УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.

Выделим в текущей жидкости трубку тока, с сечениями S₁ и S₂. В месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено h₁. А в месте сечения S₂, скорость течения v₂, давление р₂ и высота сечения h₂. За промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечения S₁ и S₁¹ к сечениям S₂ и S₂¹.

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии W₂ - W₁ жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

W₂ - W₁ = A, (6.15).

где W₂ и W₁ - полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂. Но А - это работа, перемещения жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за время Dt. При перенесении массы m от S₁ до S₁¹ жидкость перемещается на расстояние

l₁ = v₁Dt. (6, 16).

и от S₂ до S₂¹ - на расстояние

l₂ = v₂Dt. (6.17).

Следовательно,

A = F₁l₁ + F₂l₂, (6.18).

где

F₁ = p₁S₁ (6.19).

и

F₂ = p₂S₂. (6.20).

Полные энергии: W₁ и W₂, будут складываться из потенциальной и кинетической энергий:

W₁ =(mv₁²)/2 +mgh₁; (6.21).

W₂ =(mv₂²)/2 +mgh₂. (6.22).

Подставим выражение для энергий в выражение для работы:

(mv₁²)/2 + mgh₁ + p₁S₁v₁Dt = (mv₂²)/2 + mgh₂ + p₂S₂v₂Dt. (6.23).

По уравнению неразрывности, объем жидкости, постоянен:

DV = S₁v₁Dt = S₂v₂Dt. (6.24).

Разделив уравнение для работы на DV, получим

(rv₁²)/2 + rgh₁ + p₁ = (rv₂²)/2 + rgh₂ +p₂, (6.25).

где r - плотность жидкости. Для любого сечения

(rv²)/2+rgh + p = cоnst. (6.26).

Уравнение Бернулли — это закон сохранения энергии для установившегося течения жидкости. Величина р, называется статическим давлением, величина (rv²)/2 - динамическим давлением, а rgh - гидростатическим давлением. Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) можно записать

(rv²)/2 + p = const, (6.27).

где

p + (rv²)/2 (6.28).

называется полным давлением. Из уравнений неразрывности и Бернулли следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе с разными сечениями, скорость больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.

В частности, для горизонтально расположенной трубы (h₁ = h₂) уравнение Бернулли принимает вид:

(ρ v²)/2 + p =const. (6.29).

Из него следует, что: Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше.

Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли следует применять к линиям тока, т.е. линиям, вдоль которых перемещаются частицы жидкости при стационарном течении. При истечении жидкости из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂ выхода ее из отверстия).

(rv₁²)/2 + rgh₁ + p₁= (rv₂²)/2 + rgh₂ + p₂. (6.30).

Рис. 47. Измерение давления в потоке жидкости с помощью манометров. υ 1 < υ 2 < υ 3; h1 > h2 > h3.

Рис. 48. Истечение жидкости из широкого сосуда.

Д авления р₁ и р₂ вне жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному ( р₁ = р₂), то уравнение примет вид:

(v₁²)/2 + gh₁ = (v₂²)/2 + gh₂. (6.31).

Из уравнения неразрывности следует, что

v₂/v₁ = S₁/S₂, (6.32).

где S₁ и S₂ - площади поперечных сечений. Если S₁ > > S₂, то членом v₁²/2 можно пренебречь и тогда

v₂² = 2g(h₁ - h₂) = 2gh, (6.33).

v₂ = Ö 2gh. (Формула Торичелли). (6.34).

 

 

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifЛекция № 7.

ЭНЕРГИЯ. РАБОТА.

В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физики вводится скалярная величина ( энергия). Движение - неотъемлемое свойство материи. Поэтому любое тело, любая система тел и полей обладают энергией. Для различных форм движения и соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды энергии – механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и т.д. Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной. Для оценки процесса обмена энергией между телами, в механике вводится понятие работы. z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifРаботой A, совершаемой постоянной силой F называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы F и перемещения s.

A = (F.s) = F.s(cosa). (7.1).

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна

(0 ≤ ά < 90^o), так и отрицательна (90⁰ < ά ≤ 180^o). В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 H на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Рис. 49. Работа силы F.

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Если проекция F_x силы F на направление перемещения s не остается постоянной, работу следует вычислять для малых перемещений Δ s_i и суммировать результаты: A = ∑ Δ A_i = ∑ F_siΔ s_i. (7.2).

Элементарной работой силы называется скалярная величина:

dA = (F.dr) = F(cosa).ds. (7.3).

A = ò F(cosa)ds. (7.4).

Рис.50. Работа силы тяжести.

Необходимо только знать функцию силы F вдоль траектории. Работа всех внешних сил, действующих на материальную точку, равна приращению кинетической энергии этой точки:

A = W₂ - W₁ = (mv₂²)/2 - (mv₁²)/2. (7.5).

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif

Рис. 51. Графическое определение работы. Δ Ai = FsiΔ si.

z: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz: \Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком F_s(x). Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами и равна работе равнодействующей приложенных сил.

Работа силы, совершаемая в единицу времени или скорость совершения работы, называется мощностью.

N = dA/dt = F.dr/dt = F.v. (7.6).

Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:

N = A/t. В Международной системе СИ единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Сила F, действуя на тело, совершает работу, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы, т.е.

dA = dW. (7.7).

По второму закону Ньютона

F = m(dv/dt) (7.8).

и умножив обе части равенства на dr, получим

Fdr = m.dv.dr/dt = dA (7.9).

и зная, что v = dr/dt,

dA = mvdv/dt = dW. (7.10).

Проинтегрировав уравнение, найдем, что кинетическая энергия равна

W = (mv²)/2. (7.11).

Теорема о кинетической энергии справедлива и когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы.

 

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.

Потенциальная энергия – это энергии взаимодействия тел. Потенциальная энергия вводится только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Взаимодействие тел осуществляется через силовые поля. Тело в потенциальном поле имеет энергию W_n.. Работа при малом изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии (со знаком минус), поскольку она совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA = - dW_n. (7.12).

dA это скалярное произведение силы F на перемещение dr:

Fdr=- dW_n. (7.13).

Рис. 52. Работа консервативной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0.

Отсюда сила F по модулю и направлению

F=-dW_n/dr, (7.14).

а потенциальная энергия

W_n=- ò Fdr+C, (7.15).

где С - постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Для консервативных сил

F_x = - dW_n/dx, F_y = - dW_n/dy, F_z = - dW_n/dz, F = -gradW_n. (7.16).

Рис.53..Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Конкретный вид функции W_n зависит от характера поля. Так потенциальная энергия тела массой m на высоте h над Землей

W_n = mgh, (7.17).

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, на котором W_n = 0.

Рис. 54. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

Для упруго деформированного тела сила упругости пропорциональна величине деформации F_упр = - kx, (7.18).

где k - коэффициент упругости. По третьему закону Ньютона,

F_деф= - F_упр = kx. (7.19).

Работа dA, совершаемая силой F_деф, при малой деформации dx,

dA = F_дефdx = kxdx, (7.20).

а полная работа A = ò kxdx = kò xdx = (kx²)/2 (7.21).

идет на увеличение потенциальной энергии деформированного тела,

W_n = (kx²)/2. (7.22).

На тело вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести

F = mg. (7.23).

Работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения Δ s на ось OY, направленную вертикально вверх:

A = F_TΔ scosά = mgΔ s_v. (7.24).

Где F_T = F _Tv = - mg. (7.25).

– проекция силы тяжести, Δ s_v. – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δ s_v.> 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h₁, в точку, расположенную на высоте h₂ от начала координатной оси OY , то сила тяжести совершила работу

A = - mg(h₂ – h₁) = - - (mgh₂ – mgh₁). (7.26).

Эта работа равна изменению mgh, взятому с противоположным знаком. Эту величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

W_p = mgh. (7.27).

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень. Потенциальная энергия W_p зависит от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение Δ W_p = (W_p2 – W_p1). (7.28).

Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня. Понятие потенциальной энергии справедливо и для упругой силы. Работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком.

A_упр. = - A = -(kx²/2). (7.29).

Где k – жесткость пружины. Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину W_p = (kx²/2). (7.30).

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
2. A. Смещение суставной головки через вершину суставного бугорка на передний его скат
3. A.27. Процедура ручной регулировки зеркала заднего вида
4. B. С нарушением непрерывности только переднего полукольца
5. Cсрочный трудовой договор и сфера его действия.
6. F. Оценка будущей стоимости денежного потока с позиции текущего момента времени
7. G) определение путей эффективного вложения капитала, оценка степени рационального его использования
8. H) Такая фаза круговорота, где устанавливаются количественные соотношения, прежде всего при производстве разных благ в соответствии с видами человеческих потребностей.
9. I. МИРОВОЗЗРЕНИЕ И ЕГО ИСТОРИЧЕСКИЕ ТИПЫ
10. I. ПОЛОЖЕНИЯ И НОРМЫ ДЕЙСТВУЮЩЕГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА, В ОБЛАСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ ПРОПАГАНДЫ И ОБУЧЕНИЯ НАСЕЛЕНИЯ МЕРАМ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
11. I. Рабочее тело и параметры его состояния. Основные законы идеального газа.
12. III ПУТЬ ПРЯМОГО ВНУТРЕННЕГО ОПЫТА