Интервалы возрастания и убывания функции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

y = x^3-3*x^2+9*x+2
Область существования функции
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3 • x²-6 • x+9
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3 • x²-6 • x+9 = 0
Для данного уравнения корней нет.

16. Дана функция . Тогда

(Укажите интервал выпуклости вверх (вниз) функции).

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f''(x) = 6 • x-6
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6 • x-6 = 0
Откуда точки перегиба:
x₁ = 1

(-∞ ; 1)	(1; +∞ )
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

17. Найти наибольшее значение функции в интервале [4, 5].

Экстремумы функции

y = x^2-11*x+28
[4; 5]
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f'₀(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = 2 • x-11
Приравниваем ее к нулю:
2 • x-11 = 0

Вычисляем значения функции на концах отрезка

f(4) = 0
f(5) = -2
Ответ:
f_min = -2, f_max = 0

18. Пусть функции - непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства неопределенного интеграла).

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X, то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

19. Таблица интегралов. ( ).

Sinx+C

20. Найдите интеграл , , , ,

21. Вычислить , , ,

22. Пусть функции - непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства определенного интеграла, 9 свойств).

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) - любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

(11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

(12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

(13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξ _k) ≤ M, а x_k₊₁ > x_k, то m(x_k₊₁ - x_k) ≤ M(x_k₊₁ - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ , что h = f(ξ ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего^*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

___________________________________

^* Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования - нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a < b, а f(x) - непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

В самом деле, пусть x₀ (a < x₀ < b) - такая точка, что f(x₀) > 0. Возьмем столь малое δ > 0, чтобы при | x - x₀ | < δ было f(x) > 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что a ≤ x₀ - δ , x₀ + δ ≤ b. Тогда

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) - неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a < b. Если

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пунктеОпределенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

(15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Если бы мы допустили, что a < b и что хоть в одной точке оказывается f(x) < g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то

(16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

- | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |,

находим:

а это равносильно неравенству (16).

23. Пусть - площадь фигуры, ограниченной линиями , . Тогда значение лежит в интервале

Приводим подобные:

2Решаем уравнение:

3Решаем уравнение:

4Решаем уравнение:

5Графики уравнений:

Ответ:

(Решение уравнения с учётом ОДЗ )

24. Формула для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной явно и параметрически.

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

25. ,

Частные производные

z = x^3/y^2+acos(sqrt(y))
Находим частные производные:
При нахождении ∂ z/∂ x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂ z/∂ y считаем аргумент x постоянным:

Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂ ²z/∂ x∂ y дифференцируем ∂ z/∂ x по у:

26. ;

Частные производные

z = x^3/y^2
Находим частные производные:
При нахождении ∂ z/∂ x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂ z/∂ y считаем аргумент x постоянным:

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂ ²z/∂ x∂ y дифференцируем ∂ z/∂ x по у:

27. ;

z = 3*x^2*y*z^8+y^2*z^3/log(x)
Находим частные производные по формулам:

Для нашей функции F(x, y, z):
При нахождении ∂ F/∂ x считаем y и z постоянными:

При нахождении ∂ F/∂ y считаем x и z постоянными:

При нахождении ∂ F/∂ z считаем x и y постоянными:

По формулам находим частные производные:

∂ z∂ x=− 6⋅ x⋅ y⋅ z8− y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x)∂ z∂ x=− 6⋅ x⋅ y⋅ z8− y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x)

или

∂ z∂ x=− 6⋅ x⋅ y⋅ z8+y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x)∂ z∂ x=− 6⋅ x⋅ y⋅ z8+y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x)

или

Полный дифференциал функции.

dz=(− 6⋅ x⋅ y⋅ z8+y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x))dx+(− 3⋅ x2⋅ z8− 2⋅ y⋅ z3ln(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x))dydz=(− 6⋅ x⋅ y⋅ z8+y2⋅ z3x⋅ ln2(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x))dx+(− 3⋅ x2⋅ z8− 2⋅ y⋅ z3ln(x)24⋅ x2⋅ y⋅ z7+3⋅ y2⋅ z2ln(x))dy

28. Найти производную функции в точке М(1; -2):

z = 5*x*y-y*y
Находим частные производные:
При нахождении ∂ z/∂ x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂ z/∂ y считаем аргумент x постоянным:

Полный дифференциал функции.

dz = (5 • y)dx + (5 • x-2 • y)dy
Найдем частные производные в точке А(1; -2)

или

или

Находим вторые частные производные:

Найдем вторые частные производные в точке А(1; -2)

или

или

Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂ ²z/∂ x∂ y дифференцируем ∂ z/∂ x по у:

Найдем значение производной в точке А(1; -2)

или

29. Найти градиент функции в точке .

z = 3*x^2+x*y-2*y^2
Градиентом функции z = f(x, y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(2; 1)

или

Модуль grad(z) - наибольшая скорость возрастания функции:

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

30. Укажите сходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒