Лекции, практические занятия

Стр 1 из 5Следующая ⇒

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Для заочников

ЧАСТЬ II

Учебно-методическое пособие

ТОЛЬЯТТИ 2006

УДК 51

ББК22.51

И 20

Утверждено Научно-методическим советом

факультета математики и информатики

Тольяттинского государственного университета

Научный редактор:

доктор технических наук, профессорП.Ф. Зибров.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессорА.А.Викарчук;

доктор педагогических наук, профессор Ю.К. Чернова.

И 20. Иванов О.И., Палфёрова С.Ш., Бабенко Н.Г. Высшая математика для заочников: Ч. I / Под науч. редакцией проф. П.Ф. Зиброва. – Тольятти: ТГУ, 2006. – 94 с. – Рис. 5; библиогр.: 11 назв.

ISBN

Учебно-методическое пособие содержит программу, необходимые теоретические сведения, методические указания, подробно решенные примеры, контрольные вопросы к каждому модулю и контрольные задания для студентов-заочников. Рекомендовано студентам заочной, очно-заочной и дистанционной форм обучения; может быть использовано преподавателями высшей математики при дополнительной работе над курсом.

ã Иванов О.И., Палфёрова С.Ш., Бабенко Н.Г.

ã Тольяттинский государственный университет, 2006.

CОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1.1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ 1.2. Чтение учебника 1.3. Решение задач 1.3. Консультации 1.4. Лекции, практические занятия и лабораторные работы 1.5. Зачёты и экзамены 1.6. Рекомендуемая литература 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 2.1. Основные теоретические сведения 2.2. Примеры решения типовых задач 2.3. Контрольная работа № 5 2.4. Вопросы к экзамену 3. РЯДЫ 3.1. Основные теоретические сведения 3.2. Примеры решения типовых задач 3.3. Контрольная работа № 6 3.4. Вопросы к экзамену 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 4.1. Основные теоретические сведения 4.2. Примеры решения типовых задач 4.3. Контрольная работа № 7 4.4. Вопросы к экзамену 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5.1. Основные теоретические сведения 5.2. Примеры решения типовых задач 5.3. Контрольная работа № 8 5.4. Вопросы к экзамену БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ

Преподавание математики в высших учебных заведениях имеет целью:

- формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению;

- обучение основным математическим методам, необходимым для анализа, моделирования и поиска оптимальных решений в процессах, явлениях и устройствах из области будущей деятельности студентов как специалистов.

Задачи преподавания высшей математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам действие основных законов природы, общества и техники, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в осуществлении научно-технического прогресса. Необходимо научить студентов приёмам исследования и решения математически формализованных задач, выработать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и её приложениям.

Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений.

Учебные планы университетов предусматривают выполнение ряда контрольных работ, объём и содержание которых определяются соответствующими программами. В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данной специальности, сообщаются студентам кафедрами высшей математики дополнительно к настоящему пособию.

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособию и по предложенным источникам (см. список рекомендуемой литературы). В пособии даются некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.

Номера вариантов контрольных задач определяются с помощью табл. 1, причем номера контрольных задач 1, 4, 7, 10 и т. д. находятся по первой букве фамилии студента; номера контрольных задач 2, 5, 8, 11 и т. д. находятся по первой букве имени студента; номера контрольных задач 3, 6, 9, 12 и т. д. находятся по первой букве отчества студента. Студенты-заочники полной формы обучения выполняют все задания контрольных работ: I семестр – задачи № 1 – 13, II семестр – задачи № 14 – 24, III семестр – задачи № 25 – 34, IV семестр – задачи № 35 – 46. Студенты-заочники, обучающиеся по сокращённой программе, выполняют в I семестре – задачи № 1, 4, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 18, 19, во II семестре – задачи № 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35, 36, 37.

Таблица I

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е, Ё	Ж, З	И	К	Л
№ вар.
Буква	М	Н, Ю	О, Я	П	Р, Ч	С, Ш	Т, Щ	У	Ф, Э	Х, Ц
№ вар.

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

I. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку синими или черными чернилами. Необходимо оставлять поля шириной 4 - 5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату её выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров.

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие. Если условие задачи имеет общую формулировку, то, переписывая его, следует общие данные заменить конкретными, взятыми из своего варианта. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

5. В прорецензированной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Рецензии позволяют студенту судить о степени усвоения соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала. В результате студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету или экзамену.

Чтение учебника

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях.

4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

5. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделились и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запоминать формулы, но и может служить постоянным справочником студента.

Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и, по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляются числовые значения (если они даны).

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретными физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

Консультации

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, в доказательстве теоремы или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

И лабораторные работы

Во время экзаменацонно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказывать только помощь студенту в его самостоятельной работе.

Зачеты и экзамены

На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

1.7. рекомендуемая литература

В данном учебно-методическом пособии ссылки обозначаются номерами в квадратных скобках в соответствии с предложенным списком рекомендуемой литературы; например, [I] означает ссылку на учебник Я. С. Бугрова и С. М. Никольского «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии».

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988. - 176 с,

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М,: Наука, 1988. - 432 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985. - 448 с.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Интеграл-пресс, 1997. - Т. I, 2.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

6. Мышкис А. Д. Математика для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 632 с.

7. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. - 320 с.

8. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982. – 238 с.

9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. - М.: Наука, 1981. - 464 с.

10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича, - М: Наука, 1981. - 368 с.

11. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984. – 211 с.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

РЯДЫ

Литература: [2], гл.9; [3], гл.4, 6, §6.9, 6.10; [4], т.2, гл. XVI, XVII; т.I гл. VII, §4, 5; [5], гл. XVII; [8], гл. 5, 9, 11.

Вопросы к экзамену

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

2. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих членов.

3. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами.

4. Докажите признак Деламбера сходимости знакопостоянных рядов.

5. Докажите интегральный признак сходимости ряда (Коши). Приведите примеры на применение этого признака.

6. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

7. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

8. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

9. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

10. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

11. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

12. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

13. Изложите метод приближённого вычисления определённых интегралов с помощью рядов.

14. В чём состоит задача численного интегрирования дифференциального уравнения?

15. Изложите метод Эйлера и метод Адамса численного интегрирования дифференциального уравнения.

16. Изложите метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

17. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

18. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

19. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для чётных и нечётных функций.

20. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Перепишем данное уравнение так: - и рассмотрим однородное уравнение . Так как (значение не является решением неоднородного уравнения), то

- общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде ; . Подставив значения и в неоднородное уравнение, получим

Так как , то

Подставив это значение в общее решение неоднородного уравнения, по лучим - общее решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения подставим значения , в общее решение: . Значит, - частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения 2ху" ' = у" и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение. Пусть .

Имеем .

Но ; .

Следовательно, - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для , и значение :

;

Из системы уравнений ; находим ; . Значит, искомое частное решение имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно, общее решение однородного уравнения.