Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходитсявместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, , , .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, , , .

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.

Пример 12

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: . Если есть константа, её тоже отбрасываем: . Теперь извлекаем корень: . Таким образом, старшая степень знаменателя равнадвум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом .

”

(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем для внесения под корень:
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание: на практике пункты 5, 6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.

Пример 13

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

40.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ влияния отдельных факторных признаков на результативный признак.
2. Аналог, прототип, существенные признаки, формула изобретения
3. Анатомо-физические и антропологические, наследственно-генетические признаки – это признаки
4. Аппроксимация на основе специальных рядов
5. Билет Издержки производства и их виды. Предельные издержки, предельный доход. Отдача от масштаба производства
6. БИЛЕТ. Магнитное взаимодействие постоянных токов. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера. Сила Лоренца. Движение зарядов в электрических и магнитных полях.
7. В это время князь Владимир у Волок-Ламского и великий князь Дмитрий в Костроме собрали значительные силы. Один из татарских отрядов, двигавшийся к Волок-Ламскому, был внезапно атакован и разбит.
8. Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников
9. Виды нарядов, задействуемых для ООП при проведении массовых мероприятий
10. Власть, политика и государство. Основные признаки, исторические типы и формы государства.
11. Воля Единицы есть номенклатурный показатель композитивных данных потенциала, являющегося признаком соизмеримой мощности совершенствующейся Сути.
12. Вопрос 20. Конституционное закрепление сущностных признаков России как правового, суверенного, социального, светского государства