Тема: Вычисление производных

Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложных функций, обратных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, понятием сложная и обратная функция.

Основной теоретический материал

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точкеx₀называется число, к которому стремится разностное отношение , при ∆ х, стремящемся к нулю.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти значение производной функции у = sin (4x – ) в точке х₀ =

Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

у′ = (sin (4x – ))′ = (4x – )′ ·cos(4x – ) = 4 cos(4x – )

у′ ( ) = 4 cos(4· – ) = 4 cos = 4· = 2 . Ответ: 2

Пример 2. y = x³ – 3x² + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1).

Решение: Найдем производную данной функции: y ' = 3x² – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ: 14

Пример 3. Найти производную данной функцииy = lnx · cosx.

Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования: y ' = (lnx) ' cosx + lnx (cosx) ' =1/x∙ cosx – lnx · sinx.

Пример 4. Найти производную данной функцииy = .

Решение: Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:

y′ = =

Тренировочные задания:

Найдите производные функций:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)

Найдите значения производных функций f '(2); g'(1); h'(0), если f(х) = ; g(х) = ; h(х) = .
Найдите значения производных функций f '(2); g'(1); h'(0), если

f(х) = ; g(х) = ; h(х) = .

Требования к оформлению практической работы

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради.

Практическое занятие №6

Тема: Построение графиков функции

Цель работы: Проверить на практике знание понятия производной функции, понимание геометрического смысла производной, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы, промежутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты функции, применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме.

Основной теоретический материал

При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:

1°. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2°. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.

3°. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4°. Находят критические точки функции.

5°. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.

6°. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.

7°. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выражение для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов исследования первой производной; если функция - четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т. п.

Решение типовых заданий:

Пример 1: Построить графики функций: f(x) = x² + 2x-3.

Решение.

1°. Функция определена на интервале ( - ∞; ∞ ). Точек разрыва нет.

2°. Имеем f(- х) = (- х)² + 2(-х) - 3 = х² - 2х - 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-х)≠ f (х) и f (-х)≠ -f (х).

3°. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если у=0, то х²+2х-3=0, Решая квадратное уравнение найдем корни: х₁ = -3, х₂= 1. Значит, кривая пересекает ось абсцисс в точках (-3; 0) и (1; 0). Если х=0, то из равенства у=х²+2х-3 следует у=-3, т. е. кривая пересекает ось ординат в точке (0; -3).

4°. Найдем критические точки функции. Имеем у'=2х+2; 2х+2=0; 2(х+1)=0; х=-1.

5°. Область определения функции разделится на промежутки (- ∞, -1) и (- 1, ∞ ). Знаки производной f'(х) в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка. Так, f'(-2)=-2< 0, f'(2) = 2> 0. Следовательно, в промежутке (-∞, -1) функция убывает, а в промежутке (-1, ∞ )-возрастает. При х=-1 функция имеет минимум, равный f(-1)=f_min=(-l)²+2(-l)-3=l-2-3=-4.

Составим таблицу:

х	(-∞; -1)	-1	(-1, ∞ )
f′ (х)	-		+
f		f_min=-4

6°. Находим f" (х) = 2, т.е. f" (х)> 0. Следовательно, кривая вогнута на всей области определения и не имеет точек перегиба.

7°. Построим все найденные точки в прямоугольной системе координат и соединим их плавной линией.

Пример 2. у=х³-12х + 4.

Решение:

1°. Функция определена на интервале (-∞; ∞ ). Функция непрерывна во всей области определения.

2°. Имеем f(-х)=(-х)³+12(-х)4=-х³-12х+4. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f(-х)≠ f(х) и f (-х)≠ -f (х).

3°. Если х = 0, то у = 4, т. е. график функции пересекает ось ординат в точке (0, 4).

4°. Имеем у'= 0, у'= 3х² -12, 3х²-12 = 0, 3(х + 2)(х-2) = 0; х₁= -2, х₂-2- критические точки функции.

5°. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Её область определения разделится на промежутки (-∞; -2), (-2; 2), (2; ∞ ).

Составим таблицу;

х	(-∞, -2)	-2	(-2, 2)		(2, ∞ )
у′	+		-		+
у		у_max=20		у_min=-12

6°. Находим у" = (3х² - 12)' = 6x; 6x=0; x=0. Определим знаки второй производной слева и справа от точки х=0: у''_х=-1=- 6< 0; y" _х=1=6> 0. Следовательно, в промежутке (-∞, 0) кривая выпукла, а в промежутке (0, ∞ ) - вогнута. При х=0 имеем точку перегиба; ее ордината у=0-12∙ 0 + 4 = 4.

Составим таблицу:

х	(-∞; 0)		(0; ∞ )
у"	—		+
у	Выпукла	Точка перегиба (0; 4)	Вогнута

7°. Кривая изображена на рисунке.

Пример 3. у = х⁴- х².

Решение.

1°. Область определения функции - интервал (-∞, ∞ ). Точек разрыва нет.

2°. Здесь f(-x) = f(x), так как х входит только в четных степенях. Следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси Оу.

3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х =0, тогда у = 0. Значит, кривая пересекает ось Оув точке (0; 0).

Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:

х⁴– х²=0; х⁴ – 6х²=0; x²(x²–6) = 0. Отсюда х²= 0, x_1,₂= 0, т. е. две точки пересечения слились в одну точку касания; кривая в точке (0; 0) касается осиОх. Далее, имеем х²– 6=0, т.е. х_{3, 4} = ≈ ±2, 45.

Итак, в начале координатО(0; 0) кривая пересекает ось ОуикасаетсяосиОх, а в точках А (-2, 45; 0) и В (2, 45; 0) пересекает ось Ох.

4°. Найдем критические точки функции:

y' = x³-3x; x³-3x= 0; х(х²-3)= 0; х₁=0; х₂, ₃=± ≈ ±1, 7. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞; ), ( , 0), (0, ), ( , ∞ ).

5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.

Находим у" = 3х²–3. При х = 0 получим у" _х₌₀=-3, т.е. у_max=0, и, значит, О(0; 0) - точка максимума. Далее при х= имеем = 6, т.е. y_min = ( )⁴- ( )²= -2, 25. Таким образом, D( ; -2, 25) - точка минимума, а вследствие симметрии минимум достигается такжев точкеС(- ; -2, 25). Составим таблицу:

х	(-∞; - )	-	(- ; 0)		(0; )		( ; ∞ )
у'	-		+		-		+
у		y_min=-2, 25		у_max=0		y_min =-2, 25

6°. Имеем у" =3(x²-1) = 0, 3(х-1)(х+1) = 0, х₁, ₂=±1. Точки х=-1 и х= 1 разбивают область определения функции на интервалы (-∞, -1), (-1, 1) и (1, ∞ ). В интервалах (-∞, -1) и (1, ∞ ) имеем у" > 0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (-1, 1) имеем у" < 0, т. е. здесь она выпукла. При х= -1 и х= 1 получаем точки перегиба Е и F, ординаты которых одинаковы: у(-1) = у(1)=-1, 25.

Составим таблицу:

х	(-∞, -1)	-1	(-1; 1)		(1; ∞ )
у"	+		-		+
у	Вогнута	Точка перегиба (-1; -1, 25)	Выпукла	Точка перегиба (1; 1, 25)	Вогнута

7°. График изображен на рисунке.

Тренировочные задания:

Исследовать функцию:

1. y = x³ - 3x² + 4	2. f(x) = х³ - 3х.
3. у= х⁴-2х² + 3	4. у= 8 – 2х – х²
5. у=4х² – х⁴ – 3	6. у= х³ – 2х²
7. у=	8. f(x) =1 – 2, 5 х²- х⁵
9. f(x) = 3 – 3х + х³	10.f(x) =2х³ – 6х

Требования к оформлению практической работы

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради.

Практическое занятие №7

Тема: Вычисление неопределенного интеграла

Цель работы: проверить на практике знание понятия неопределённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять неопределённый интеграл методом введения новой переменной и интегрирования по частям.