Основные теоретические сведения. График всякого решения данного дифференциального уравнения. 1.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

1.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется дифференцируемая функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям при (другая запись: ), называется задачей Коши.

График всякого решения данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости , называется интегральной кривой этого уравнения.

2.Уравнение вида называется линейным. Если , то уравнение называется однородным; если –неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования С.

Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены , где – две неизвестные функции.

3.Дифференциальное уравнение –го порядка, разрешенное относительно, производной, имеет вид .

Задача нахождения решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , называется задачей Коши.

Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция :

а) непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области их изменения; б) имеет ограниченные в области частые производные, по аргументам , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям ; ; …; , где значения ; ; ; …; содержатся в области D.

Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n-го порядка можно только в некоторых частных случаях.

5. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где , , - числа, причем . Если , то уравнение называется однородным, а если - неоднородным.

6. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть - дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:

1) - общим решением уравнения является функция ( и - корни характеристического уравнения);

2) - общим решением служит функция , ( - корень характеристического уравнения),

3) - общим решением является , ( , - корни характеристического уравнения).

7. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.

Теорема. Если - некоторое частное решение неоднородного уравнения и - общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.

1) Пусть ; тогда:

а) , если нуль не является корнем характеристического уравнения;

б) , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;

в) , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.

2) Пусть ; тогда:

а) , если число не является корнем характеристического уравнения,

б) , если число является корнем характеристического уравнения,

в) , если число является двукратным корнем характеристического уравнения.

3) Пусть ; тогда:

а) , если число не является корнем
характеристического уравнения;

б) , если число является корнем характеристического уравнения;

8. Система дифференциальных уравнений вида

где неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Пусть дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения , где

; ; .

Решение системы ищем в виде , , . Подставив значения , , …, в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно , , …, :

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения полу чаем уравнение -й степени:

Пусть это характеристическое уравнение имеет различных корней , , …, . Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:

1-е решение, соответствующее корню :

; ; …; ;

2-е решение, соответствующее корню :

; ; …; ;

-е решение, соответствующее корню :

; ; …; .

Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид

9. Пусть - функция, характеризующая отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени . Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

;

где , - масса единицы длины (линейная плотность струны); - сила, действующая на струну перпендикулярно оси и рассчитанная на единицу длины; - начальное натяжение.

Если (т. е. внешняя сила отсутствует), то получается уравнение свободных колебаний струны . Пусть , (форма и скорость струны в начальный момент времени). Эти условия называются начальными условиями задачи.

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид:

Решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; и граничным (краевым) условиям и , может быть представлено как сумма бесконечного ряда:

где , .

Граничные условия вводятся при изучении колебании струны длины , закрепленной в двух точках и .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Перепишем данное уравнение так: - и рассмотрим однородное уравнение . Так как (значение не является решением неоднородного уравнения), то

- общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде ; . Подставив значения и в неоднородное уравнение, получим

Так как , то

Подставив это значение в общее решение неоднородного уравнения, по лучим - общее решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения подставим значения , в общее решение: . Значит, - частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения 2ху" ' = у" и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение. Пусть .

Имеем .

Но ; .

Следовательно, - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для , и значение :

;

Из системы уравнений ; находим ; . Значит, искомое частное решение имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно, общее решение однородного уравнения.