Частные случаи аналитических условий равновесия

1. Плоская система произвольно расположенных сил (все силы лежат в одной плоскости).

Выберем оси координат так, чтобы оси и лежали в плоскости сил (рис. 29). В этом случае из шести уравнений статики 3-е, 4-е, 5-е удовлетворяются тождественно. Уравнениями равновесия являются три:

1. ,

2. ,

3. .

Для того, чтобы тело под действием плоской системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: два уравнения проекций на оси, лежащие в плоскости сил и дно уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.

1. Плоская система параллельных сил.

Оси координат выбираем так, чтобы оси и лежали в одной плоскости с силами, причем ось параллельна силам (рис. 30). Это частный случай произвольной плоской системы сил. Из трех уравнений произвольной плоской системы сил первое выполняется тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие два:

1. .

2. .

Для того, чтобы тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения равновесия: уравнение проекций на ось, параллельную силам и уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.

3. Пространственная система параллельных сил.

Выберем оси координат так, чтобы ось была параллельна силам. В этом случае из шести уравнений статики 1-е, 2-е, 6-е удовлетворяются тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие три:

1. ,

2. ,

3. .

Для того, чтобы тело под действием пространственной системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: уравнение проекций на ось, параллельную силам и два уравнения моментов относительно осей, перпендикулярных силам.

4. Система сходящихся сил.

Выберем начало координат в точке схода (рис. 32) Так как моменты сил относительно осей координат равны нулю, то уравнения 4, 5, 6 выполняются тождественно. А уравнениями равновесия остаются первые три (они уже были получены ранее).

1. , 2. , 3. .

4. Плоская система сходящихся сил.

Линии действия всех сил пересекаются в точке , и все силы лежат в плоскости (рис. 33). Уравнениями равновесия такой системы являются:

1. ,

2.. ,

ОБЩИЙ ПРИЗНАК ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ СИСТЕМ СИЛ (КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ)

Теорема. Для того, чтобы две системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы у этих систем были геометрически равны соответственно главные векторы и главные моменты относительно одного и того же полюса.

Доказательство.

Необходимость.

Дано: .

Следует доказать, что у этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно одного и того же полюса, то есть что

, .

Доказательство: Системы сил и эквивалентны, следовательно, одна из другой могут быть получены с помощью элементарных операций. Но элементарные операции не изменяют главный вектор и главный момент системы сил – второе (геометрическое) свойство элементарных операций, поэтому , .

Достаточность.

Дано: две системы сил и , главные векторы и главные моменты которых равны, то есть , .

Доказать, что системы и эквивалентны.

Доказательство: Не ограничиваясь в общности, проводим доказательство в предположении, что каждая из систем

состоит из двух сил, то есть пусть даны системы сил

(рис 34а). В силу основной леммы статики системы сил

, содержащие произвольное число сил всегда при помощи элементарных операций могут быть приведены к двум силам, при этом главные векторы и главные моменты этих систем сил не изменяются.

Рассмотрим дополнительную систему , силы которой пряморотивоположны силам системы :

, .

Тогда , .

Системы сил (рис. 34а) и (рис. 34в) эквивалентны:

так как система может быть получена из системы отбрасыванием прямопротивоположных сил и .

Рассмотрим систему , состоящую из сил .

Главный вектор: .

Главный момент:

Согласно основной лемме статики систему сил можно заменить двумя силами . Тогда ~ . У эквивалентных систем сил равны главные моменты и главные вектор: поэтому

то есть – прямопротивоположные силы, которые можно отбросить. Таким образом:

или .

Теорема доказана.

ТЕОРИЯ ПАР СИЛ

Момент пары сил

Рассмотрим пару сил . По определению – это совокупность двух равных по величине и параллельных сил, направленных в противоположные стороны (рис. 35).

Плоскость, в которой лежит пара сил, называется плоскостью пары. Как уже отмечалось, главный момент пары не зависит выбора полюса и отличен от нуля.

Главный момент пары, не зависящий от выбора полюса, называется моментом пары. Обозначение: , или .

Момент пары – это свободный вектор, перпендикулярный плоскости пары, направленный в ту сторону, откуда видно, что пара стремится вращать тело против часовой стрелки, и равный по величине произведению одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (плечо пары).

Для доказательства этого утверждения рассмотрим пару (рис. 36).

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒