Взаимное положение прямых линий. Конкурирующие точки

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 14Следующая ⇒

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:

Параллельные прямые линии

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны.

Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB//CD то A₁B₁//C₁D₁; A₂B₂//C₂D₂; A₃B₃//C₃D₃ (рисунок 4.3). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Особый случай представляют собой прямые линии, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рисунок 4.4).

В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П₃ пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:


а) модель	б) эпюр
Рисунок 4.3. Параллельные прямые

а) модель	б) эпюр
Рисунок 4.4. Прямые параллельные профильной плоскости проекций

Пересекающиеся прямые

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рисунок 4.5).

1) Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций, то прямые непересекающиеся (рисунок 4.6).


а) модель	б) эпюр
Рисунок 4.5. Пересекающиеся прямые

а) модель	б) эпюр

Рисунок 4.6. Одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций

По двум проекциям прямых невозможно судить об их взаимном расположении.

Так, горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.

2) Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рисунок 4.7). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции.

.

а) модель б) эпюр

Рисунок 4.7. Пересекающиеся прямые расположенные

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рисунок 4.8) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю.

На предложенном примере ближе точка В лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и Д решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам . В данном случае точки А и В - фронтально конкурирующие, а С и Д -горизонтально конкурирующие.

а) модель б) эпюр

Рисунок 4.8. Скрещивающиеся прямые

Внимание, задание! Вы подробно изучили все случаи взаимного расположения прямых в пространстве. Сравните рассмотренные случаи, составьте таблицу сравнения.

Контрольные вопросы

1 Сформулируйте аксиому принадлежности точки прямой

2 Как могут быть расположены в пространстве две прямые линии?

3 Какие прямые называются параллельными прямыми? Пересекающимися? Скрещивающимися?

4 Как задаются на комплексном чертеже параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые?

5 Какие точки называют конкурирующими точками?

ЛЕКЦИЯ №5

Проецирование плоскости

Цель лекции: иметь общее представление о плоскости, знать способы графического задания плоскости на чертеже и построение ее следов, изучить различные положения плоскости относительно плоскостей проекций.

· Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже.

· Следы плоскости.

· Плоскости общего и частного положения.

5.1 Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:

1) Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки.

2) Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0, (5.1)

где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю.

Способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1) Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рисунок 5.1).

2) Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рисунок 5.2).

3) Двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.3).

4) Двумя параллельными прямыми (рисунок 5.4).

5) Любой плоской фигурой, например, треугольником (рисунок 5. 1).

6) Следами (рисунок 5.5).


а) модель	б) эпюр
Рисунок 5.1. Плоскость заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

а) модель	б) эпюр
Рисунок 5.2. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

а) модель	б) эпюр
Рисунок 5.3. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми линиями

а) модель

б) эпюр

Рисунок 5.4. Плоскость, заданная двумя параллельными прямыми

Вопрос - задание

Обратите внимание на рисунки 5.1… 5 4! Вы внимательно рассмотрели все случаи графического задания плоскостей? Запомните их. Составьте рисунки, аналогичные предложенным рисункам 5.1… 5.4, изменив положение геометрических объектов.

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того, с какой из плоскостей проекций пересекается данная линия, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которой, необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой как для построения любой прямой).

На рисунке 5.5 показано нахождение следов плоскости α (АВС). Фронтальный след плоскости α _П2, построен, как прямая соединяющая две точки N_(АС) и N_(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α.

Горизонтальный след α _П1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след α _П3 – прямая соединяющая точки ( α _y и α _z ) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями.

Внимание! Запомните

Рассмотрите рисунок 5.5 – построение следов плоскости, заданной треугольником АВС. Как видите по рисунку, любую плоскость можно задать как плоской фигурой, так и следами.От одного способа графического задания плоскости всегда можно перейти к другому способу

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒