Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

В конце XIX в. была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту теорию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к построению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее доказанных

фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для построения теории, о которой уже имеются определенные, сформированные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий начало от Пеано, представляет собой определенный способ математизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к определению натурального ряда как некоторой структуры

состоящей из: а) множества N, элементы которого называются натуральными числами, б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей, и в) определенного в множестве N отношения «непосредственно следует за» (число, непосредственно следующее за числом х, обозначим через х', т. е. если у непосредственно следует за х, то у = х'; х' — «сосед справа» для х).

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризующих

эту структуру):

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натуральным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другогонатурального числа, это «первое» натуральное число.

II. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е.любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не болеечем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни закаким, всякое другое натуральное число — точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

IV. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (M^N)содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержити натуральное число х', непосредственно следующее за х, то это
множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N)

( Предложение IV, хотя по своему содержанию более сложно, чем первые три, также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х'.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится п о-тенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его образования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления следующего шага.

Свойства I—IV характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредственно следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множестве N.

Расширим теперь систему свойств I—IV таким образом, чтобы получить характеристику структуры {N, 1, ', +, •).

Знак -f- обозначает операцию «сложение», сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х + у, называемое их суммой и обладающее следующими свойствами:

V. ^г

ifc.-е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непосредственно следующему за х числу х'. VI. * + у'=(*+у)',

'т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следующим за любым числом у, равна числу, непосредственно следующему за суммой л: + у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (jc, у) натуральных чисел натуральное число х-у, называемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами:

VII. х-1=х,

т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меня-

•; ет это число).

VIII. х.(у')=(х-у) + х,

т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел хну, сложенному с

числом х.

Из свойств I—VIII выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умнбжения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицы сложения и умножения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно следующее число за каждым однозначным числом уже получено:

1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' —5; 5' = 6; 6' = 7; 7' = 8; 8' = 9; 9' = 10.

Исходя из свойства V, получаем таблицу «прибавления единицы»:

Таблица « + 1»

1+ 1 = 1' = 2;

2+1=2=3;
3+1=3' =4;

9+1=9' = 10. Теперь, зная таблицу « + 1» и используя свойство VI, можем вывести, например, чему равно 2 + 2:

Аналогично 3 + 2 = 3 + Г = (3 + 1)'=4' = 5 и т. д. Свойства V и VI позволяют вывести всю таблицу сложения (если, разумеется, мы знаем числа, непосредственно следующие за числом в пределах 20, иными словами, если мы «умеем считать» до 20). В совокупности свойства V и VI составляют так называемое рекурсивное определение сложения (рекурсия — возвращение; чтобы найти сумму х + у', надо возвращаться к сумме х-\-у и т. д. дох+1). Как видно, в описанном построении теории натуральных чисел

основную роль играет операция (функция) прибавления едицы f(х) = х+1,

сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следующее за ним число л; +1 (или х'). Эта идея используется is обучении счету маленьких детей.

Свойства VII—VIII составляют рекурсивное определение умножения.

Интуитивно ясно, что натуральный ряд — упорядоченное множество. Каждое натуральное число меньше непосредственно следующего за ним числа. Часто в обучении детей дается такое обоснование факту, что 3 яблока меньше 5 яблок- «К трем яблокам надо еще добавить 2 яблока, чтобы получить 5 яблок». В этом ©яы-те отражена идея, заложенная в определении отношения «меньше» («О) в рамках описанной нами теории:

х< у тогда и только тогда, когда существует число к такое, что x-\-k = y.

Из этого определения следует, что х<.х' для любого х, т. е. что всякое натуральное число меньше непосредственно следующего за ним числа.

Действительно, существует такое число k = l, что х-\-1=х'.

Определенное таким образом отношение «■ < » является антирефлексивным, асимметричным и транзитивным, т. е. отношением порядка.

Это можно доказать: а) ~\х<.х для любого x^N, так как не существует натурального числа k такого, что x-\-k=x; б) х<.у=> =$- ~\y< zx для любых х, y£ N; допустим от противного, что существуют х, y£ N такие, что х< у и у< Сх. Тогда из х< у следует, что существует число k такое, что x-\-k=y, а из у<.х — что существует шсло п такое, что у-\-п=х, откуда x-\-k-\-n = x, но такого числа (k + n) нет; в) если х< у и y< z, то x< z. Действительно, из х < у следует, что существует число k такое, что x-\-k=y; из y< Cz следует, что существует число га такое, что y-\-n = z. Следовательно, х ■ +■ k -f- га = z. Следовательно, существует число k+га такое, что x-\-(k + n) — z, т. е. x< Zz.

Натуральный ряд упорядочен этим отношением порядка «меньше», т. е. для любых х, y£ N, если хФу, то х< Су или у<.х.

Действительно, если хФу, то существует число k такое, что x-\-k=y или y-\-k=x и только одно из двух, так как либо х «предшествует» у в натуральном ряду, либо наоборот. В первом случае х< Су, во втором у<.х.

Естественно возникает вопрос, как при таком построении теории натуральных чисел осуществляется переход к их применению для обозначения числа элементов конечных множеств.

Прежде всего отметим, что при этом построении само понятие конечного множества определяется с использованием натурального числа.

Рассмотрим сначала конкретный пример.

Пусть имеется множество А={○ □ ▲ ⌂ ◊ }. Будем считать элементы этого множества в том порядке, в котором они указаны. Что же по существу делаем, когда мы считаем? Устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел М={1, 2, 3, 4, 5}.

○ □ ▲ ⌂ ◊

1 2 3 4 5

Последнее, самое большое, число 5 этого множества натуральных чисел и обозначает число элементов множества А. Множество М называется отрезком натурального ряда и обозначается символом «[1; 5]», а установленное нами взаимно однозначное соответствие запишется так:

А~[1; 5].

Обобщим теперь рассмотренную конкретную ситуацию.

Отрезком натурального ряда с последним элементом п (т. е. такой, что число п принадлежит ему, а п-\-\ уже не принадлежит ему) называется множество всех натуральных чисел от 1 до п включительно и обозначается символом «[1; и]», т. е.

[1; п]={1, 2, 3, 4

Теперь можно дать такое определение конечного множества: множество А называется конечным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством А и некоторым отрезком натурального ряда.

Если существует взаимно однозначное соответствие

Лч-*[1; п],

то по определению число элементов множества А равно п, т. е.

ш(А) = п.

Если существует взаимно однозначное соответствие между другим множеством В и тем же отрезком натурального ряда [1; п], т. е.

В*+[1; п],

или m (B) = n,

то множества А и В равночисленны, или эквивалентны, т. е.

А~В. Как видно, мы пришли совершенно иным путем к тому же поня тию эквивалентных множеств. Действительно, между множествами А и В может быть установлено взаимно однозначное соответствие

'А+Ц1; п\ ВЩГ-\ п].

Будем, например, считать соответствующими друг другу пары элементов (а, Ь) такие, что а£ А, Ь£ В и обоим элементам (а и Ь) соответствует одно и то же число k£ [I; n].

Сопоставим теперь две теории натуральных чисел — количественную и порядковую — с целью выяснения тех идей, которые лежат в основе обучения счету и формирования первых представлений о натуральных числах у дошкольников.

Сравнивая две теории, можно заметить, что в количественной теории сложение чисел абстрагируется от объединения множеств, а вычитание — от разности ■ множеств более естественно и в соответствии с интуитивными представлениями.

С другой стороны, порядковая теория с выделением отношения «непосредственно следует за» отражает идею постепенного образования натурального ряда, начиная от 1, шаг за шагом, причем каждый шаг состоит в прибавлении 1 к уже полученному числу.

Количественная теория предполагает, что установление эквивалентности множеств предшествует счету, порядковая, наоборот, что натуральные числа, а следовательно, и счет предшествует установлению эквивалентности множеств, что сама эта эквивалентность устанавливается пересчетом элементов двух множеств, т. е. установлением соответствия между элементами двух множеств и отрезками натурального ряда (если эти отрезки совпадают, то множества эквивалентны).

Возможно, что в реальных условиях обучения эти пути пересекаются. По крайней мере неоспорим тот факт, что дети с помощью родителей очень рано усваивают последовательность слов-числительных

один, два, три, четыре, пять...

и их сопоставление с произвольными множествами соответствующей численности. Это, очевидно, оказывается более простой мыслительной операцией, чем непосредственное сопоставление элементов двух произвольных множеств. Дети на собственном опыте убеждаются, что пересчет элементов одного и того же множества, производимый в различном порядке, приводит к одному и тому же результату, к одному и тому же слову из имеющейся последовательности слов. Известны, однако, психологические эксперименты, обнаружившие приоритет сопоставления двух произвольных множеств, хотя нельзя ручаться, что дети еще не имели интуитивных представлений о натуральных числах.

Принятая и описанная далее (часть III) методика формирования представлений о натуральных числах и обучения счету включает в себя идеи, заложенные в обеих теориях.

Системы счисления

Системой счисления называют совокупность приемов представления для наименования, записи и выполнения операций над натуральными числами.

Вместе с появлением письменности у различных народов появились те или иные системы счисления.

Существующие системы счисления по своему «грамматическому строю» делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная ситема счисления характеризуется тем, что каждый из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, обозначает одно и то же число независимо от места, т. е. позиции, занимаемого этим знаком в записи числа. Известным примером такой системы является римская система, которая иногда применяется для нумерации элементов множества, состоящего из небольшого числа элементов, например глав книги, классов школы, призовых мест и т. д.

В этой системе для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда обозначает число один, буква V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М — тысячу и т. д.

Так, например, число 2368 запишется в римской системе в виде

MMCCCLXVIII.

Обозначенное этой записью число получается сложением чисел, изображенных отдельными буквами. По этой причине непозиционные системы счисления часто

называют также аддитивными.

При развитии римской системы было внесено некоторое уЪовершенстаование: чтобы уменьшить число знаков, требуемых для записи числа, установили, что если поместить букву, обозначающую меньшее число, слева от буквы, обозначающей большее число, то это меньшее число следует вычитать из большего. Например, вместо того чтобы число сорок обозначить ХХХХ, стали писать XL, число девять вместо VIIII стали писать IX, четыре—IV и т. п. Однако это усовершенствование никак не отражалось на основном принципе — каждая используемая буква всегда обозначает одно и то же число. Поэтому записи больших чисел были весьма громоздкими. Более того, введенных знаков не хватало и сколько бы ни вводили новых знаков, всегда можно было придумать число, которое трудно записать.

В позиционной системе счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места, т. е. позиции, занимаемой этим знаком в записи числа. Например, запись «5555» в десятичной системе счисления обозначает число «пять тысяч пятьсот пятьдесят пять» с помощью одного знака, одной цифры 5, повторенной четыре раза, и каждая из этих четырех пятерок обозначает число, отличное от других, в зависимости от позиции знака 5 в этой записи: крайняя правая—_: число пять, вторая справа — число пятьдесят, третья справа — число пятьсот и, наконец, первая слева—число пять тысяч.

Десятичная позиционная система счисления берет свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, заимствована арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В этой системе для записи любого числа используются лишь

десять знаков, называемых цифрам и, множество которых Л, ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} составляет алфавит этого языка. Перечисленные цифры являются буквами этого алфавита.

Всякая конечная последовательность цифр алфавита — слово этого языка — обозначает число, являясь краткой, условной записью более сложного выражения, составленною по определенному правилу. Это единственное правило составляет «грамматику» описываемого языка.

Например, слово «3785» обозначает число, полученное как результат выполнения всех операций в выражении

3х1000 + 7х100 + 8х10 + 5, или 3х10³+ 7х10²+ 8х10 +5

т. е. является краткой записью суммы произведений последовательных степеней числа 10 на натуральные числа, каждое из которых меньше 10. Эти числа и обозначаются цифрами, из которых образуется краткая условная запись числа в виде слова «3785» в результате опускания знаков + и • и последовательных степеней числа 10. Число 10 называют основанием системы счисления, а поэтому саму систему счисления — десятичной.

Вообще, если какое-нибудь число / записано в десятичной системе счисления с помощью слова *a_aa_n-.i..*aiQo», где каждая т — цифра, т. «е. 0-< а, ^9, предполагается также, что а_пф0, т. е. все нули слева опускаются, то

а_п-л-10" -'

Чтобы не спутать слово с произведением, в котором иногда опускают знак умножения (•'), ставят над последовательностью букв черту.

Каждое число разбивается на разряды, которые считаются справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. При чтении слова «3785» мы не читаем названия цифр («три- семь восемь пять»), а читаем числа, обозначаемые этими цифрами, с учетом их места в записи числа, опуская лишь знаки,, которые подразумеваются («три тысячи семьсот восемьдесят пят-ь-», ). Единица каждого следующего (справа налево) разряда в десять раз больше единицы предыдущего (1, 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.),, т. е. отношение соседних разрядов равно основанию системы.

Возможны позиционные системы счисления с основанием, отличным от 10. Такие системы применялись и в древности. В частности, в Древнем Вавилоне была распространена система счисления с основанием 60. Вероятно, от нее происходит деление часа и градуса на 60 минут, минуты — на 60 секунд.

Вообще, если какое-нибудь число записано в системе счисления с основанием р с помощью слова «a_n, a_n-1...aiOo», где a, — цифры

из алфавита этого языка, обозначающие числа от 0 до р—1, О^а^р — 1 и а_пфй, то это означает, что

ⁿ-¹ + + a

т. е. запись числа в пятеричной системе счисления, где 0^^ т. е. алфавит этого языка состоит из пяти цифр — As = {0, 1, 2, 3, 4}. При р=8, очевидно,

/ = a_n8ⁿ + a_n_₁8ⁿ-' +...+ 0, 8 + сю —

I запись числа I в восьмеричной системе счисления, в которой 0< а₍< 7, т. е. алфавит Л₈={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

При р = 2 получаем запись числа в двоичной системе счисления:

Z = a_n2" + a_n_, 2" -' +... + 0, 2 + 00, в которой а; = 0 или 1, т. е. алфавит состоит всего из двух знаков

Л₂ = {0, \\.

Запись числа в системе счисления с основанием р называют также р-ичным числом. Так, говоря «десятичное», «пятеричное», «восьмеричное», «двоичное» число, имеется в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, восьмеричной, двоичной

системе счисления.

Естественно возникает вопрос: можно ли любое натуральное

число записать в любой системе счисления? Покажем на примере, что это можно.

Найдем запись десятичного числа 1766 в пятеричной системе

счисления. Так как 5⁴< 1766<; 5⁵, то наибольшая степень числа

5, которая содержится в этом числе, — это 5⁴. Разделив данное число

на 625, найдем в частном 2 и в остатке 516, т. е. 1766 = 2-5⁴ + 516.

Важно отметить, что частное должно быть меньше 5, иначе

5⁴ не было бы самой высокой степенью 5, содержащейся в числе

1766, а остаток, как всегда, меньше делителя.

Теперь можно выделить следующую степень, 5³, из остатка:

Следовательно, 1766 = 2-5⁴ + 4-5³ + 16. Следующая степень пяти, 5², не содержится в остатке 16, или содержится в нем 0 раз: 16=0-5² + 16, т. е. 1766 = 2 • 5⁴ + 4 - 5³ + 0 • 5² + 16. Следующая степень пяти, 5¹, содержится в остатке 16 три раза: 16 = 3-5 + 1,

516 = 4-5³ + 16.

Таким образом, десятичное число 1766 запишется на языке пятеричной системы счисления в виде слова «24031», т. е. 1766 = 240315. Индекс 5 указывает, что число записано в пятеричной системе счисления; при десятичном числе индекс обычно опускается.

Рассмотренный пример, хотя и не служит доказательством возможности представления любого числа в любой системе счисления, содержит все элементы такого доказательства, и проведенное рассуждение может быть соответствующим образом обобщено на случай любого Числа и любой системы счисления.

Этот же пример указывает общий метод или алгоритм перевода десятичного числа в недесятичную, в данном примере— в пятеричную систему счисления. Удобнее находить последовательные цифры пятеричного числа не слева направо, как они найдены выше, а справа налево. В таком случае можно будет процесс перевода представить в виде процесса последовательного деления на 5 данного числа, затем частного, второго частного и т. д. до получения частного, равного 0.

Это последовательное деление обычно записывается так:

Последовательность остатков, записанная в порядке следования от последнего к первому, и представляет собой слово «24031», изображающее данное десятичное число 1766 в пятеричной системе

счисления.

Переведем это же число 1766 в двоичную систему счисления и полученное двоичное число — обратно в десятичную систему.


О
	²

	О
		1 55

Значит, 1766=11011100110₂.

Арифметические действия производятся в недесятичных системах счисления по тем же правилам, что и в десятичной системе. Например, при сложении складываются соответствующие разряды, начиная с младших. Если в данном разряде образуется сумма, уже не умещающаяся в нем, то соответствующее превышение переносится в следующий старший разряд. Таким образом, фактически используется таблица сложения для однозначных чисел. Наиболее проста таблица сложения в двоичной системе счисления:

Сложение двух многозначных двоичных чисел выглядит так:

111011101

Умножение в двоичной системе счисления определяется следующей таблицей:

Двоичная система счисления неудобна для ручных расчетов: записи чисел в двоичной системе в среднем в три раза длиннее, чем в десятичной. Однако она оказалась весьма удобной для современных электронных вычислительных машин (ЭВМ), на которые сейчас перекладывается большая часть трудоемкой умственной работы человека, выполняемой им при решении сложных математических и логических задач, задач по управлению сложными производственными процессами, и которые играют все большую роль в современной науке, технике и производстве.

Это объясняется тем, что в ЭВМ каждая цифра должна изображаться с помощью некоторого устойчивого состояния элементов. Если применять десятичную систему, то понадобились бы физические элементы с десятью различными устойчивыми состояниями, каждое из которых должно моделировать один определенный знак алфавита этой системы, т. е. определенную цифру. Это значительно усложнило бы конструкцию и без того сложных ЭВМ. Что же касается громоздких записей чисел в двоичной системе счисления, то для ЭВМ, работающих со скоростями, достигающими нескольких миллионов операций в секунду, длина слов, над которыми выполняются операции, не так существенна. Кроме того, преимущество применения двоичной системы в качестве языка для ЭВМ состоит не только в удобстве изображения чисел с помощью электронных элементов, но и в просторе выполнения арифметических операций, в чем мы уже убедились, а также в возможности кодирования и нечисловой информации с помощью двоичного кода.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒