|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11
ТЕМА 10. Изучаемые вопросы: Построение трендовых моделей при помощи диаграмм в среде MIKROSOFT EXCEL; Коэффициент достоверности аппроксимации R2 Аппроксимация данных функции методом наименьших квадратов Цель: Построить кривые, аппроксимирующие с заданной точностью исходные данные, полученные в ходе экспериментального исследования. В качестве исходных данных имеем значения ежемесячного износа тормозных колодок автомобиля. Исходные данные представлены в виде, графика (рис. 32) состоящего из 10 результатов измерений износа (по месяцам).
Рис.32. График износа тормозных колодок автомобиля (по месяцам года) Рассматриваемый процесс колебания ежемесячного износа тормозных колодок имеет моменты пиков и спадов. Это объясняется тем что, износ нестабилен по времени, так как зависят от пробега, климатических и дорожных условий и т.п., а значит, является случайной величиной. В связи с этим удобней будет работать с аппроксимированными параметрами модели. Аппроксимацию выполним методом наименьших квадратов. Пусть
где с1, с2, ….., сn - неизвестные параметры функции Тогда, согласно методу наименьших квадратов, функционал J, имеющий смысл суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции
и параметры с1, с2, ….., сn будем выбирать из условия минимума этого функционала, т.е.
или
Последнее выражение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров с1, с2, ….., сn.
или в матричной форме:
где: A – симметрическая матрица порядка n;
Таким образом, задача нахождения параметров аппроксимирующей функции (42) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (48). Это можно сделать двумя способами: 1. либо искать решение системы (45); 2. либо находить матрицу
В большинстве случаев (в зависимости от вида конкретных матриц) при аппроксимации удобно придерживаться второго пути. В качестве последовательности ПОСТРОЕНИЕ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДИАГРАММ Многие экспериментальные данные можно интерпретировать как временные ряды - последовательность измерений, полученных в определенные моменты времени ti, где i - порядковый номер измерения на оси времени. Такие ряды характеризуются некоторой тенденцией развития процесса во времени и называются трендовыми. Используя трендовые модели, можно выдавать прогнозы на краткосрочный и среднесрочный периоды. Excel имеет средства для создания трендовых моделей встроенные в построитель диаграмм. Одной из форм трендовых моделей при постоянном шаге по времени является линейная модель:
В качестве примера используем данные о динамике изменения числа автомобилей в АТП с 2000 по 2010 гг. Знание этой динамики позволяет планировать развитие АТП и его инфраструктуры на перспективу. Исходные данные приведены в таблице 3. Таблица 3.
Порядок расчетов следующий. 1. Выделить диапазон B2: B12 и построить по этим данным диаграмму типа " График", щелкнув по значку " Мастер диаграмм" на панели инструментов. 2. Выделить диаграмму и выполнить Диаграмма/Добавить линию тренда.
3. В окне " Линия тренда" открыть вкладку " Параметры" и установить флажки " Показывать уравнение на диаграмме" и " Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации".
4. На вкладке " Тип" выбрать тип диаграммы – линейная и нажать Ok. Результаты показаны на рисунке.
5. Вычислить по формуле y = 23, 818x + 105, 82. Следует учесть, что аргументом трендовой модели является порядковый номер, т.е. в нашем примере x=12. В результате получим прогноз на 2011 год: 391 автомобиль. Коэффициент достоверности аппроксимации R2 показывает степень соответствия трендовой модели исходным данным. Его значение может лежать в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе R2 к 1, тем точнее модель описывает имеющиеся данные. Возможно, что более точный прогноз был бы получен с помощью степенной или экспоненциальной линий тренда. Поэтому рассмотрим еще один пример использования нелинейного тренда. В процессе изменения угла опережения зажигания у двигателя автомобиля ГАЗ-3307 контролировали часовой расход топлива. Регулировку выполняли на стенде тяговых качеств. Значения угла опережения зажигания Х и значения часового расхода топлива Таблица 4.
После чего результаты измерений были занесены в таблицу 5 среды Microsoft Excel: Таблица5.
Рис. 33. Внешний вид таблицы 1 в среде Microsoft Excel Выделим диапазон А2: B8 и построим по этим данным диаграмму типа " Точечная", щелкнув по значку " Мастер диаграмм" на панели инструментов.
Рис. 34 Внешний вид графика функции
Выделим диаграмму и выполним Диаграмма/Добавить линию тренда. (см. рис. 35).
Рис. 35. Опция добавления линии тренда на график функции В окне " Линия тренда" открыть вкладку " Параметры" и установить флажки " Показывать уравнение на диаграмме" и " Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации" (см. рис. 34 и 35).
Рис. 36. Опция добавления линии тренда на график функции
Рис. 37 Опция добавления уравнения графика функции На вкладке " Тип" выбрать тип диаграммы – «Полиномиальная» и нажать Ok. Результаты показаны на рисунке 36.
Рис. 38 График и уравнение функции
Полученное уравнение y = 3, 9048x2 – 26, 952x + 64, 143 зависимости часового расхода топлива от величины угла опережения зажигания с достоверностью аппроксимации R2 = 0, 9952 позволяет определить оптимальный для данного автомобиля угол опережения зажигания (на уровне 3, 5о), обеспечивающий минимум часового расхода топлива.
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ТЕМА 11. Изучаемые вопросы. Методика проведения регрессионного анализа; Построение модели множественной регрессии в среде MIKROSOFT EXCEL. Регрессионный анализ позволяет получить функциональную зависимость между некоторой случайной величиной Y и некоторыми влияющими на Y величинами X. Такая зависимость получила название уравнения регрессии. Различают простую (парную) и множественную регрессию линейного и нелинейного типа. Пример простой линейной регрессии имеет вид: y = m1x+b. Пример множественной линейной регрессии: y = m1x1 + m2x2 +... + mkxk + b. (68) Для оценки степени связи между величинами, входящими в уравнение (54) используется коэффициент множественной корреляции R Пирсона (корреляционное отношение), который может принимать значения от 0 до 1. R=0 если между величинами нет никакой связи и R=1, если между величинами имеется функциональная (детерминированная) связь. В большинстве случаев R принимает промежуточные значения от 0 до 1. Величина R2 называется коэффициентом детерминации. Задачей построения регрессионной зависимости является нахождение вектора коэффициентов M модели (54) при котором коэффициент R принимает максимальное значение. Для оценки значимости R применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:
где n - размер выборки (количество экспериментов); k - число коэффициентов модели. Если F превышает некоторое критическое значение для данных n и k и принятой доверительной вероятности, то величина R считается существенной. Таблицы критических значений F приводятся в справочниках по математической статистике. Таким образом, значимость R определяется не только его величиной, но и соотношением между количеством экспериментов и количеством коэффициентов (параметров) модели. Действительно, корреляционное отношение для n=2 для простой линейной модели равно 1 (через 2 точки на плоскости можно всегда провести единственную прямую). Однако если экспериментальные данные являются случайными величинами, доверять такому значению R следует с большой осторожностью. Обычно для получения значимого R и достоверной регрессии стремятся к тому, чтобы количество экспериментов существенно превышало количество коэффициентов модели (n> > k). Для построения линейной регрессионной модели необходимо: 1) подготовить список из n строк и m столбцов, содержащий экспериментальные данные (столбец, содержащий выходную величину y должен быть либо первым, либо последним в списке); 2) обратиться к меню Сервис/Анализ данных/Регрессия
Если пункт " Анализ данных" в меню " Сервис" отсутствует, то следует обратиться к пункту " Надстройки" того же меню и установить флажок " Пакет анализа". 3) в диалоговом окне " Регрессия" задать:
· входной интервал Y; · входной интервал X; · выходной интервал - верхняя левая ячейка интервала, в который будут помещаться результаты вычислений (рекомендуется разместить на новом рабочем листе); 4) нажать " Ok" и проанализировать результаты. Пример использования множественной линейной регрессии Предположим, что необходимо дать среднестатистический прогноз путевого расхода топлива автомобиля. Для этого имеется возможность воспользоваться множественным регрессионным анализом (на основе анализа параметров большого числа автомобилей) для оценки расхода топлива Q [л/100 км], с использованием следующих переменных (параметров): m1 – Объем двигателя автомобиля [см3]; В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (m1, m2, m3 и m4) и зависимой переменной (Q), то есть расходом топлива. Исходные данные показаны на рисунке.
Настройки для решения поставленной задачи показаны на рисунке окна " Регрессия". Результаты расчетов размещены на отдельном листе в таблице 6. В итоге получена следующая математическая модель: Q = -0, 002159246·x1 + 0, 001581937·x2 + 1, 987200675·x3 + 0, 078512695·x4- 4, 428016498 Теперь можно определить примерный расход топлива у легкового автомобиля с бензиновым двигателем и колесной формулой 4 × 4, если известно, что двигатель автомобиля имеет объем 2700 см3, его масса составляет 1950 кг, автомобиль имеет полный привод на колеса – 4 ведущих колеса, мощность двигателя составляет 163 л.с., используя следующую формулу: Q = -0, 002159246·2700 - 0, 001581937·1950 + 1, 987200675·4 + 0, 078512695·163- 4, 428016498 Решив это уравнение, получаем расход топлива у данного автомобиля: Q = 13, 57 л/100 км. В регрессионном анализе наиболее важными результатами являются: · коэффициенты при переменных и Y-пересечение, являющиеся искомыми параметрами модели; · множественный коэффициент R, характеризующий точность
модели для имеющихся исходных данных; · F-критерий Фишера (в рассмотренном примере он значительно превосходит критическое значение, равное 3, 54868E-09); · t-статистика– величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели. На t-статистике следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет ли тот или иной фактор Х на Y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. Приближенную оценку можно сделать так: если при n> > k величина t-статистики по абсолютному значению существенно больше трех, соответствующий коэффициент следует считать значимым, а фактор включить в модель. В противном случае его необходимо исключить из модели. Таким образом, можно предложить технологию построения регрессионной модели, состоящую из двух этапов: 1) обработать пакетом " Регрессия" все имеющиеся данные, проанализировать значения t-статистики; 2) удалить из таблицы исходных данных столбцы с теми факторами, для которых коэффициенты незначимы, и обработать пакетом " Регрессия" новую таблицу. Для примера рассмотрим переменную m4. В справочнике по математической статистике t-критическое с (n-k-1) = 15-5-1=9 степенями свободы и доверительной вероятностью 0, 95 равно 2, 26. Поскольку абсолютная величина t, равная 4, 17 больше, чем 2, 26, мощность двигателя - это важная переменная для оценки расхода топлива. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t-значения для каждой из независимых переменных:
Из таблицы видно, что значения «Мощности двигателя – m4» и «Типа привода – m3» имеют абсолютную величину большую, чем 2, 26 следовательно, эти переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания путевого расхода топлива автомобиля. А такие значения как «Масса автомобиля – m2» и «Объем двигателя – m1» имеют абсолютную величину меньшую чем 2, 26. Следовательно, эти переменные, использованные в уравнении регрессии, необходимо исключить из модели. Это позволит повысить качество предсказания путевого расхода топлива автомобиля. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется научным исследованием; 2. Что является объектом научного исследования. Приведите примеры; 3. Что включает структура объекта научного исследования; 4. Формулирование цели и постановка задач научного исследования. Приведите примеры; 5. Какие виды научных исследований Вы знаете. Поясните их суть, достоинства и недостатки; 6. Структура экспериментального научного исследования; 7. Какие методики включает в себя экспериментальное научное исследование; 8. Поясните цель и содержание методики планирования экспериментального исследования; 9. Как определить объем выборки методом проверки статистических гипотез; 10. Устройство и тестовые возможности стендов с беговыми барабанами в процессе экспериментальных исследований на автомобильном транспорте; 11. Устройство и тестовые возможности стендов для исследования характеристик шин; 12. Устройство и тестовые возможности стендов для задания тестовых режимов при исследовании автомобильного двигателя; 13. Структура аналитического научного исследования на автомобильном транспорте; 14. Какое оборудование для задания тестовых режимов объектам исследования на автомобильном транспорте Вы знаете; 15. Как устанавливаются причинно-следственные связи на структурной схеме объекта исследования; 16. Как разрабатывается математическая модель исследуемого процесса; 17. Как осуществляется проверка адекватности и настройка математической модели; 18. Какие вопросы позволяет решать регрессионный анализ в процессе научных исследований на автомобильном транспорте; 19. Как построить модель множественной регрессии в среде MIKROSOFT EXCEL. 20. Начертите схему и поясните суть измерения сил тензометрическим методом; 21. Начертите схему и поясните суть измерения давления; 22. Начертите схему и поясните суть измерения моментов силы тензометрическим методом; 23. Как калибруется система измерения сил; 24. Начертите схему и поясните суть измерения интервалов времени цифровым методом; 25. Начертите схему и поясните суть измерения скорости вращения; 26. Начертите схему и поясните суть измерения угла поворота вала; 27. Начертите схему и поясните суть измерения угла поворота коленчатого вала двигателя; 28. Начертите схему и поясните суть измерения температуры при помощи сопротивления термопреобразователя; 29. Начертите схему и поясните суть измерения температуры при помощи термоэлектрического преобразователя (термопары); 30. Анализ температурных полей при помощи тепловизора; 31. Начертите схему и поясните суть стробоскопического метода измерения угла опережения зажигания; 32. Начертите схему и поясните суть гироскопического метода измерения углов; 33. Начертите схему и поясните работу расходомера топлива ротационного типа; 34. Начертите схему и поясните работу расходомера топлива объемного типа; 35. Начертите схему расходомера топлива объемного типа и поясните принцип его работы при измерении «мгновенного» и «путевого» расхода топлива; 36. Как осуществляется тарировка расходомера топлива; 37. Дайте определения понятию «абсолютная погрешность измерения». Как она определяется; 38. Дайте определения понятию «относительная погрешность измерения». Как она определяется; 39. Погрешности измерений. Как определяются абсолютная и относительная погрешности измерения силы тензометрическим методом; 40. Какое оборудование для визуализации результатов измерений Вы знаете; 41. Как устроен и как работает электронно-лучевой осциллограф; 42. Как осуществляется калибровка вертикальной шкалы электронно-лучевого осциллографа; 43. Как осуществляется калибровка горизонтальной шкалы электронно-лучевого осциллографа; 44. Аналого-цифровое преобразование. Приведите схему процесса и дайте пояснение; 45. Поясните метод кодирования чисел в виде сочетания нулей и единиц. Дайте определение понятию «логический ноль» и «логическая единица»; 46. Как строится гистограмма и кривая распределения случайной величины; 47. Как осуществляется обработка результатов измерений; 48. Как осуществляется анализ результатов экспериментального исследования; 49. Как выполняется аппроксимация данных функции с использованием метода наименьших квадратов; 50. Как аппроксимировать результаты экспериментального исследования в среде MIKROSOFT EXCEL. Дайте определение понятию «аппроксимация»; 51. Поясните суть коэффициента достоверности аппроксимации R2; 52. Перечислите статистические характеристики случайной величины. Список основной литературы: 1. Диагностика автомобиля: Учебник для вузов. // Федотов А.И., Изд-во ИрГТУ, Иркутск. 2012. 463 с. Ил. 273. Табл. 22. Библиограф.: 64 назв. 2. Электрические измерения физических величин: Методы измерения: Учебное пособие для вузов // С.А.Спектор., : Л. Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1987.- 320 с. 3. Основы технологии полигонных испытаний и сертификация автомобилей // Безверхий С.Ф., Яценко Н.Н., М.: ИПК Издательство стандартов, 1996. – 600 4. Прочность и долговечность автомобиля // Под общей ред. Б.В. Гольда, М., Машиностроение, 1974. 328 с., ил. 5. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ // Петрович М.Л., Давидович М.И. - М.: Финансы и статистика, 1989. -191 с.: ил. (Мат. обеспечение прикладной статистики). 6. Методы оптимизации. Вводный курс // Банди Б.: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1988. – 128 с.: ил. 7. Методы оптимизации в технической диагностике машин // Харазов А.М., Цвид С.Ф. М.: Машиностроение, 1983. – 132 с., ил. 8. Планирование эксперимента и анализ данных // Монтгомери Д., Пер. с англ. – Л.: Судостроение, 1980. – 384 с., ил. 9. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях // Грановский В.А., Сирая Т.Н., Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. – 288 с.: ил. 10. Шор. Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Госэнергоиздат, 1962, с. 552, С. 92-98. Список дополнительной литературы: 11. Диагностическое обеспечение технического обслуживания и ремонта автомобилей: Справ. пособие. – М.: Высш. шк., 1990. – 208 с.: ил. 12. Испытание автомобилей // Учебник для машиностроительных техникумов по специальности «Автомобилестроение» / Балабин И.В., Куров Б.А., Лаптев С.А. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1988. – 192 с.: ил. 13. Технологическое оборудование для технического обслуживания и ремонта легковых автомобилей: Справочник/ Р.А. Попржедзинский, А.М. Харазов и др. – М.: Транспорт, 1988. – 176 с., ил., табл. 14. Измерения в электро- и радиотехнике: Учеб. Пособие. для средн. проф.-техн. училищ. – М.: Выс. шк., 1984. – 207 с., ил.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Федотов Александр Иванович
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Учебно-методическое пособие для студентов вузов, обучающихся по профилю «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», направления подготовки 190600.62 эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, квалификации – «бакалавр», а также 190600.68 степени - «магистр»
Подписано в печать 2012. Формат 60х84 1/16
Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6, 25
Уч.- изд. л. 5, 9 Тираж 200 экз. Зак
ИД № 06506 от 26.12.2001 Иркутский государственный технический университет 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83
[1] Подробное описание принципа измерений с использованием мостовой схемы приведено на стр. 26 ÷ 30 [2] Подробно работа электронно-лучевой трубки описана в следующем разделе «Тема 6» [3] МЗР - дискретность квантования или младшее значение разряда, определяется как отношение амплитуды измеряемого сигнала на количество уровней квантования N=2n, которое при двоичном коде, и разрядности n=12 бит, N=4096.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 8214; Нарушение авторского права страницы
…, 
- последовательность линейно-независимых функций на [a, b]. Аппроксимирующую функцию 
будем представлять в виде: 
(56)
в заданных точках запишется в виде: 
(57)
, j=1, n. (58)
(59)
, j=1, n (60)
(61)
, (62)
– n мерный вектор-столбец свободных членов; 
– n мерный вектор-столбец неизвестных параметров, которые можно представить в виде: 
, (63)
, (64)
(65)
, обратную матрице A, тогда
(66)
(67)
, (69)
