Глава VII.ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

§ 1. Что такое величина!

 

Величина — одно из основных математических понятий, воз­никшее в древности и подвергшееся в процессе длительного разви­тия ряду обобщений.

Общее понятие величины является непосредственным обобще­нием более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т. п. Каждый конкретный род величин связан с опре­деленным способом сравнения соответствующих свойств объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложе­ния и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка име­ют одну и ту же длину; если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения площадей плос­ких фигур, объемов пространственных тел.

Для сравнения двух предметов по массе их взвешивают. Если чаши весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую мас­су, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет —

меньшую.

Понятия длины, площади, объема, массы могут быть обобще­ны на любой род величин: в системе всех однородных величин, т. е. всех длин, всех площадей, всех объемов, всех масс и т. д., устанавливается отношение порядка. Две величины а и Ь одного и того же рода или совпадают {а = Ь\ или первая меньше второй (в< 6), или вторая меньше первой (6< а).

Однородные величины можно также складывать. Например, если точка В лежит между точками Л и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (рис. 20, /).

Если плоская фигура состоит из двух частей, не имеющих других общих точек, кроме граничных, то площадь S всей фи­гуры равна сумме площадей S1-T-S2 этих частей (рис. 20, 2).

а + в

Если пространственная фигура состоит из двух частей, все

 

общие точки которых образуют
их общую границу, то объем V
всей пространственной фигуры
равен сумме Vi + V2 объемов
H^D Vi и Vi этих частей (рис. 20, 3).
" * Если предмет состоит из двух

частей, то его масса т равна -¹ сумме т.\А_гтг масс т\ и т₂ этих частей.

Так раскрывается смысл опе­рации сложения для каждого рода величин (длин, площадей, объемов, масс и т. д.).

Исходя из смысла отношения «меньше» (< ■ ) и операции сложе­ния однородных величин (+) можно убедиться в том, что любая система однородных величин (В, <, +) обладает перечисленными ниже свойствами.

1) Отношение «о является, как и между числами, ан­
тирефлексивным, т. е. ~\ (а< Са) для любого а£ В; асимметрич­
ным (для любых а, Ь£ В, если а< Ь, то П6< а) и транзитивно
(для любых а, Ь, с£ В, если а< 6 и 6< с, то а< с), т. е. является
отношением строгого порядка. Причем для любых а, Ь, с£ В, если
афЬ, то a< Cb или b< а, т. е. система однородных величин В упоря­
дочена этим отношением.

2) Если а<.Ь, то существует величина с 6 Втакая, что а + с = Ь.
Величина с называется разностью между величинами b и а и
обозначается «6 — а», т. е. а-\-с = Ь равносильно с = Ь — а. Например,
если взять два отрезка, АВ длины а и CD длины Ь, причем
a< ib, и отложить на отрезке CD отрезок СВ\, равный АВ, то образо­
вавшийся отрезок B\D будет иметь длину с = Ь — а (рис. 21).

3) Сложение величин, как и сложение чисел, обладает свойством
переместительности (коммутативности):

a-\-b = b-\-a для любых а, Ь£ В.

 

Например, безразлично присоединить к отрезку АВ длины а отрезок ВС длины b или наоборот, получим один и тот же отрезок.

4) Сложение величин обладает свойством сочетатель­
ности (ассоциативности):

a-\-(b + c)=(a-\-b)-\-c для любых а, Ь, с£ В. Например, если присоединить к отрезку АВ длины а отрезок BD

а + в

D

в + с

Рис. 22.

длины 6 +с так, чтобы точка В лежала между точками А и D (рис. 22), то получим отрезок AD длины а + (Ь + с); если к отрезку АС длины а-\-Ь присоединить отрезок CD длины с, то получим тот же отрезок AD, его длина выражается через {а-\-Ь)-{-с; но так как мы получили один и тот же отрезок AD, то a-{-(b-{-c) = (a-+-b)-\-c. Поэтому можно писать без скобок a + fe-f-c.

5) Для любых а, 66В, а-\-Ь> а (свойство монотонности сложения). Например, если точка В лежит между точками А и С (рис. 20, /), то длина отрезка АС(а + Ь) больше длины отрезка АВ (а), или вообще «величина части меньше величины целого».

6) Всякую величину а£ В можно делить на 2, 3, 4 и вооб­
ще на любое число п одинаковых частей, иными словами, для
любой величины а^В существует величина Ь£ В такая, что пЬ — а.

I Величина Ъ называется м-й долей величины а.

7) Допустим, что имеется некоторый отрезок АВ длины а и
другой отрезок CD длины Ъ. Какими бы ни были отрезки АВ и
CD, можно наложить отрезок CD на отрезок АВ такое большое
число п раз, что получим отрезок длины nb, превышающей а.
Таким образом, какие бы ни были величины а, Ь£ Ц, всегда суще­
ствует натуральное число п такое, что a<.nb.

Перечисленные свойства 1)— 7) системы величин (В, <, +) интуитивно ясны и допускают наглядное истолкование на конкрет­ном примере системы длин отрезков. Отметим, что эти свойства еще не составляют полной характеристики системы однородных величин. Для получения такой характеристики они должны быть до­полнены еще одним свойством с более сложным содержанием и не допускающим столь наглядное истолкование, так как оно связано

: с категорией бесконечности.

8) Предположим, что даны две последовательности однородных величин: (1) ои, a-i, ..., а_п, ... и (2) Ь\, Ьч, ... , Ь_п, ..., при­чем (1)—возрастающая, т. е. а.1<.а2<....<.ап<..~, а (2) — убывающая, т. е. b\ > bi >...! > Ь„> .... Кроме того, любая величи­на первой последовательности меньше любой величины второй и с увеличением номера п члены этих последовательностей прибли­жаются друг к другу как угодно близко, т. е. какую бы ни взяли величину с при достаточно большом номере п, разность Ь_п — а_п ста­новится меньше с (Ь_п — а_п<.с). При этих условиях существует единственная величина х, которая больше всех й_п и меньше всех Ь_п, т. е. неравенство

выполняется для любого номера п членов последовательностей. Как же следует ответить на вопрос «Что такое величина? ». Прямого ответа в виде определения («величиной называется...») мы не приводим. На поставленный вопрос мы ответили косвенно: привели конкретные примеры величин (длина, площадь, объем, масса) и на этих примерах выявили свойства, характеризующие любую величи

Измерение величин

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятель­ности человека «а заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различ­ные множества, различные однородные величины, определяя преж­де всего, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода (длины, площади, объемы, массы и т. п.) сравнивались с эталоном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, вели­чине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называть­ся единицей измерения. Цель измерения стала более определен­ной —оценить, сколько единиц содержится в измеряемой вели­чине. Результат измерения стал выражаться числом.

Задача измерения величин, так же как и задача определения численности множеств предметов, является источником, порождаю­щим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение которой полностью обеспечивается натуральными числами, для задачи из­мерения величин этих чисел недостаточно. Это наглядно обнару­живается описанием процедуры измерения на простейшем примере измерения длин.

Пусть необходимо измерить длину отрезка АВ с помощью единицы измерения CD длины е (рис. 23).

Хотя мы опишем процедуру измерения длины конкретного от­резка АВ с помощью конкретной единицы измерения длины е, все действия и рассуждения, которые при этом проведем, носят общий характер и пригодны для решения любой задачи этого типа, т.. е. для измерения длины любого отрезка.

Откладываем отрезок CD от точки А последовательно на отрезке АВ, при этом возможны следующие случаи.

1. Возможно, что отрезок CD отложится на огрезке AS целое число раз. На рисунке 23, /, например, 5 раз, а вообще л раз, г; е. второй конец отрезка CD (точка D) при пятом, а в абщем случае при я-м отложении, т. е. точка А₅ {А„) совпадает с тоодаоя В концом отрезка АВ.

этом случае числовое значение длины отрезка АВ будет равняться 5, в общем случае п, так как длина равна Ъе {пе), принимая длину е единицы измерения отрезка CD равной 1. Если обозначить числовое значение длины отрезка АВ через \АВ\ (в дальнейшем для краткости вместо «числовое значение длины» будем говорить просто «длина» там, где это не приводит к не­доразумению), то в нашем примере 1АВ|=5, а в общем случае \АВ\=п. В этом случае натуральные числа обеспечивают решение

задачи измерения.

2. Возможно, что точка As (А„) не совпадает с точкой В (рис. 23, 2), причем \АъВ\<.е, т. е. если отложить еще один раз отрезок CD, то конец его A₆(A<, +i) уже окажется вне отрезка АВ, иными • словами, точка В окажется между точками Л₅ и А₆ (А_п и Ап-м). При этом здесь неявно использовано свойство 7 из § 1. Тогда длина отрезка АВ уже не выражается натуральным числом, она находится «между» двумя последовательными натуральными числами 5< |АВ! < 6, или в общем виде n< |AB| < п+1, между которыми, как известно, нет других натуральных чисел.

В этом случае мы можем лишь приближенно считать длину отрезка АВ равной одному из этих чисел, 5 или 6 (п или /г+1). I В результате получаем приближенное значение измеряемой длины с точностью до 1. Это означает, что, принимая одно из этих чисел за значение длины отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 1, причем число 5 (п) — приближенное значение длины с недостат­ком, а число 6(n-f-l) — с избытком. Если точка В ближе к точке Аь {А_п), то число 5 (п) ближе к истинному (точному) значению длины отрезка АВ, если же точка В ближе к точке Ae(A_n+i). ^T0 число 6(п + 1) ближе к точному значению этой длины. В зависи­мости от этого выбирают то приближенное значение, которое ближе к точному, что дает меньшую погрешность.

Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно считать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью.

С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка АьВ, в общем случае А_пВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же единицы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрезка CD, допустим десятую. Тогда длина е\ этой новой единицы измерения равна 0, 1е, т. е. числу 0, 1 (здесь неявно применяется свойство 6 из § 1 о возможности деления величины на какое угодно

число частей).

Далее процедура измерения повторяется, но уже применительно к отрезку AsB (А_пВ) и с единицей измерения длины 0, 1. Значит

опять возможны два случая:

1) Новая единица измерения уместится на отрезке А5В (A_nB) целое число раз, например 3 раза, а вообще «i раз, где П|< 10, такИмеются игры, в которых детям предлагается разрезать не­которую фигуру на части и сложить из этих частей другую фигуру. В нашем примере на рисунке 24 можно разрезать квадрат по диагонали и сложить из полученных частей треугольник (рис. 24, 2).

Таким образом, если две фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковые площади, то они равносоставленЫ (могут быть разбиты на одинаковое число равных частей), но не обязательно равны.

Глава VIII. АЛГОРИТМЫ § 1. Что такое алгоритм!

Воспитание детей с самого рождения, в частности воспитание дошкольников, включает усвоение ими разного рода правил и их строгое выполнение (правила утреннего туалета, одевания и раз­девания, принятия пищи, перехода улицы и др.). Режим дня дошкольника представляет собой систему предписаний о выполнении детьми и воспитателем действий в определенной последовательности. Обучая детей счету, измерению длин, сложению и вычитанию чисел, уборке комнаты, посадке растений и т. д., мы сообщаем им необходимые правила о том, что и в какой последовательности нужно делать для выполнения задания. Организовывая разнообраз­ные дидактические и подвижные игры, знакомим дошкольников с их правилами.

О всех видах деятельности, осуществляемых по определенным предписаниям, говорят, что они выполняются по определенным алгоритмам. С малых лет человек усваивает и исполняет в каждо­дневной жизни большое число алгоритмов, часто не зная, что это такое.

Что такое алгоритм? Нередко встречаются виды однотипных задач, например: сложение двух многозначных чисел, переход улицы, регулируемый или нерегулируемый светофором, измерение длины отрезка и т. д. Естественно возникает вопрос: существует ли до­статочно общий способ, который можно было бы использовать для решения любой задачи из данного вида однотипных задач?

Если такой общий способ существует, то его называют алго­ритмом данного вида задач. Для каждого из приведенных выше видов задач имеется соответствующий алгоритм.

Для задачи сложения двух многозначных чисел известен спо­соб сложения «в столбик», пригодный для сложения любых двух многозначных чисел, т. е. для решения любой частной задачи из этого вида однотипных задач.

Для задачи перехода улицы, например нерегулируемого свето­фором, можно сформулировать общий способ в виде следующего предписания, состоящего из 10 указаний, или команд:

1. Подойди к краю тротуара у знака перехода.

2. Стой.

3. Смотри налево.

4. Если идет транспорт слева, го перейди к указанию 2, иначе — к указанию 5.

5. Пройди до середины улицы.

6. Стой.

7. Смотри направо.

8. Если идет транспорт справа, то перейди к указанию 6, иначе — к указанию 9.

9. Пройди вторую половину улицы до противоположного тро­туара.

10. Переход улицы закончен.

В виде аналогичного предписания можно сформулировать и алгоритм приближенного измерения длины отрезка с точностью

до 1:

1. Выбери мерку.

2. Наложи мерку с одного (левого) конца измеренного отрезка.

Отметь на отрезке второй конец мерки.

3. Теперь оставшаяся часть отрезка — измеряемый отреаок.

4. Если измеряемый отрезок больше мерки, то перейди к ука­занию 2, иначе — к указанию 5.

5. Сосчитай метки на отрезке.

6. Полученное число — значение длины отрезка.

7. Измерение закончено.

Приведенные примеры позволяют нам несколько разъяснить, что имеется в виду под «общим способом» решения однотипных

задач.

Интуитивно под алгоритмом понимают общепонятное и точное предписание о том, какие действия и в.каком порядке необходимо выполнить для решения любой задачи из данного вида однотипных

задач.

Это определение, разумеется, не является математическим опре­делением в строгом смысле, так как в нем встречается много терминов, смысл которых, хотя и интуитивно, может быть ясен, но точно не определен («предписание», «общепонятное», «точное», «действие»). Однако оно представляет собой разъяснение того, что обычно вкладывается в интуитивное понятие алгоритма, а для наших целей этого вполне достаточно.

Какие же свойства характеризуют всякий алгоритм?

Анализ различных алгоритмов позволяет выделить следующие общие свойства, присущие алгоритмам:

а) массовость, т. е. алгоритм предназначен для решения не одной какой-нибудь задачи, а для решения любой задачи из данного вида однотипных задач;

б) определенность (или детерминированность), т. е. алгоритм представляет собой строго определенную последовательность шагов, или действий, он однозначно определяет первый шаг и какой шагследует за каждым шагом, не оставляя решающему задачу никакой свободы выбора следующего шага по своему усмотрению;

в) результативность, т. е. решая любую задачу из данного вида

 

задач по соответствующему алгоритму, за конечное число шагов получаем результат. Разумеется, для различных частных задач одного вида число шагов может оказаться различным, но оно всегда конечно.

Слово «алгоритм» происходит от имени известного математика IX в. аль-Хорез-ми, что означает «из Хорезма», впервые сформулировавшего правила выполнения арифметических действий над многозначными числами. Через труды аль-Хорезми в Европу проникли способы действий с числами в десятичной системе счисления, которые стали называть алгоритмами согласно латинской транскрипции имени

ученого.

В течение столетий значение слова «алгоритм» постепенно обобщалось, и сегодня под алгоритмом понимают некоторый общий метод или способ, предпи­сание, инструкцию, свод правил для решения за конечное число шагов любой задачи из определенного вида однотипных задач, для которого предназначен этот метод.

Алгоритм — одно из фундаментальных научных понятий, изу­чаемое и математикой, и информатикой — молодой, отпочковавшей­ся от математики наукой, изучающей способы представления, хране­ния и преобразования информации с помощью различных автома­тических устройств, главным образом современных электронных вычислительных машин (ЭВМ). Наличие алгоритма для осущест­вления некоторой деятельности является необходимым условием передачи этого вида деятельности различным автоматическим устройствам, роботам, ЭВМ (от отпуска стакана газированной воды, продажи газеты или продажи авиабилета с хранением и пре­образованием информации о наличии свободных мест до управле­ния сложными технологическими процессами, не говоря уже о вы­полнении огромных объемов вычислительной работы, связанной с решением сложных научно-технических задач).

Возможность автоматизации тех видов человеческой деятель­ности, которые осуществляются по определенным алгоритмам, свя­зана с тем, что действия, предписанные алгоритмом, носят фор­мальный характер, для их выполнения человеку не нужно проявлять изобретательность, он их совершает, как говорят, машинально.Это и означает, что такие виды деятельности могут быть переданымашине, разумеется, не любой, а специальной, «умеющей» вы­полнять эти действия. ■

Имеются различные формы записи или представления алгорит­мов, предназначенные для различных исполнителей: словесные предписания, в том числе включающие различные формулы, и наг­лядные блок-схемы, ориентированные на исполнителя-человека, программы, представляющие собой запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ, т. е. языке программирования.

Здесь уместно уточнить, что означает выдвинутое требование «общепонятности» предписания, которым задается алгоритм. Это означает, что предписание должно быть сформулировано так, чтобы оно было одинаково понятно всем исполнителям той категории, на которую оно ориентировано. Это имеет чрезвычайно важное зна­чение, в частности, при обучении маленьких детей. Например,

 

по середины улицы! \ .1.

 

нет

 

приведенные выше предписания, задающие алгоритмы перехода улицы и измерения длины, не предназначены для обучения до­школьников. Для этой цели нуж­но сформулировать их на понят­ном детям языке, что и делает любой воспитатель, если, разу­меется, он имеет соответствую­щую подготовку и понимает свои задачи. Однако приведенные выше -предписания составлены так, что они выявляют шаговую (дискретную) оперативно-логическую структуру алгоритмов. Поясним, что это означает. 1. Каждый алгоритм может быть представлен в виде после­довательности шагов. Разумеется, понятие «шаг» является относительным. Один и тот же алгоритм можно по-разному пред­ставить в виде последовательно­сти шагов, и не всегда отдельные шаги соответствуют «элементар­ным» действиям. Само понятие «элементарное действие» относи­тельно: одно и то же действие может быть для одного ребенка, и не только ребенка, элементар­ным, для другого — неэлемен­тарным, и возникает необходи­мость в его расчленении на дру­гие, элементарные, действия. Дискретность структуры ал­горитма состоит в том, что для каждого шага можно указать однозначно непосредственно следующий за ним шаг.

2. В приведенных выше предписаниях можно различить два ос­новных вида команд, а следовательно, два основных вида шагов, представленных этими предписаниями алгоритмов: простые кбман-ды, предписывающие выполнение некоторых действий («смотри влево», «пройди до середины улицы», «выбери мерку», «наложи мерку» и т. д.), и составные, определяющие разветвление про­цесса решения задачи в зависимости от выполнения или невыполне­ния некоторого условия («если идет транспорт слева, то перейди

ODOO oono OOOD

ООППО ООПОП ОООПП ODD ОП

Правило 2 Правило 3

 

Измерение длины

Выбирай мерку!

. Наложи мерку с левого ¹ конца измеряемого отрезка

Отметь на отрезке второй конец мерки

Оставшаяся часть отрезка -измеряемый отрезок

I Сосчитай метки на отрезке! I

с

да ^г- Измеряемый отрезок больше мерки

нет

 

а )

Полученное число-значение длины отрезка

Рис. 26.

Рис. 27.

оо

 

ч

к указанию 2, иначе — к указа­нию 5»), называемые условны­ми.

Условная команда имеет вид «если Р, то А, иначе В». Она предписывает следующий поря­док действий: если условие Р выполняется (истинно), то вы­полняется А (в нашем приме­ре—возврат к указанию 2). Если же условие Р не выпол­няется (ложно), что обознача­ется словом иначе, то А пропус­кается и выполняется В (в нашем примере осуществляется переход к следующему ука­занию 5).

Условные команды можно записать сокращенно: «если Р, то А», при этом подразумева­ется, что если условие Р не вы­полняется, то осуществляется переход к следующей по поряд­ку команде.

В приведенных выше приме­рах условные команды, если условие Р выполняется, опреде­ляют повторение некоторых действий («стой», «смотри вле­во», «смотри вправо», «наложи мерку» и т. д.) определенное число раз (пока условие Р вы­полняется). Такие процессы и соответствующие им алгорит­мы, в которых некоторые дей­ствия повторяются, называются циклическими.

Если же алгоритм состоит из одних простых команд, то он называется линейным.

Таким образом, различают л и н е й н ы е, р а з в е т в л е н-ные и циклические ал­горитмы.

Алгоритм можно наглядно представить в виде блок-схемы, состоящей из блоков и стрелок. Каждый шаг представляется с

 

ПООП ОООП OODD DD

попо_{> пр}„„₀,

ODDO-ODO OODI Dl

Рис. 28.

помощью блока. Блок, предусматривающий выполнение некоторого действия, изображается в виде прямоугольника, внутри которого записано соответствующее действие. Блок, представляющий логи­ческое условие, изображается в виде ромба, внутри которого записан© проверяемое условие, Если от шага А непосредственно следует шаг В, то от блока А к блоку В проводится стрелка. От каждого прямоугольника исходит только одна стрелка, от каждого ромба — две стрелки: одна с пометкой «да», идущая к блоку, сле­дующему за логическим условием, если оно выполняется, другая — с пометкой «нет», идущая к блоку, следующему за логическим условием, если оно не выполняется. Начало и конец изображают­ся овальными фигурами.

Алгоритмы, предетавлеяные выше с помощью словесных пред­писаний, могут быть представлены и с помощью блок-схемы, иными словами, эти предписания переводятся в блок-схемы.

На рисунке 25 изображена блок-схема алгоритма перехода ули­цы, нерегулируемого светофором.

На рисунке 26 изображена блок-схема алгоритма приближен­ного измерения отрезка с точностью до 1 произвольной (условной)

меркой.

Для изображения алгоритмов некоторых детских игр (правил игры) могут быть использованы специальные условные обозначения, которые легко разъясняются детям.

 

Приведем в качестве приме­ра игру «Преобразование слов», моделирующую понятие «алго­ритм преобразования слов в данном алфавите».

В этой игре, а по существу серии игр, буквы и слова необычные. Используется двух-
буквенный алфавит, состоящий из двух различных геометри­ческих фигур, например квад­ратика и кружочка, или из 0 и 1.Словами мы называем конечные цепочки из квадратиков и кружочков (во втором варианте конечные последовательности из нулей и единиц). Любое сколь угодно длинное слово нашем алфавите преобразовы­вается по приведенным на ри­сунке 27 правилам следующим образом: если в заданном слове имеется квадратик, располо­женный левее кружочка, то согласно правилу 1 их нужно поменять местами; если вовновь полученном слове опять имеется квадратик, располо­женный левее кружочка, нужно опять их поменять местамии т. д.; правило 1 применяется столько раз, сколько возможно,
т. е. пока не получится слово, в котором уже нет квадратика, расположенного левее кружоч­ка, или в котором все кружочки лежат левее всех квадратиков; затем переходим к применению
правила 2, а именно, если имеется два рядом стоящих кружочка, их удаляют, и правило 2 применяется столько

раз, сколько возможно, т. е.пока не получится слово, в котором нет двух рядом стоящих кру­жочков; затем переходим к применению правила 3, а именно, если имеется два рядомстоящих квадратика, их удаляют, и это правило применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не получится слово, в котором нет двух рядом стоящих квадратиков. Полученное слово, является результатом преобразования исходного слова по заданным правилам и способу их применения, определяющим вместе некоторый алгоритм преобразования слов в данном алфавите. На рисунке 28 показано преобразование четырех слов по этому алгоритму.

Как показывает опыт обучения, повторив эту игру несколько раз для различных «слов», дети 5—б лет в состоянии заранее правильно определить, какие вообще могут оказаться результаты сокращения «слов» по заданным правилам: кружочек и квадра­тик, или один кружочек, или один квадратик, или «ничего» (это «ничего» стали потом называть «пустым словом»).

Приведенные выше правила игры (рис. 27) вместе с процедурой их применения могут быть изображены блок-схемой (рис. 29).

Умение применять разного рода алгоритмы, тем более умение предвидеть и обосновывать возможные результаты их применения — признак формирования свойственного для математики стиля мыш­ления. Моделирование различных алгоритмов в виде детских игр открывает широкие возможности для формирования зачатков этого стиля мышления уже у дошкольников.

Вычислительные машины»

 

Речь пойдет, разумеется, о детских играх, поэтому слова «вы­числительные машины» взяты в кавычки. Прежде всего рассмотрим серию игр, в которых под термином «вычислительные машины» понимают блок-схемы несложных вычислительных процессов.

На рисунке изображена простейшая «вычислительная ма­шина», умеющая выполнять только одно действие — «прибавлениеединицы».

Рис. 30.

 

 

Если один из участников игры задает на входе машины какое-нибудь число, например 3, размещая в верхней овальной фигуре карточку с соответствующей цифрой, то другой участник, выполняю­щий роль «вычислительной машины», должен положить на выход карточку с результатом, т. е. с числом 4. Если он ошибочно кладет другую карточку, то ее отбирают. Проигрывает тот, у кого не хва­тает карточек с цифрами для продолжения игры.

«Вычислительная машина» постепенно усложняется. На рисунке 30, 2 изображена «машина», последовательно выполняющая дейст­вие «прибавление единицы» дважды.

Возникает вопрос: нельзя ли усовершенствовать «гвычислительную машину», выполняющую два одинаковых действия «прибавление единицы», заменив ее другой, выполняющей лишь одно действие? Такая «машина» изображена на рисунке 30, 3. В процессе игры подтверждается, что если на входы этих двух «вычислительных машин» попадут карточки с одинаковыми числами, то на их выходах окажутся также карточки с одинаковыми числами, т, е. эти «машины» действуют одинаково, тем самым доказывается тождество

(а+ 1)+ 1 =а + 2 для любого а.

Аналогично в ходе игры с использованием «машины», изображен­ной на рисунке 30, 4, обнаруживается, что последовательное выпол­нение двух действий « + 2»— прибавление числа 2 и «—1» — вычитание единицы, равносильно выполнению одного действия « + 1» — прибавление единицы. Следовательно, «машины», изоб­раженные на рисунках 30, / и 30, 4, действуют одинаково ({а + 2) — 1 = = а+1 для любого а). Целесообразно также проведение игры с использованием «машины», изображенной на рисунке 30, 5. Можно вместо действий « + 2» и «— 2» взять « + 3» и «— 3» или «-J-1» и «— 1». Проверив для нескольких различных чисел работу этой «машины», дети обнаруживают, что она не меняет исходного числа, т. е. они уже открывают для себя то, что в дальнейшем запи­шут в виде предложения «(а + 2) — 2 = а для любого а» или вообще «(а + 6)— Ь = а для любых а и 6».

 

«Машину», изображенную на рисунке, можно заменить ей

а	а <	: 5		?
	1 <	С 5	(да)
	2 <	С 5	(да)
	3 <	Z 5	(да)
	4 <	С 5	(Да)
	5 <	С 5	(нет)
	6 <	С 5	(нет)
	7 <	С 5	(нет)
	8 <	С 5	(нет)
	9 <	=С 5	(нет)

 

«равносильной», изображенной на рисунке 30, 6, моделирующей тождество а + 0 = а для лю­бого а.

Изображенные на рисунке 30 «машины» представляют простейшие линейные алгорит­мы. Проводимые эксперименты подтверждают, что дети 5—6 лет легко усваивают и работу «машин», представляющих про­стейшие разветвленные и цик­лические алгоритмы.

Изображенная на рисунке 31, 1 «машина» работает сле­дующим образом: если на вход «машины» подано некоторое число а, «машина» прежде всего проверяет, выполняется ли условие «а< 5». Если оно выполняется, то «машина» прибавляет к данному числу 2, если не выполняется, то вычитает 2. Знак вопроса на выходе «машины» нужно заменить полученным результатом. На рисунке 31, 2 дана таблица, показывающая работу этой «машины» для значений а: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Можно использовать «машины» этой же структуры, но с другими условиями и действиями. Для этой цели изготавливается на боль­шом листе бумаги «машина» с пустыми блоками (рис. 32), в которые вносятся различные условия (в ромбе) и различные действия

(в прямоугольниках).

На рисунке 33, / изображена «машина», представляющая цикли­ческий алгоритм: если на вход подано некоторое число а, то «машина» прибавляет к нему 2, если полученное число меньше 9, она опять прибавляет 2 и т. д., пока не получится число, не меньшее 9, т. е.

 

а +2		< 9	?
		3 <	: э	(Да)
		5 <	; э	(да)
		7 <	; э	(да)
	9 <	' 9	(нет)
2 4	4 <	С 9	(Да)
		6 «	С 9	(Да)
		8 -	£ 9	(Да)
		10 -	< 9	(нет)

Рис. 32.

 

Рис.31

.

равное или большее 9. Это число и будет результатом. Работа этой «машины» иллюстрируется для чисел 1 и 2 в таблице на рисунке 33, 2. В описанных выше играх моделируются различные алгоритмы в виде блок-схем. В следующей серии игр «Вычислительные ма­шины» моделируются некоторые алгоритмы в виде машин Поста, представляющих собой одно из разработанных в математике уточнений интуитивного понятия алгоритма.

Машина Поста представляет собой точное предписание в виде программы, состоящей из конечной последовательности определен­ного рода команд, предназначенной для решения любой задачи из целого вида однотипных задач. Хотя машина Поста — чисто те­оретическое понятие («теоретическая машина»), ее программа яв­ляется прообразом программы для реальной ЭВМ.

Профессор МГУ В. А. Успенский в своей популярной брошюре «Машина Поста» (М., 1979.— С. 4) говорит о том, что школьники первых классов и даже старшие дошкольники без труда могут осуществлять «вычисления» на машине Поста по заданной програм­ме, например, при помощи разграфленной на секции бумажной ленты и канцелярских скрепок или пуговиц в качестве меток, а также составлять простейшие программы (не содержащие команд передачи управления). Это высказывание В. А. Успенского под­тверждается и проводимыми экспериментами. Опишем две простей­шие машины Поста, осуществляющие «прибавление единицы».

Память машины представляет собой ленту, разделенную на клетки. Каждая клетка памяти может хранить определенный знак (в качестве такого знака мы использовали красный кружочек, вырезанный из картона), в таком случае она считается заполнен­ной, а в противном сл

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. Безработица: измерение, формы, естественный уровень. Закон Оукена. Регулирование уровня безработицы
2. Безработица: сущность, виды, измерение и издержки
3. Безработица: типы, измерение, социально-экономические последствия
4. Виды силы, измерение показателей силы
5. Денситометрическое измерение цвета
6. Завершающие шаги к посвящению для перехода в пятое измерение
7. ИЗМЕРЕНИЕ АРТЕРИАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПЕРИФЕРИЧЕСКИХ АРТЕРИЯХ
8. Измерение большого таза (пельвиометрия)
9. Измерение в метрах расстояния (Ri) от ЦТ каждого звена до ОЦТ тела.
10. Измерение и интерпретация случайной составляющей.
11. Измерение инфляции. Виды инфляции. Инфляция спроса и инфляция предложения. Инфляционная спираль. Последствия инфляции. Антиинфляционная политика государства