ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 23Следующая ⇒

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции: “все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а начальные условия одинаковы.

Это основа ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

Постулаты Эйнштейна:

1. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные в данной инерциальной системе отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы к другой;

2. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. По этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т.е. явления механические, электродинамические, оптические и др. во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Согласно второму постулату, постоянство скорости света в вакууме – фундаментальное свойство природы.

Общая теория относительности – результат развития специальной теории относительности. Из нее вытекает, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени может изменяться от одной области к другой, в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ.

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными и в них законы классической динамики имеют одинаковую форму.

( Механический принцип относительности Галилея ).

Связь между координатами какой-либо точки А в двух системах отсчета

( К и К¹ ) в какой-то момент времени,

x = x¹ + u_xt,

y = y¹ + u_yt,

z = z¹ + u_zt, (9.1).

где ( x, y, z ) - координаты в системе К, (x¹, y¹, z¹) - координаты в системе К¹, движущейся относительно системы К со скоростью u. В классической механике ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета ( t = t¹.).

МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

Эти соотношения справедливы лишь для классической механики, когда u< < c, а при скоростях сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более, общими преобразованиями Лоренца. Продифференцировав выражения для координат по времени, получим уравнение v = v¹ + u, (9.2),

представляющее собой правило сложения скоростей. Ускорение в системе К

a = dv/dt = d(v¹ + u)/dt = dv¹/dt = a¹. (9.3).

Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К¹ одинаково. Значит, уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются.

ПОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

Эйнштейн создал специальную теорию относительности, представляющую собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. В основе специальной теории относительности лежат постулаты.

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ: Никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно.

ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ СКОРОСТИ СВЕТА: Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

По первому постулату все явления (механические, оптические, электродинамические) во всех инерциальных системах протекают одинаково. По второму постулату, постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА.

Преобразования Лоренца имеют вид:

К Þ К¹К¹ Þ К

x¹ = (x - vt)/Ö (1-b²) x = (x¹ + vt)/Ö (1-b²)

y¹ = y y = y¹

z¹ = z z = z¹

t¹ = (t - vx/c²)/Ö (1-b²) t = (t¹+vx¹/c²)/Ö (1-b²) (9.4).

где b = v/c. (9.5).

Приведенные уравнения симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К о тносительно системы К¹ равна v, то скорость движения системы К¹ относительно системы К равна (- v). Преобразования Лоренца при малых скоростях, т.е. когда b < < 1, они переходят в классические преобразования Галилея. Из преобразований Лоренца следует вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА.

I). Одновременность событий в разных системах отсчета.

В системе К в точках пространства с координатам х₁ и х₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К¹ им соответствуют координаты х₁¹ и х₂¹ и моменты времени t₁¹ и t₂¹. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁ = х₂) и являются одновременными (t₁ = t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца

x₁¹ = x₂¹,

t₁¹ = t₂¹, (9.6).

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета. Если события в системе К пространственно разобщены (х₁=/х₂), но одновременны (t₁ = t₂), то в системе К¹,

x₁¹ = (x₁ - vt)/Ö 1 - b²,

x₂¹= (x₂ - vt)/Ö 1 - b²,

t₁¹ = (t - vx₁/c²)/Ö 1 - b²,

t₂¹ = (t - vx₂/c²)/Ö 1 - b²,

x₁¹ =/ x₂¹,

t₁¹ =/ t₂¹. (9.7).

В системе К¹ события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и не одновременными.

В одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому.

II) Длительность события в разных системах отсчета.

Если в системе К в некоторой покоящейся точке (координаты х ), происходит событие, длительностью t = t₂ -t₁. (9.8).

Длительность этого же события в системе К¹ t¹ = t₂¹ -t₁¹, (9.9).

причем началу и концу события, соответствуют

t₁¹ = (t - vx₁/c²)/Ö 1 - b², t₂¹ = (t - vx₂/c²)/Ö 1 - b². (9.10).

В результате получим t¹ = t₂¹ -t₁¹ = (t₂ - t₁)/Ö 1 - b² = t /Ö 1 - b². (9.11).

Отсюда длительность события, происходящего в точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

III ). Длина тела в различных системах отсчета.

Длина стержня в системе К¹ будет

l₀¹ = x₂¹ - x₁¹, (9.12).

где х₁¹ и х₂¹ — не изменяющиеся со временем t¹ координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К¹ стержень покоится. Найдем длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v.

Рис.73. Измерение длины движущегося стержня.

Для этого необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность

l = х₂-х₁ (9.13).

даст длину стержня в системе К. Из преобразований Лоренца,

l₀¹=x₂¹-x₁¹=[(x₂-vt)/Ö 1-b²]-[(x₁-vt)/Ö 1- b²]=(x₂-x₁)/Ö 1-b²= l/Ö 1 -b². (9.14).

IV) Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение точки в системе К¹, движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К¹ в момент времени t¹ - координатами

x¹, y¹, z¹, то

u_x = dx/dt,

u_y = dy/dt,

u_z = dz/dt (9.15).

u_x¹ = dx¹/dt¹,

u_y¹ = dy¹/dt¹,

u_z = dz¹/dt¹. (9.16).

Согласно преобразованиям Лоренца

dx = (dx¹ +vdt¹)/Ö 1 - b²,

dy = dy¹,

dz = dz¹,

dt = dt¹ + vdx¹/c²)/Ö 1 - b², (9.17).

Произведя преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

К¹ Þ К К Þ К¹

u_x=(u_x¹ + v)/(1 + vu_x¹/c²) u_x¹=(u_x - v)/(1 - vu_x/c²)

u_y=(u_x¹ Ö 1 - b²)/(1 + vu_x¹/c²); u_y¹=(u_y¹ Ö 1 - b²)/(1 - vu_x¹/c²);

u_z=(u_z¹ Ö 1 - b²)/(1 + vu_x¹/c²); u_z¹=(u_z¹ Ö 1 - b²)/(1 - vu_x¹/c²); (9.18).

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна

u = (c +v)/(1 + cv/c) = c. (9.19).

т.е. скорость света в вакууме есть предельная скорость.

ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ.

Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения обычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте.

Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и её движения, оказывается неправильным.

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времен. В четырех мерном пространстве, в котором каждое событие характеризуется координатами (x, y, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

s₁₂ = Ö c²(t₂- t₁)² - (x₂ - x₁)² - (y₂- y₁)² - (z₂ - z₁)², (9.20).

где

Ö c²(t₂- t₁)² - (x₂ - x₁)² - (y₂- y₁)² - (z₂ - z₁)²= l₁₂ , (9.21).

обозначив t₁₂ = t₂ - t₁ , получим

s₁₂ = Ö c²t₁₂² - l₁₂². (9.22).

Интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. В системе К

s₁₂² = c²(Dt)² - (Dx)²- (Dy)²-(Dz)², (9.23).

а в системе К¹

(s₁₂¹)² = c²(Dt¹)² - (Dx¹)²- (Dy¹)²-(Dz¹)²(9.24).

Cогласно преобразованиям Лоренца

Dx¹ = (Dx - vDt)/Ö 1 - b²),

Dy¹= Dy, Dz¹= Dz,

Dt¹ = (Dt - vDx/c²)/Ö 1 - b²). (9.25).

И после элементарных преобразований получим, что

(s₁₂¹)² = (s₁₂)². (9.26).

Рис. 74. Относительность промежутков времени. Моменты наступлений событий в системе K' фиксируются по одним и тем же часам C, а в системе K – по двум синхронизованным пространственно-разнесенным часам C₁ и C₂. Система K' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы K.

Интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета. Развитие теории относительности показало, что свойства пространства-времени определяются действующими полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой, а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и характера их движения.

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gif Измерение промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком времени, отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от показания тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизированные часы. Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано на независимости скорости света в пустоте от направления распространения. Существование единого мирового времени, не зависящего от системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической физике, эквивалентно неявному допущению о возможности синхронизации часов с помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно большой скоростью. В разных точках выбранной системы отсчета можно расположить синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках: эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое время. Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от системы отсчета, т.е. является относительным.

τ = τ ₀/(√ 1 – (v²/c²)) = τ ₀/(√ 1 – β ²), (9.27).

где

β = (v²/c²). (9.28).

Собственное время τ ₀ всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света. Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K': для любого наблюдателя в K или K' медленнее идут часы, связанные с движущейся по отношению к наблюдателю системой.

С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый (парадокс близнецов). Один из близнецов остается на Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в космическое путешествие.

Для него медленнее течет время на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его. Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней точке траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле. Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒