящих через точку в) Разделим переменные, перенеся
Интегрируя обе части, имеем Проверим, являются ли решениями Подставляя
Ответ: Семейство интегральных кривых представляет пучок прямых, проходящих через начало координат. 2) Найдём частное решение уравнения Разделяя переменные, найдём общее решение:
Подставляя координаты точки Ответ:
1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Определение 5. Функция Например, Определение 6. Дифференциальное уравнение вида
где Это уравнение можно привести к виду
где С помощью замены
Примеры. Найдём общие решения дифференциальных уравнений. 1) Это уравнение является однородным, так как функции
или
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Поделим обе его части на
Интегрируя левую и правую части, имеем
или
Сделав обратную замену Проверим, является ли Ответ: 2) Так как Сделаем замену
Сократив на
или
Последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на
Интегрируя левую и правую части, имеем
Сделав обратную замену
Проверим, являются ли решениями Ответ: 1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение 7. Уравнение вида
где Если Общее решение уравнения (5) можно найти двумя способами: I. По формуле
Пример. Найдём общее решение уравнения В этом уравнении
II. Методом вариации произвольной постоянной. При решении линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной сначала решают соответствующее однородное уравнение. Чтобы найти общее решение исходного неоднородного уравнения, в полученном решении произвольную постоянную считают функцией от Примеры. 1) Решим уравнение Общее решение заданного неоднородного уравнения будем искать в том же виде, только произвольную постоянную считаем уже функцией от
Дифференцируя, имеем
Подставляя в исходное уравнение выражения для
или
откуда
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид Ответ: 2) Найдём общее решение уравнения Решаем соответствующее однородное уравнение:
Потенцируя, получаем
Заметим, что
Общее решение заданного неоднородного уравнения будем искать в том же виде, только произвольную постоянную считаем уже функцией от
Дифференцируя, имеем
Подставляя в исходное уравнение выражения для
откуда
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
Ответ:
1.4. Дифференциальные уравнения Бернулли Определение 8. Уравнение вида
где Данное уравнение приводится к линейному подстановкой Пример. Решим уравнение Данное уравнение является уравнением Бернулли, в котором
Положим
Решаем однородное уравнение
Разделяя переменные
и интегрируя, находим
После потенцирования получаем
В найденное решение можно включить частное решение
Общее решение уравнения
Дифференцируя, имеем
Подставляя в данное уравнение выражение для
Таким образом, общее решение линейного уравнения имеет вид
Выполняя обратную замену, получаем, что общим решением исходного уравнения является функция
Заметим, что Ответ:
1.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Определение 9. Уравнение вида
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции Критерием того, что уравнение (8) есть дифференциальное уравнение в полных дифференциалах является выполнение равенства
Действительно, так как левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции Решение дифференциального уравнения (8) сводится к отысканию функции Примеры. Найдём общие решения следующих дифференциальных уравнений: 1) В этом уравнении
Интегрируя левую и правую части по
Чтобы найти
Подставляя найденное
Общее решение исходного уравнения принимает вид
Полагая
Ответ: 2) В этом уравнении Интегрируя левую и правую части последнего равенства по
Чтобы найти
Подставляя найденное
Общее решение исходного уравнения принимает вид
Полагая
Ответ:
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 1363; Нарушение авторского права страницы
, (1)
– независимая переменная, 
– искомая функция, 
– её производная.
(2)
, 
, 
являются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешёнными относительно производной.
, определённая на некотором интервале 
, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
тождественно обращает в ноль левую часть уравнения 
и поэтому представляет собой решение этого уравнения. Аналогично, функции 
, 
и, вообще, любая функция вида 
, где 
– любое действительное число, является решением дифференциального уравнения 
, удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной 
. На плоскости 
общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.
и её производная 
непрерывны в некоторой области 
плоскости 
этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию 
при 
.
в фиксированной точке 
, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в форме: 
. (3)
, (4)
и 
– непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
, 
.
: 
.
.
.
.
, где 
– произвольная постоянная. Выражая искомую функцию 
, 
, что эквивалентно уравнению 
, 
.
.
.
и умножим их на 
. Получим
, 
, где 
, 
, что эквивалентно уравнению 
, 
.
. Подстановка в исходное уравнение приводит к тождеству: 
. Следовательно, 
.
.
и умножив их на 
, 
, где 
или 
, 
, 
, 
и 
. Это не тождество, следовательно, 
, проходящее через точку 
, 
, 
.
. Тогда частное решение имеет вид 
.
называется однородной функцией порядка 
, если для любого числа 
выполняется равенство 
.
– однородная функциявторого порядка, так как 
; 
– однородная функция первого порядка; 
– однородная функция нулевого порядка.
, 
, 
– однородные функции одного порядка, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
, где 
– новая неизвестная функция, 
или 
, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. 
.
, 
обе являются однородными функциями первого порядка. Сделаем замену 
, 
.
, получим
, 
.
, где 
, 
, получим 
, 
.
– однородная функция нулевого порядка, то данное уравнение также является однородным.
.
, 
, 
.
и умножив на 
.
, 
.
, 
или 
. Подставляя 
, (5)
и 
– непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
, то уравнение (5) называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, в противном случае – линейным неоднородным.
. (6)
.
, 
– непрерывные функции, поэтому последнее уравнение является линейным. Найдём решение уравнения по формуле (6): 
, где 
вторым способом. Решением соответствующего однородного уравнения 
.
.
, 
, 
.
.
.
, 
, 
, 
.
, 
.
.
.
, 
, 
, 
.
.
, (7)
. Можно также применять подстановку 
или метод вариации произвольной постоянной. 
.
, 
, 
. Разделим обе части уравнения на 
, получим
, 
, тогда 
. Умножая обе части последнего уравнения на (-1) и выполняя указанную подстановку, имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
.
, 
.
, имеем
, 
.
.
и 
, получаем
, 
, 
.
.
.
в области 
, называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.
.
, где 
, 
, то 
, 
, а для непрерывной функции смешанные частные производные второго порядка равны между собой.
. 
.
, 
, 
. Следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и выражение 
представляет собой полный дифференциал некоторой функции 
, 
, то есть
.
. (9)
используем тот факт, что 
, 
, 
, 
.
.
.
, получаем окончательное решение исходного уравнения: 
.
.
, 
, 
. Следовательно, исходное уравнение – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, и выражение 
является полным дифференциалом некоторой функции 
, 
, то есть 
.
. (10)
, 
, 
, 
, 
.
.
.
, получаем окончательное решение исходного уравнения: 
.