Момент силы относительно полюса (центра, точки)

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Момент силы относительно полюса характеризует меру вращательной способности силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку. Так как он должен указывать направление оси возможного поворота, то это должен быть вектор.

Определение: Моментом силы относительно полюса называется вектор (рис. 20), приложенный в полюсе, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс и силу в ту сторону, откуда видно, что сила стремится вращать тело вокруг полюса против часовой стрелки, и равный по величине произведению величины силы на плечо. Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы.

Обозначение: . Читается так: момент силы относительно полюса . Величина момента . Так как плечо можно рассматривать как высоту треугольника , о можно сказать, что величина момента силы относительно полюса равна удвоенной площади треугольника

Заметим, что эта " площадь" будет измеряться в ньютоно-метрах, так как основание треугольника–сила, а высота–длина.

Основные свойства момента силы относительно полюса

1. Момент силы относительно полюса не изменяется, если силу переносить вдоль ее линии действия.

2. Если линия действия силы проходит через полюс, то момент силы относительно полюса равен нулю.

3. Сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса равна нулю.

Эти свойства легко проверяются.

4.3. Момент силы относительно полюса как векторное произведение

Определим положение точки приложения силы вектором , который называется радиус-вектором точки приложения силы (рис. 21).

Тогда справедлива теорема.

Теорема. Момент силы относительно полюса равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы, то есть

Доказательство:

Такое представление момента силы относительно полюса легко проверяется. Для этого покажем, что векторы, стоящие в правой и левой частях этого равенства, равны по величине и одинаково направлены. В самом деле, модуль векторного произведения равен

где —плечо силы. По определению вектор направлен перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и (плоскости ), в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора к направлению вектора представляется происходящим против часовой стрелки, то есть так же, как вектор . Следовательно, векторы и совпадают и по величине и по направлению.

Связь между моментами силы относительно полюса и оси

Теорема. Проекция момента силы относительно полюса на ось , проходящую через этот полюс, равна моменту силы относительно оси :

Доказательство:

Для доказательства вычислим левую и правую части предполагаемого равенства и убедимся, что результаты вычислений совпадают (рис. 22).

Момент силы относительно полюса перпендикулярен плоскости треугольника и по величине . Обозначим угол между и осью через . Тогда проекция на ось :

Проведем через полюс плоскость, перпендикулярную оси и вічислим момент силі относительно оси :

(рассматривается случай, когда стремится повернуть плоскость вокруг оси против хода часовой стрелки).

Воспользуемся простым положением элементарной геометрии: площадь проекции плоской фигуры ( ) на некоторую плоскость ( ) равна площади проектируемой фигуры ( ), умноженной на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проектируемой фигуры. Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами к этим плоскостям в их общей точке, то есть угол . Тогда . Следовательно

Главный момент системы сил

Определение. Главным моментом системы сил относительно полюса называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно этого полюса.

Обозначение: , или . Если задана система сил , то

Определение. Главным моментом системы сил относительно оси называется алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно этой оси.

Обозначение: , или

Теорема. Проекция главного момента системы сил относительно полюса на ось , проходящую через этот полюс, равна главному моменту сил системы относительно этой оси, то есть

Доказательство:

Главный момент системы сил относительно полюса

Спроектируем это векторное равенство на ось , проходящую через полюс :

На основании теоремы о связи между моментом силы относительно полюса и моментом силы относительно оси

Следовательно .

4.6. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух полюсов

Дана система сил и два полюса: старый и новый (рис. 23).

Главный момент системы сил относительно старого полюса:

Главный момент относительно нового полюса:

Здесь и ( )–радиус-векторы точки приложения силы относительно старого и нового полюсов соответственно.

Из рисунка видно, что:

Тогда

где –главный вектор. Пришли к теореме о зависимости между главными моментами системы сил относительно двух полюсов.

Теорема. Главный момент системы сил относительно нового полюса равен сумме главного момента системы сил относительно старого полюса и момента главного вектора, приложенного к старому полюсу относительно нового –полюса, то есть

Следствие 1. Если главный вектор системы сил равен нулю, то ее главный момент не зависит от выбора полюса, то есть, если , то .

Следствие 2. Главный момент пары сил не зависит от выбора полюса и отличен от нуля.

Дана пара сил { } (рис. 24). , . Так как главный вектор . То главный момент пары не зависит от выбора полюса:

Линия действия силы проходит через полюс , то есть , и:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒