Нахождение нормального закона распределения случайных величин на основе опытных данных

Нормальный закон распределения занимает среди других законов особое положение, с ним связано большинство задач решаемых в научной и инженерной практике. Для нормального закона распределения плотность распределения проницаемости выражается следующей зависимостью

(10)

, где - выборочная средняя (математическое ожидание) величины k (проницаемости);

s- средне квадратическое отклонение.

 

Для подбора подходящего теоретического распределения следует построить экспериментальную кривую плотности распределения, после чего выбрать похожую кривую из известных типов теоретических распределений. При построении экспериментальной кривой данные ранжируют в порядке возрастания, разбивают на группы, строят гистограмму, а по ней экспериментальную кривую. Главным факторами при подборе теоретической кривой являются внешнее сходство кривых распределения по форме и закономерностей распределения по сути. Окончательное суждение можно сделать только после количественных оценок. Такие оценки делают на основе статистических критериев согласия. Критерий Колмогорова-Смирнова дает удовлетворительные результаты при 100> n> 10. Также для установления нормального закона используют критерии согласия Пирсона и Романовского.

Построение нормальной кривой по опытным данным

Один из способов построения нормальной кривой по опытным данным состоит в следующем:

1) находят выборочную среднюю- х_в и среднее квадратическое отклонение s_в по формулам:

 

, , .

2) находят ординаты у_i теоретической кривой по формуле ,

где n-сумма наблюдаемых частот, h-разность между двумя соседними вариантами u_i=(x_i-x_в)/s_в и , вероятность P_i попадания X в интервал длиной h приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности нормального распределения-

в любой точке интервала.

 

 

Критерий Колмогорова для проверки нормальности распределения.

Критерий Колмогорова заключается в сопоставлении эмпирической F_Э(х) и теоретической функции F_T(х).Эмпирическая функция находится согласно опытным данным: значениям признака x_i ( K_i) и частоты (вероятности) признака- n_i/n; где n-общее количество образцов.

Пусть имеется эмпирическое распределение:

Таблица 3

 

Хi –средняя проницаемость подинтервала (пропластков), мдарси
ni

 

Найдем частоту (вероятность) для каждой средней проницаемости подинтервала:

 

Таблица 4

Хi –средняя проницаемость подинтервала (пропластков), мдарси
Частота -ni/n
0, 02	0, 04	0, 08	0, 14	0, 2	0, 2	0, 16	0, 08	0, 06	0, 02

 

Найдем накопленную частоту (вероятность) для каждой средней проницаемости подинтервала-или экспериментальную функцию - F_Э(х)

:

 

Таблица 5

Хi –средняя проницаемость подинтервала (пропластков), мдарси- (x)i
Накопленная частота FЭ(х)нак.
0, 02	0, 06	0, 14	0, 28	0, 48	0, 68	0, 84	0, 92	0, 98	1, 0

 

Далее находим теоретическую функцию F_T(х).

Вначале находят выборочную среднюю (математическое ожидание) и среднеквадратическое отклонение экспериментального распределения, потом величины (х_i-х_в)/s. x_в= 5, 6; s= 1, 949359; Далее найдем (x_i- x_в)/s (таблица 7).

 

Для нормального закона распределения плотность распределения проницаемости выражается следующей зависимостью

(20)

 

Функцию f(x)представляют в виде сомножителей:

 

(21)

 

где u=(x_i-х_в))/s

Находят в таблице (6), далее находят f (x) и накопленную F_т(x), (таблица 7), (рис.1).

Таблица 6

Значения функции

 

u	Z(u)	u	Z(u)	u	Z(u)
	0, 398		0, 2420		0, 054
0, 05	0, 3984	1, 05	0, 2299	2, 05	0, 0488
0, 1	0, 397	1, 1	0, 2179	2, 1	0, 044
0, 15	0, 395	1, 15	0, 2059	2, 15	0, 0396
0, 2	0, 391	1, 2	0, 1942	2, 2	0, 0355
0, 25	0, 387	1, 25	0, 1826	2, 25	0, 0317
0, 3	0, 3814	1, 31	0, 1714	2, 3	0, 0283
0, 35	0, 3752	1, 35	0, 1604	2, 35	0, 0252
0, 4	0, 3683	1, 4	0, 1497	2, 4	0, 0224
0, 45	0, 3605	1, 45	0, 1394	2, 45	0, 0198
0, 5	0, 3521	1, 5	0, 1295	2, 5	0, 0175
0, 55	0, 3429	1, 55	0, 1200	2, 55	0, 0154
0, 6	0, 333	1, 6	0, 1109	2, 6	0, 0136
0, 65	0, 3230	1, 65	0, 1023	2, 65	0, 0119
0, 7	0, 3123	1, 7	0, 0940	2, 7	0, 0104
0, 75	0, 3011	1, 75	0, 0863	2, 75	0, 0091
0, 8	0, 2897	1, 8	0, 079	2, 8	0, 0079
0, 85	0, 2790	1, 85	0, 0721	2, 85	0, 0069
0, 90	0, 2661	1, 9	0, 0656	2, 9	0, 0060

 

 

Таблица 7

 

(xi-xв)/s	-2, 36	-1, 85	-1, 3	-0, 8	-0, 3	0, 21	0, 72	1, 2	1, 7	2, 26
Z(u)	0, 024638	0, 072083	0, 171412	0, 289765	0, 381485	0, 390341	0, 307929	0, 194235	0, 094073	0, 03104
f(x)= Z(u)/s	0, 012641	0, 036985	0, 087949	0, 148674	0, 195733	0, 200277	0, 157993	0, 099659	0, 048267	0, 015926
Fт.нак.	0, 012641	0, 049626	0, 137575	0, 286248	0, 481982	0, 682259	0, 840253	0, 939912	0, 988179	1, 004105
FЭ.нак	0, 02	0, 06	0, 14	0, 28	0, 48	0, 68	0, 84	0, 92	0, 98	1, 0
Fт.нак.- FЭ.нак	0, 007359	0, 010374	0, 002425	-0, 00625	-0, 00198	-0, 00226	-0, 00025	-0, 01991	-0, 00818	-0, 0041

 

 

Находим F_T.нак- F_Э._нак, выбираем из F_T.нак- F_Э._накмаксимальное значение и подставляем в статистику Колмогорова

(22)

 

где n – количество образцов (объем выборки).

t=10*0, 02=0, 2

Находим P(t=0, 2)=1. При этом значении вероятности P(t) гипотезу о нормальности распределения принимаем.

Затем определяют вероятность P(t) того что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение междуF_T(х)- F_Э(х) окажется не меньшим чем фактически наблюдаемое. Если вероятность P(t) мала –меньше 0, 05 (при t=1, 36) гипотезу отвергают. При больших значениях P(t) гипотезу можно считать совместимой с опытными данными.

 

Таблица 9

Значения функции P(t)

 

t	P(t)	t	P(t)	t	P(t)
		0, 5	0, 96	1.0	0, 27
0, 05		0, 55	0, 92	1, 1	0, 17
0, 1		0, 6	0, 86	1, 2	0, 11
0, 15		0, 65	0, 70	1, 3	0, 68
0, 2		0, 7	0, 71	1, 4	0, 04
0, 25		0, 75	0, 62
0, 3		0, 8	0, 54
0, 35	0, 997	0, 85	0, 46
0, 4	0, 9972	0, 9	0, 39
0, 45	0, 987	0, 95	0, 32

 

 

 

 

 

рис.1

Задание 1.

По данным таблицы:

1. определить выборочную среднюю (мат. oжидание) и дисперсию;

2. по критерию Колмогорова установить, является ли распределение нормальным.

3. постпроить кривые

Изучаемые толщи представлены определеннымколичеством образцов n с общим интервалом изменения проницаемости от 0, 5 до 10, 5 мдарси. Каждый образец отобран из 10 метровой толщи пород и его проницаемость характеризует эту толщу. Весь интервал изменения проницаемости 10 мдарси разбит на 10 частей (подинтервалов). Проницаемость каждого подинтервала Dx_i=1 мдарси. Для каждого подинтервала подсчитано количество образцов. (Таблица 11.). Далее рассчитана средняя проницаемость подинтервалов и соответствующие им количество образцов. (Таблица 12)

 

 

Таблица 11

Dxi-пределы изменения проницаемости в подинтервалах ( пропластках), мдарси
0, 5-1, 5	1, 5-2, 5	2, 5-3, 5	3, 5-4, 4	4, 4-5, 5	5, 5-6, 5	6, 5-7, 5	7, 5-8, 5	8, 5-9, 5	9, 5-10, 5
ni -количество образцов в подинтервале
n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10

 

Таблица 12

Варианты	xi –средняя проницаемость подинтервала (пропластков), мдарси-
ni -количество образцов в подинтервале
6!

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. C. межотраслевой баланс производства, распределения и использования продукции в народном хозяйстве
2. E) Объем инвестиций зависит от величины национального дохода
3. F) величина сбережения по отношению ко всему доходу
4. I ЭТАП: ОБСЛЕДОВАНИЯ (СБОР ДАННЫХ)
5. III. Вид работы: «Использование информационной базы данных»
6. IV. Анализ и обработка данных.
7. Авторское право - правовое положение авторов и созданных их творческим трудом произведений литературы, науки и искусства.
8. Адресная, данных, управления
9. Алгоритмы распределения памяти
10. Анализ и интерпретация данных экспериментально-психологического исследования
11. Анализ и оценка инвестиций в реальные активы на основе дисконтированного потока денежных средств. Чистая приведенная стоимость (NPV) проекта.
12. Анализ исходных данных и разработка математической модели