Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами

Над матрицами можно выполнять такие действия [7]:

· складывать;

· умножать;

· умножать на число;

· транспонировать и др.

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если

и ,

то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Суммой двух матриц A и B называется матрица, определяемая равенством

Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу:

Складывать можно лишь матрицы одинакового размера.

Например, – сложить нельзя, т.к. размеры матриц различны.

Рассмотрим операцию сложение матриц на примере

Пусть заданы две матрицы Найдем матрицу С=А+В.

Новая матрица С получится, исходя из формулы с _{i, j}=a _{i, j}+b _{i, j}, где a_{i, j} є А, b_{i, j} єВ, т.е.

Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.

Произведение двух матриц A и B обозначается символом AB и определяется равенством

т.е. элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Произведение матриц АВ имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В итоге получается матрица С, у которой число строк совпадает с числом строк матрицы А, а число столбцов с числом столбцов матрицы В.

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется: AB≠ BA.

Рассмотрим операцию умножение матриц на примере. Пусть требуется перемножить две матрицы

[11]

Покажем также, что AB≠ BA.

По определению умножения двух матриц получаем:

Т.е. рассмотренный пример наглядно позволяет увидеть, что умножение матриц некоммутативно.

Матрицу можно умножать и на вектор-столбец.

Если то

Этот способ часто применяется при решении СЛУ.

Произведением числа m на матрицу A называется матрица, определяемая равенством

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства [6]:

Для каждой матрицы размера

можно построить матрицу размера , у которой для всех и [3]

Данная операция носит название – транспонирование. Таким образом, транспонирование – это перемена местами строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например, , тогда

Свойства операций над матрицами:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, т.е.

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

· Ассоциативность сложения:

· Коммутативность сложения:

· Ассоциативность умножения:

· Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

· Дистрибутивность умножения относительно сложения:

· С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

· Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

Практическая часть. Выполнение операций над матрицами

Нахождение суммы, произведения матриц, линейных комбинаций

Задача 1.

Вычислить матрицу С₁= 2∙ А-0, 5∙ В, С₂= А∙ В

если А= ; В=

Решение

Сформируем матрицу С₁ такую, что С₁= 2∙ А-0, 5∙ В

Таким образом,

Сформируем матрицу С₁ такую, что С₂= А∙ В

Соответствующие элементы матрицы С₂ нашли так:

c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 = 1·1 + 4· (-1/3) + 5·3 = 1 (- 4/3) + 15 = 44/3

c12 = a11 · b12 + a12 · b22 + a13 · b32 = 1 · 4 + 4 · (-3) + 5 · 5, 2 = 4 - 12 + 26 = 18

c13 = a11 · b13 + a12 · b23 + a13 · b33 = 1 · 5 + 4 · 7 + 5 · 2 = 5 + 28 + 10 = 43

c21 = a21 · b11 + a22 · b21 + a23 · b31 = 0·1 + (-3)· (-1/3) + 0, 5· 3 = 0 + 1 + 1, 5 = 2, 5

c22 = a21 · b12 + a22 · b22 + a23 · b32 = 0·4 + (-3)·(-3) + 0, 5· 5, 2 = 0 + 9 + 2, 6 = 11, 6

c23 = a21 · b13 + a22 · b23 + a23 · b33 = 0 · 5 + (-3) · 7 + 0.5 · 2 = 0 - 21 + 1 = -20

c31 = a31 · b11 + a32 · b21 + a33 · b31 = 3·1 + 5, 2· (-1/3) + 2·3 = 3 –6/15 + 6 = 109/15

c32 = a31 · b12 + a32 · b22 + a33 · b32 = 3·4 + 5, 2·(-3) + 2· 5, 2 = 12 – 15, 6 + 10, 4 = 6, 8

c33 = a31 · b13 + a32 · b23 + a33 · b33 = 3 · 5 + 5, 2 · 7 + 2 · 2 = 15 + 36, 4 + 4 = 55, 4

Решение матричных уравнений

Найти значение матричного многочлена f(A):

f(x)=x²-3x+2, A=

Решение

Заключение

В последнее время матрицы, как математический объект, стали играть немаловажную роль в различных науках. Их уникальность в том, что они позволяют оперировать не одной цифрой, числом или группой чисел, а целыми массивами, которые могут описывать данные различной природы.

Само понятие матрицы является очень древним, восходящем к античной древности. До сих пор ученые лингвисты спорят матрица – слово, пришедшее из греческой или латинской лексики. Однако все сходятся в одном, что матрица толкуется как «первопричина», «начало начал».

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г., под которой понималась некоторая таблица чисел.

Цели, поставленные в работе, достигнуты: изучен теоретический материал по теме «Изучение матриц, их видов и свойств», мы научились решать задачи по данной теме.

Задачи, поставленные в работе, выполнены:

· Было дано определение матрицы;

· рассмотрены виды матриц;

· выявлены их свойства;

· выполнено практическое задание.

Пока сегодня и незаметно бурное развитие матричного аппарата, но это не отрицает того факта, что в недалеком будущем эти сложные математические элементы по праву займут место среди первых.

Расцвет трёхмерной анимации (и в частности 3D кино), развитие различных экономических отраслей на транскорпоративных уровнях, зарождение новых технических наук (кибертроника и робототехника) – всё это невозможно без изучения матричного анализа в купе с программированием [2].

Что касается транспорта (в частности наземного), то здесь, в связи с бурным развитием навигационной техники (координаты которых представляются массивами), мы станем очевидцами расцвета беспилотных автомобилей, что должно сделать движение более безопасным.

⇐ Предыдущая 12