Основные теоретические сведения. 1. Числовой ряд

 

1. Числовой ряд

	(1)

 

называется сходящимся, если существует предел его частичных сумм Число называется суммой ряда. Если же предел частичных сумм не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости: если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при

К достаточным признакам сходимости для рядов с положительными членами ( ) относятся:

а) Признак сравнения в предельной форме: если

		(2)

 

то ряды и одновременно сходятся или расходятся. В качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат:

ряд сходящийся при a > 1и расходящейся при a £ 1;

ряд сходящийся при 0£ q< 1 и расходящейся при q³ 1.

б) Признак Даламбера: если существует

		(3)

 

то ряд сходится при 0£ q< 1 и расходится при q> 1. Если же q=1, то вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.

Ряд с членами, имеющими разные знаки, называется условно сходящимся, если ряд сходится, а ряд расходится, и абсолютно сходящимся, если ряд сходится.

в) Признак Лейбница: если члены ряда удовлетворяют условиям: 1) < 0 (т.е. ряд знакочередующийся); 2) > > …> > …; 3) то ряд сходится. Погрешность D, происходящая от замены суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой его первых n членов, по абсолютной величине меньшего первого из отброшенных членов:

	(4)

< .

2. Ряд вида

		(5)

 

называется степенным рядом [относительно ], точка -центром разложения, -коэффициентом ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если ряд (5) сходится при < R и расходится при > R. При =R ряд может, как сходится, так и расходится. Интервал ( ) называется интервалом сходимости степенного ряда (5). Радиус сходимости R может быть найден по формуле

		(6)

 

Степенной ряд (5) внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.

3. Степенным рядом с комплексными числами называется выражение вида

где -комплексные постоянные. Областью сходимости этого ряда является круг с центром в начале координат , где R – радиус сходимости ряда.

По определению,

			(7)

 

 

(8)

Отсюда следует, что

4. Рядом Фурье периодической функции называется ряд вида

 

Функция, заданная на полупериоде [0, l], может быть представлена различными рядами Фурье. При четном продолжении данной функции на второй полупериод (-l, 0) получается ряд по косинусам

		(9)

 

 

а при нечетном продолжении – ряд по синусам:

 

 

3.2. примеры решения типовых задач

 

Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд

 

 

Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера (3). Так как общий член ряда то заменяя в выражении n-го члена n на n+1, находим Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при :

 

 

Поскольку полученный предел равен единице, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (здесь для вычисления предела было использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В качестве эталонного ряда выберем ряд и в силу формулы (2) получим

Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с общим членом расходится (гармонический ряд).

Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение. Радиус сходимости находим по формуле (6):

Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством или .

Исследуем концы интервала сходимости. При x= -1 получаем числовой ряд

расходимость которого может быть установлена с помощью предельного признака сравнения (эталонный ряд – гармонический).

При x= -3 получаем числовой знакочередующийся ряд

который сходится по признаку Лейбница. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд расходится, то исследуемый ряд сходится условно.

Таким образом, интервал сходимости исследуемого степенного ряда имеет вид

Пример 3. Вычислить с точностью до 0, 001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд по степеням x:

Так как отрезок интегрирования [-0.6; 0] находится внутри интервала сходимости биноминального ряда, то ряд можно почленно интегрировать. Подставляя в интеграл, вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем

Четвертый член меньше 0.001. Поэтому согласно неравенству (4) для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами ряда:

 

Пример 4. Найти сумму ряда с комплексными членами:

Решение. Общий член данного ряда имеет вид

т.е. ряд, по определению, является функцией при [см. формулу (7)]. Следовательно, сумма этого ряда равна значению функции в указанной точке: [см. формулу (8)]. Таким образом, получаем

Пример 5. Разложить периодическую функцию в ряд Фурье по косинусам.

Решение. Данная функция определена на полупериоде [0, 3], т.е. l=3. Для разложения такой функции в ряд Фурье по косинусам ее следует продолжить на второй полупериод [-3, 0) четным образом (рис. 4).

Рис. 4

Для четной функции коэффициенты b_n=0, а коэффициенты вычисляются по формулам (9):

при x³ 1,

при x< 1,

то отрезок интегрирования разобьем на два отрезка: от 0 до 1, где и от 1 до 3, где Тогда

При n=0 имеем

Для вычисления коэффициентов (n=1, 2, …) применим метод интегрирования по частям:

причем в первом интеграле примем u=1- x, откуда du= -dx, Во втором интеграле положим откуда

du=dx, Тогда

так как

Следовательно, искомое разложение функции в ряд Фурье по косинусам имеет вид

Это разложение справедливо в области непрерывности данной функции.

3.2. Контрольная работа № 6

Задача №30

Исследовать сходимость числовых рядов .

№	Общий член ряда
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)

 

Задача №31

Найти интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

 

№	Коэффициент	№	Коэффициент
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)
	а) ; б)		а) ; б)

Задача №32

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001 путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования полученного ряда.

 

№	Функция f(x), b	№	Функция f(x), b
	; 1		; 0, 1
	; 0, 5		; 1, 5
	; 1		; 1
	; 0, 5		; 0, 2
	; 0, 1		; 1
	; 0, 75		; 1
	; 0, 5		; 1
	; 0, 1		; 0, 1
	; 0, 5		; 0, 1
	; 0, 5		; 0, 4

 

Задача №33

 

Найти три первых, отличительных от нуля, члена разложения в степенной ряд решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего условию .

 

№	;	№	;
	; =1		; =0, 1
	; =0		; =1
	; =3		; =1
	; =0		; =1
	; =1		; =0, 1
	; =4		; =0
	; =2		; =0
	; =1		; =2
	; =0		; =1
	; =5		; =0

 

Задача №34

 

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на полупериоде по синусам или по косинусам. Построить график функции и график суммы полученного ряда Фурье.

 

№
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	; по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам
	по синусам
	по косинусам

 

Вопросы к экзамену

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

2. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих членов.

3. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами.

4. Докажите признак Деламбера сходимости знакопостоянных рядов.

5. Докажите интегральный признак сходимости ряда (Коши). Приведите примеры на применение этого признака.

6. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

7. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

8. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

9. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

10. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

11. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

12. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

13. Изложите метод приближённого вычисления определённых интегралов с помощью рядов.

14. В чём состоит задача численного интегрирования дифференциального уравнения?

15. Изложите метод Эйлера и метод Адамса численного интегрирования дифференциального уравнения.

16. Изложите метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

17. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

18. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

19. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для чётных и нечётных функций.

20. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Delphi. Основные характеристики и терминология
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. I. Общие сведения о воспитательном мероприятии
4. I. Основные профессиональные способности людей (Уровень 4)
5. II. ОСНОВНЫЕ ЖАЛОБЫ БОЛЬНОГО
6. II. Основные расчетные величины индивидуального пожарного риска
7. VIII. Основные направления просветительской, популяризаторской и коммуникативной деятельности библиотек
8. XVI. Основные правовые системы современности.
9. А. Жизненный цикл продукта и его основные стадии. Оценка конкурентоспособности продукта
10. Авторитарный режим: основные черты и виды
11. АДАПТАЦИИ К ПАРАЗИТИЧЕСКОМУ ОБРАЗУ ЖИЗНИ. ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ
12. Анатомо-физиологические особенности кроветворения, классификация, основные синдромы.