Теоретические основы разрабатываемой темы

Введение

Цели работы: изучить теоретический материал по теме «Изучение матриц, их видов и свойств», научиться решать задачи по данной теме.

Задачи:

· дать определение матрицы;

· рассмотреть виды матриц;

· выявить их свойства;

· выполнить практическое задание.

Практическая значимость:

В последнее время матрицы, как математический объект, стали играть немаловажную роль в различных науках. Их уникальность в том, что они позволяют оперировать не одной цифрой, числом или группой чисел, а целыми массивами, которые могут описывать данные различной природы [2].

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами [1].

Таблица умножения представляет собой произведение матриц (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)^T × (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Матрицы применяются в математике и физике для компактной записи и решения систем линейных алгебраических уравнений и систем дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов — количеству неизвестных величин. Матричный аппарат позволяет существенно упростить решение СЛАУ сведя его к операциям над матрицами.

В физике и других прикладных науках матрицы являются средством записи данных и их преобразования. В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета пикселей изображения.

В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие " психологические объекты" – например, тесты.

Кроме того, матрицы имеет широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге.

Использование понятия матриц в математике и других науках:

Если заглянуть в словари различных наук, то можно найти следующие определения понятия “матрица” [2]:

• Матрица (искусство и техника) — образец, модель, штамп, шаблон, форма, инструмент в серийном производстве объектов искусства и техники.

• Матрица (диск) — название специального диска, служащий образцом для создания дисков (CD, DVD и др.) с записью (музыки, фильмов и т.п.) при их серийном или массовом производстве.

• Матрица (издательское дело) — вогнутая часть формы, в которой пластическое тело формуется давлением, служащее типографским шрифтом.

• Матричная киноплёнка (в плёночной фотографии и кинематографе) — рельефное фотографическое изображение, получаемое в желатиновом слое специального фотоматериала.

• Матрица (математика)— система элементов a_ij, расположенных в виде прямоугольной таблицы.

• Матрица (программирование) в программировании — двумерный индексный массив.

• Матрица (электроника) — набор вертикальных Y и горизонтальных (условно) X линий (проводников), с возможностью замыкания в точках их пересечений, выводы которых подключены к выводам контроллера, который осуществляет их периодический опрос. Замыкание (скажем, при нажатии) какой-либо линии X на линию Y означает подачу команды контроллеру на исполнение. Применяется для экономии выводов контроллеров, используется в основном в различных клавиатурах.

• Матрица (экономика) в экономике — таблицы, предназначенные для диагностики состояния.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости (см. табл. 1).

Таблица 1. Распределение ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

Ресурсы	Отрасли экономики
Промышленность	Сельское хозяйство
Электроэнергия	5, 3	4, 1
Трудовые ресурсы	2, 8	2, 1
Водные ресурсы	4, 8	5, 1

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В данной записи, например, матричный элемент а₁₁= 5, 3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂= 2, 1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Применение матриц в психологии.

Прогрессивные матрицы Равена– тест на наглядное и в то же время абстрактное мышление по аналогии (тест интеллекта), разработанный англ. психологом Дж. Равеном (1938).

Каждая задача состоит из 2 частей: основного рисунка (какого–либо геометрического узора) с пробелом в правом нижнем углу и набора из 6 или 8 фрагментов, находящихся под основным рисунком. Из этих фрагментов требуется выбрать один, который, будучи поставленным на место пробела, точно подходил бы к рисунку в целом. Прогрессивные матрицы Равена разделяются на 5 серий по 12 матриц в каждой. Благодаря увеличению числа элементов матриц и усложнению принципов из взаимоотношений задачи постепенно усложняются как в пределах одной серии, так и при переходе от серии к серии. Имеется также облегченный вариант прогрессивных матриц Равена, предназначенный для исследования детей и взрослых с нарушениями психической деятельности.

На рис. 1 показаны примеры таких матриц.

Рис. 1. Матрицы Равена.

Решение матричных уравнений

Найти значение матричного многочлена f(A):

f(x)=x²-3x+2, A=

Решение

Заключение

Само понятие матрицы является очень древним, восходящем к античной древности. До сих пор ученые лингвисты спорят матрица – слово, пришедшее из греческой или латинской лексики. Однако все сходятся в одном, что матрица толкуется как «первопричина», «начало начал».

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г., под которой понималась некоторая таблица чисел.

Цели, поставленные в работе, достигнуты: изучен теоретический материал по теме «Изучение матриц, их видов и свойств», мы научились решать задачи по данной теме.

Задачи, поставленные в работе, выполнены:

· Было дано определение матрицы;

· рассмотрены виды матриц;

· выявлены их свойства;

· выполнено практическое задание.

Пока сегодня и незаметно бурное развитие матричного аппарата, но это не отрицает того факта, что в недалеком будущем эти сложные математические элементы по праву займут место среди первых.

Расцвет трёхмерной анимации (и в частности 3D кино), развитие различных экономических отраслей на транскорпоративных уровнях, зарождение новых технических наук (кибертроника и робототехника) – всё это невозможно без изучения матричного анализа в купе с программированием [2].

Что касается транспорта (в частности наземного), то здесь, в связи с бурным развитием навигационной техники (координаты которых представляются массивами), мы станем очевидцами расцвета беспилотных автомобилей, что должно сделать движение более безопасным.