Статистические методы отображения неоднородностей коллекторских свойств пород

Статистические методы отображения неоднородностей коллекторских свойств пород

Общие сведения.

Изменение условий осадконакопления в различные геологические эпохи, последующие процессы уплотнения пород и их цементация, переотложение солей и многие другие явления, происходившие в процессе генезиса нефтяных и газовых коллекторов, способствовали образованию пластов с неоднородными физическими свойствами пород. Поэтому значительная часть коллекторов характеризуется неоднородностью текстуры, минералогического состава и физических свойств по вертикали и горизонтали.

Физические свойства коллектора по площади залежи изменяются в широких пределах. Эти изменения носят элемент случайности. Поэтому для характеристики неоднородного строения пород используется аппарат математической статистики, теории вероятностей и теории случайных функций. Эти разделы математики позволяют построить статистическую модель фильтрационного поля неоднородной пористой среды.

При использовании методов математической статистики для отображения и учета неоднородного строения пород принимается, что имеющийся керновый материал является выработкой из генеральной совокупности – естественного коллектора. Исследуемые свойства пласта – проницаемость, пористость и т.д. - принимаются за случайные величины с определенной функцией распределения или интегральным законом распределения F(x).

Последняя представляет собой, как известно, соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями их появления. Производная от функции распределения называется плотностью распределения или «

плотность вероятности»:

f(x)=F’(x) (1)

Функция распределения F’(x) – универсальная характеристика случайной величины, полностью определяющая ее с вероятной точки зрения. Иногда достаточно использовать лишь числовые характеристики, отображающие наиболее существенные особенности распределения. Например, для указания среднего значения, около которого группируется все Возможные значения случайной величины, используются характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений значений случайной величины x_i на частоту (вероятности) p_i этих значений.

(2)

Дисперсией- D(x) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее матаматического ожидания

(3)

(4)

D(x)=M(x²) - [M(x)]²(5)

Нетрудно убедиться, что размерность дисперсии – квадрат размерности случайной величины. Поэтому для удобства пользования введен параметр, размерность которого одинакова с размерностью случайной величины – среднее квадратическое отклонение, равное корню квадратному из дисперсии

(6)

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют

математическое ожидание величины (X-M(x)^k)

m_k=(X-M(x)^k) (7)

Асимметрия распределения случайной величины характеризуется третьим центральным моментом, так как если распределение симметрично относительно математического ожидания,, то все моменты нечетного порядка равны нулю.

Коэффициентом асимметрии принято называть безразмерную величину, равную третьему моменту μ ₃, деленному на куб среднего квадратического отклонения σ ³:

(8)

Островершинность и плосковершинность распределения случайной величины характеризуется с помощью четвертого центрального момента – эксцесса, который равен

(9)

Графическим изображением статистического ряда служит гистограмма. При ее построении по оси абсцисс откладываются разряды, и на каждой из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости (вероятности) соответствующего разряда.

Для полученного ряда определяют накопленные частости (вероятности) на конец каждого интервала, вычисляемые делением соответствующего значения накопленной частости на общее число случаев. Графическое изображение накопленной частости представляет собой статистическую функцию распределения (кумулятивную кривую). При увеличении числа разрядов гистограмма приближается к графику плотности распределения случайной величины, кумулятивная кривая – к функции распределения.

Однако практически редко имеется достаточно данных о свойствах пластов, и поэтому статистическому распределению свойственны элементы случайности. Чтобы их избежать и определить существенные черты анализируемого материала, статистический ряд выравнивается, т.е. подбирается теоретическая плавная кривая распределения, наилучшим образом описывающая полученное статистическое распределение.

Таблица 9

Значения функции P(t)

t	P(t)	t	P(t)	t	P(t)
		0, 5	0, 96	1.0	0, 27
0, 05		0, 55	0, 92	1, 1	0, 17
0, 1		0, 6	0, 86	1, 2	0, 11
0, 15		0, 65	0, 70	1, 3	0, 68
0, 2		0, 7	0, 71	1, 4	0, 04
0, 25		0, 75	0, 62
0, 3		0, 8	0, 54
0, 35	0, 997	0, 85	0, 46
0, 4	0, 9972	0, 9	0, 39
0, 45	0, 987	0, 95	0, 32

рис.1

Задание 1.

По данным таблицы:

1. определить выборочную среднюю (мат. oжидание) и дисперсию;

2. по критерию Колмогорова установить, является ли распределение нормальным.

3. постпроить кривые

Изучаемые толщи представлены определеннымколичеством образцов n с общим интервалом изменения проницаемости от 0, 5 до 10, 5 мдарси. Каждый образец отобран из 10 метровой толщи пород и его проницаемость характеризует эту толщу. Весь интервал изменения проницаемости 10 мдарси разбит на 10 частей (подинтервалов). Проницаемость каждого подинтервала Dx_i=1 мдарси. Для каждого подинтервала подсчитано количество образцов. (Таблица 11.). Далее рассчитана средняя проницаемость подинтервалов и соответствующие им количество образцов. (Таблица 12)

Таблица 11

Dx_i-пределы изменения проницаемости в подинтервалах ( пропластках), мдарси
0, 5-1, 5	1, 5-2, 5	2, 5-3, 5	3, 5-4, 4	4, 4-5, 5	5, 5-6, 5	6, 5-7, 5	7, 5-8, 5	8, 5-9, 5	9, 5-10, 5
n_i -количество образцов в подинтервале
n₁	n₂	n₃	n₄	n₅	n₆	n₇	n₈	n₉	n₁₀

Таблица 12

Варианты	x_i –средняя проницаемость подинтервала (пропластков), мдарси-

n_i -количество образцов в подинтервале





6!

Описательная часть.

Привести основные зависимости пористости, проницаемости от эффективного давления. Описать от чего зависят коэффициенты сжимаемости пор, породы, твердой фазы.

Расход флюида через трещину:

(50)

тогда проницаемость равна K=83000 b²*m,

где b-раскрытие трещины, мм;

m- пористость образца;

K –проницаемость мкм ²

градиент давления

F-площадь образца

m-вязкость.

Если раскрытие трещины- b измеряется в мкм, а проницаемость K в мкм² то:

K=83*10^-3*b²*m, (51)

(52)

где l –длина ребра кубика образца породы

Если расход жидкости считается через поперечное сечение трещины

, то m=1.

Расход флюида через капилляр

(53)

где R-радиус капилляра мкм,

проницаемость в мкм²

Пример расчета:

Дан кубик породы размером 10 10 10 см, имеющий проницаемость 10 мДарси. Через этот образец происходит фильтрация жидкости вязкостью 1 спз при градиенте давления (DP/L) равном 0, 5 атм/м. В этом кубике имеется один капилляр диаметром 0, 2мм. Найти: расход жидкости при фильтрации через капилляр, Q - суммарный расход через поры матрицы и капилляр.

При расчете необходимо учесть следующие соотношения:

проницаемость-1 дарси=1, 02 мкм²==1, 02 *10^-12 м²

Давление -1 атмосфера=10⁵ н/м²=10⁵ Па, 1Па=1 н/м²

Вязкость-1пз=10^-1н*сек/м², 1cпз=10^-3н*сек/м²=10^-3Па*сек

Расход- 1 м³/cек= 10 ⁶см³/cек,

1 дарси проницаемость среды через поперечное сечение которой площадью в 1 см при перепаде давления 1атм на 1 см расход жидкости вязкостью 1 спз составляет 1см³/сек

1м²- проницаемость среды через поперечное сечение которой площадью в 1 м² при перепаде давления 1Па на 1 м расход жидкости вязкостью 1 па*с составляет 1м³/сек

Решение:

DP/L = 0, 005 атм/см (54)

Q = k•F•DP/(m•L); (55)

(56)

Q₁=12, 5*10⁶ (0, 01)²*p(0, 01)² 0, 005=0.002 cм³/c (57)

Q₂=10^-2*100*0, 005=0, 0005 cм³/c (58)

Q=0, 007 cм³/c (59)

В системе СИ

DP/L =0, 5*10⁵Па/м (60)

k_{капиляра}= r²/8=(1*10^-4)²/8=0, 125*10^-8(61)

m= 10^-3Па*сек

Q₁= 0, 125*10^-8* (1*10^-4)² p *0, 5*10⁵*10³=2*10^-9м³/cек (62)

K_пор=10^-14м²(63)

Q₂=10^-140, 5*10⁵10³10^-2=5*10^-9м³/cек (64)

Q=7*10^-9м³/cек (65)

Задание 3

В образце породы размером 10 10 10 см имеется 3 вида пустот: поры, трещина, капилляр. Известны проницаемость пор матрицы, радиус капилляра, вязкость жидкости, общий расход жидкости через образец, проницаемость породы за счет пор, градиент давления (таблица 15). Найти расход жидкости в образце через поры, капилляр, трещину; раскрытость трещины, трещинную проницаемость. Сравнить расход жидкости через поры, капилляр, трещину. Расчет проводить в системе едениц СИ. Для расчета выбирать соответствующий вариант согласно указанию преподавателя.

Таблица 15

Вариант	К пор, мдарси	R капилляра, мм	Вязкость, Па *сек	Градиент давления, Па/м	Площадь образца, cм	Общий расход, М³/сек
		0, 1	0, 001			0, 000002
		0, 05	0, 001			0, 000007
		0, 02	0, 001			0, 000007
		0, 03	0, 001			0, 000008
		0, 04	0, 001			0, 000005
		0, 05	0, 001			0, 0000076
		0, 06	0, 001			0, 0000059
		0, 07	0, 001			0, 0000064
		0, 09	0, 001			0, 0000063
		0, 01	0, 001			0, 0000043
	1, 1	0, 1	0, 001			0, 0000029
		0, 03	0, 001			0, 0000039
		0, 04	0, 001			0, 0000074
		0, 05	0, 001			0, 0000039
		0, 06	0, 001			0, 0000094
		0, 07	0, 001			0, 0000046
		0, 09	0, 001			0, 0000066
		0, 01	0, 001			0, 0000077
		0, 09	0, 001			0, 0000033
		0, 01	0, 001			0, 0000049
		0, 02	0, 001			0, 0000049
		0, 04	0, 001			0, 0000049
		0, 05	0, 001			0, 0000049
		0, 05	0, 001			0, 0000052
		0, 09	0, 001			0, 0000033
		0, 01	0, 001			0, 000005
		0, 01	0, 001			0, 0000041
		0, 01	0, 001			0, 0000046
		0, 01	0, 001			0, 0000048
		0, 01	0, 001			0, 000004

Свойства пластовых нефтей

Давлением насыщения пластовой нефти называют максимальное давление, при котором газ начинает выделяться из нефти при изотермическом ее расширении в условиях термодинамического равновесия.

Обьемный коэффициент характеризует соотношение обьемов нефти в пластовых условиях к обьему этой же нефти после отделения газа на поверхности.

B=Vпл/Vдег; (66)

где- Vпл-обьем нефти в пластовых условиях; Vдег-обьем нефти при атмосферном давлении и температуре 20⁰С после дегазации.

Усадка нефти U=(b-1)/b (67)

Относительная плотность газа по воздуху:

r=r_г/1, 293 (68)

Газовый фактор-это количество газа в кубических метрах приходящееся на 1 м³дегазированной нефти.

Пример к заданию 4. По результатам пробной эксплуатации скважины были получены следующие данные: плотность нефти(20^OC)- r_н=852, 2 кг/м³, относительная плотность газа по воздуху-r_гв=0, 8, плотность газа r_г=1, 03 кг/м³, газовый фактор - G_o=127 м³/м³, пластовое давление-р_пл=24 Мпа, пластовая температура-338^OK. Весь газ растворен в нефти.

Определить

1.давление насыщения нефти газом

2.обьемный коэффициент

3. плотность и усадку нефти в пластовых условиях

Решение. Давление насыщения можно приближенно найти по номограмме Стендинга.

Следует заметить на номограммах Стендинга еденицы измерения свойств пластовых флюидов приведены в системе МКГСС. Связь с еденицами измерения СИ следующая:

Удельный вес нефти нефти-1т (тонна)/м³=10³кГ/ м³=плотности нефти 10³кг/ м³;

Давление- 1 атмосфера=0, 1Мпа;

Температура -0^OC=273^OK

Для этого из точки, соответствующей газовому фактору G_o=127 м³/м³, что в левой части номограммы, проводим горизонталь вправо до пересечения с наклонной прямой, выражающей относительную плотность газа по воздуху r_гв=0, 8 (относительный удельный вес газа-0, 8). Полученную точку проецируем вниз до пересечения с прямой, соответствующей плотности нефти r_н=852 кг/м³(удельный вес нефти-0, 852 т/м³ ).Далее проводим горизонталь вправо до пересечения с линией пластовой температуры T_пл=338 K(температура по Цельсию 338^O-273^O=65^OC). И опускаясь по вертикали вниз, находим в пересечении с осью давлений давление насыщения нефти газом р_нас=18, 5 Мпа (185 атмосфер).

Для определения обьемного коэффициента нефти воспользуемся другой номограммой Стендинга. В левой части номограммы находим значение газового фактора G_o=127 м³/м³.

Из этой точки проводим горизонталь вправо до пересечения с линией, соответствующей плотности газа r_г=0, 8.Затем проецируем эту точку вниз до линии плотности нефти r_н=852 (удельный вес нефти-0, 852 т/м³ ) кг/м³.Далее проводим горизонталь вправо до линии пластовой температуры Т_пл=338^OK (65^OC), после чего проводим вертикаль до пересечения с линией пластового давления р_пл=24 Мпа (240 атмосфер), а по горизонтали вправо находим значение обьемного коэффициента нефти b_н=1, 27. Таким образом, 1 м³ нефти при нормальных условиях занимает в пласте вместе с растворенным газом обьем 1, 27м³.

Усадка нефти на поверхности происходит вследствие выделения из нее растворенного газа и снижения температуры. Усадка нефти определяется из соотношения

U=(b_н-1)/ b_н=(1, 27-1)/1, 27=0, 213 или 21, 3% (69)

Для нахождения плотности нефти в пластовых условиях (с учетом растворенного газа) предварительно определим плотность растворенного в нефти газа

r_рг= G_or_г=127*1, 03 =131 кг/м³[3](70)

Таким образом плотность насыщенной газом нефти при атмосферных условиях равна

r_на= r_н+r_рг=852+131=983 кг/м³(71)

а плотность насыщенной газом нефти в пластовых условиях будет

r_нпл=r_на/ b_н=983/1, 27=774 кг/м³(72)

Задание 4

По результатам пробной эксплуатации скважины были получены следующие данные (таблица 16):

таблица 16

Номер варианта	Плотность Нефти r_н	Относительная плотность газа-r_гв	Газовый фактор G_o	Пластовое давление р_пл	Пластовая температура T_пл₀
		0, 8		9, 8
		0, 9
		1, 4		5, 6
		1, 1		9, 8
		1, 0		5, 6
		0, 9		9, 8
		0, 8
		0, 7		12, 6
		0, 6
		0, 8		9, 8
		0, 7		5, 6
		0, 5
		0, 8		9, 8
		1, 4
		1, 1		9, 8
		1.1		12, 6
		1, 0		5, 6
		0, 9
		0, 8		5, 6

Определить:

1.давление насыщения нефти газом

2.обьемный коэффициент

3. плотность и усадку нефти в пластовых условиях

Библиографический список:

1. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного и газового пласта М: Недра, 1973

2. Желтов Ю.П. Сборник задач по разработке нефтяных месторождений М: Недра, 1985

3. Гафаров Ш.А. Физика нефтяного пласта Уфа, 1998

Составитель: А.В. ПЕСКОВ

УДК 622275154721

Статистические методы отображения неоднородности коллекторских свойств пород: Метод. указ. /Самар. госуд. техн. ун-т; Сост.: Песков А.В., Самара, 2003, 17 с.

Рассмотрены статистические методы изучения физических свойств пород. Приводятся способы установления корелляционных зависимостей: линейных, нелинейных между основными параметрами пород, критерии нормальности распределения данных коллекторских свойств.

Предназначается для студентов, изучающих курс «Физика пласта» и «Физика нефтяного пласта» (специальность 0906).

Илл. Табл. 17. Библиор.: 3 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

Приложение