Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка

Стр 1 из 16Следующая ⇒

с постоянными коэффициентами……………………………………………….110

5.6 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы……………………….115

5.7 Числовые ряды………………………………………………………………………..117

5.8 Знакопеременные ряды…………………………………………………………...…118

5.9 Функциональные и степенные ряды……………………………………………....119

5.10 Теория вероятностей. Основные понятия ……………………………………....122

5.11 Теоремы сложения и умножения вероятностей ………………………………..125

5.12 Формула полной вероятности. Формула Бейеса ……………………………….131

5.13 Дискретная случайная величина …………………………………………….…. 133

5.14 Непрерывная случайная величина ………………………………………….….138

6. Литература………………………………………………………………………..….153

7.1 Основная литература………………………………………………………….........153

6.1. Дополнительная литература………………………………………………….…..153

Приложения……………………………………………………………………….………154

Введение.

Математика - наука о количественных отношениях и nространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Академик А.Н. Колмогоров выделяет четырe периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI-V вв. до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии - геометрии Евклида - на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.

В ХVП в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных, величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики nеременных величин.

На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического aнализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа - методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и вследствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является " воображаемая" геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в математике XIX-ХХ вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.

Потребности развития самой математики, " математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.

Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев, логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция; позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что само по себе играет большую роль в математических исследованиях, а чисто логическим путем, по законам формальной логики.

В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними зависимость.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Архимеда (287-212 г.г. до нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596-1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643-1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646-1716); математика, механика и физика Л. Эйлера (1707-1783); французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736-1813); немецкого математика К. Гаусса (1777-1855); французского математика О. Коши (1789-1857) и многих других крупнейших ученых.

Большой вклад в развитие математики внесли выдaющиеся русские математики - Н.И. Лобачевский (1792-1856), М.В. Остроградский (1801-1861), П.Л. Чебышев (1821-1894), А.А. Марков(1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918) и другие.

Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитыx математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, АН. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю. В. Прохорова, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.

Общие методические указания.

На первом курсе обучения студенты-заочники выполняют работу 1; на втором курсе – работу 2.

К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебнику и решения задач, указанных в каждой теме. Следует также внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном пособии к каждой теме. При этом следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр и номер контрольной работы. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.

2. После получения работы студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование.

3.Контрольные работы должны выполнятьсясамостоятельно. Если будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в этой работе все задачи решены верно.

4. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы. При необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.

5. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2 данного пособия.

Задачи для контрольной работы№1.

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания на контрольную работу №1 Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2

Таблица 1

№ варианта	Номера задач для контрольных работ на первом курсе

Таблица 2

№ варианта	Номера задач для контрольных работ на первом курсе

1 - 20. Даны векторы а (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), с (с₁; с₂; с₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а (1; 2; 3), b (-1; 3; 2), с (7; -3; 5), d (6; 10; 17).

2. а (4; 7; 8), b (9; 1; 3), с (2; -4; 1), d (1; -13; -13).

3. а (8; 2; 3), b (4; 6; 10), с (3; -2; 1), d (7; 4; 11).

4. а (10; 3; 1), b (1; 4; 2), с (3; 9; 2), d (19; 30; 7).

5. а (2; 4; 1), b (1; 3; 6), с (5; 3; 1), d (24; 20; 6).

6. а (1; 7; 3), b (3; 4; 2), с (4; 8; 5), d (7; 32; 14).

7. а (1; -2; 3), b (4; 7; 2), с (6; 4; 2), d (14; 18; 6).

8. а (1; 4; 3), b (6; 8; 5), с (3; 1; 4), d (21; 18; 33).

9. а (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; -7; 4), d (16; 14; 27).

10. а (7; 2; 1), b (4; 3; 5), с (3; 4; -2), d (2; -5; -13)

11. а (4; 1; 0) b (0; 1; -2) с (3; -1; 1), d (-5; 9; -13)

12. а (-1; 1; 0) b (0; 5; 1) с (3; 2; -1), d (-15; 5; 6)

13. а (1; 3; 0) b (1; 0; 1) с (0; -2; 1), d (8; 9; 4)

14. а (2; 1; 0) b (1; -1; 0) с (-3; 2; 5), d (23; -14; -30)

15. а (2; 1; 0) b (1; 0; 1) с (4; 2; 1), d (3; 1; 3)

16. а (0; 3; 1) b (1; -1; 2) с (2; -1; 0), d (-1; 7; 0)

17. а (1; -1; 2) b (3; 2; 0) с (-1; 1; 1), d (11; -1; 4)

18. а (1; 1; 4) b (-3; 0; 2) с (1; 2; -1), d (-13; 2; 18)

19. а (0; -2; 1) b (3; 1; -1) с (4; 0; 1), d (0; -8; 9)

20. а (0; 1; 5) b (3; -1; 2) с (-1; 0; 1), d (8; -7; -13)

21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребром А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

21. А₁(4; 2; 5), А₂(0; 7; 2), А₃(0; 2; 7), А₄(1; 5; 0).

22. А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 4).

23. А₁(4; 6; 5), А₂(6; 9; 4), А₃(2; 10; 10), А₄(7; 5; 9).

24. А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8).

25. А₁(10; 6; 6), А₂(-2; 8; 2), А₃(6; 8; 9), А₄(7; 10; 3).

26. А₁(1; 8; 2), А₂(5; 2; 6), А₃(5; 7; 4), А₄(4; 10; 9).

27. А₁(6; 6; 5), А₂(4; 9; 5), А₃(4; 6; 11), А₄(6; 9; 3).

28. А₁(7; 2; 2), А₂(5; 7; 7), А₃(5; 3; 1), А₄(2; 3; 7).

29. А₁(8; 6; 4), А₂(10; 5; 5), А₃(5; 6; 8), А₄(8; 10; 7).

30. А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1).

31. А₁(1; 3; 6), А₂(2; 2; 1), А₃(-1; 0; 1), А₄(-4; 6; -3).

32. А₁(-4; 2; 6), А₂(2; -3; 0), А₃(-10; 5; 8), А₄(-5; 2; -4).

33. А₁(7; 2; 4), А₂(7; -1; -2), А₃(3; 3; 1), А₄(-4; 2; 1).

34. А₁(2; 1; 4), А₂(-1; 5; -2), А₃(-7; -3; 2), А₄(-6; -3; 6).

35. А₁(-1; -5; 2), А₂(-6; 0; -3), А₃(3; 6; -3), А₄(-10; 6; 7).

36. А₁(0; -1; -1), А₂(-2; 3; 5), А₃(1; -5; -9), А₄(-1; -6; 3).

37. А₁(5; 2; 0), А₂(2; 5; 0), А₃(1; 2; 4), А₄(-1; 1; 1).

38. А₁(2; -1; -2), А₂(1; 2; 1), А₃(5; 0; -6), А₄(-10; 9; -7).

39. А₁(-2; 0; -4), А₂(-1; 7; 1), А₃(4; -8; -4), А₄(1; -4; 6).

40. А₁(14; 4; 5), А₂(-5; -3; 2), А₃(-2; -6; -3), А₄(-2; 2; -1).

41 - 60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 - 80. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

61.	а)	б)
в)	г)
62.	а)	б)
в)	г)
63.	а)	б)
в)	г)
64.	а)	б)
в)	г)
65.	а)	б)
в)	г)
66.	а)	б)
в)	г)
67.	а)	б)
в)	г)
68.	а)	б)
в)	г)
69.	а)	б)
в)	г)
70.	а)	б)
в)	г)
71.	а)	б)
в)	г)
72.	а)	б)
в)	г)
73.	а)	б)
в)	г)
	а)	б)
в)	г)
75.	а)	б)
в)	г)
76.	а)	б)
в)	г)
77.	а)	б)
в)	г)
78.	а)	б)
в)	г)
79.	а)	б)
в)	г)
80.	а)	б)
в)	г)

81 – 100. Найти производные данных функций.

81.		82.
83.		84.
85.		86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

101 - 120. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

101. у = 4х/(4+х²) 102. y = (x²-1)/(x² +1)

103. y = (x²+1)/(x²-1) 104. y = x²/(x-1)

105. y = x³/(x²+1) 106. y = (4x³+5)/x

107. y = (x²-5)/(x-3) 108. y = x⁴/(x³-1)

109. y = 4x³/(x³-1) 110. y = (2-4x²)/(1-4x²)

111. y = (1nx)/ 112. y = x

113. y = 114. y = x²-21nx

115. y = 1n (x²-4) 116. y = e^1/(2-x)

117. y = 1n (x²+1) 118. y = (2+x²)

119. y = 1n (9-x²) 120. y = (x-1)e³^x⁺¹.

121 - 140. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах а) и б) проверить результаты дифференцированием.

121.

122.

123.

124. ;

125. ;

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135. ;

136.

137.

138.

139.

140.

141. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х²+ 1 и

прямой у = 3х + 7.

142. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоды

х = а(t - sin t), y = a(1 - cos t), и осью Ох.

143. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r = 3(1 + cos φ ).

144. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

r = 4sin 2φ .

145. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = .

146. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у = , параболой х = и осью Оу.

147. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у = 2/(1 + х²)⁴ и у = х².

148. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = от точки А (2; 0) до точки В (6; 8).

149. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 - cosφ ).

150. Вычислить длину одной арки циклоиды х = 3(t - sint), y = 3(1 - cost), .

151. Вычислить длину дуги

152.. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных графиками функций . Ось вращения

153. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

154. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

155. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

156.. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

157.. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах

158. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций . Ось вращения

159. Вычислить длину дуги

160. Вычислить длину дуги

3. Указания к выполнению контрольной работы №1.

Определители

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒