ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ у ДОШКОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ у ДОШКОЛЬНИКОВ

Теоретические основы формирования элементарных математических представлений у дошкольников, так же как и начального обучения математике в I—IV классах школы, получили сравнительно недавно (примерно 20 лет назад) специальное название — «предматематика» (англ. premathematics). (В дальнейшем для простоты и краткости изложения мы будем пользоваться этим термином.) Традиционно в качестве теоретических основ обучения принимали соответствующие математические теории в их завершенном виде. Однако дедуктивно построенная математическая теория в ее абстрактном виде не может служить основой для дошкольного и начального школьного обучения математике.

Понятия и факты на предматематическом уровне получаются абстрагированием из конкретных ситуаций или же разъясняются с помощью других понятий, хотя строгих определений здесь нет. Изложение дедуктивной математической теории носит формальный характер, изложение предматематики — содержательный. Дедукция, наиболее важная черта (и метод) математики, в предматематике играет второстепенную роль, носит локальный характер.

Предматематику не следует принимать за «детскую математику». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-популярной литературе. Что же касается формирования элементарных математических представлений у дошкольников и обучения математике в начальных классах школы, то они полностью находятся на предматематическом уровне, отражают соответствующую стадию развития математических знаний. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно называть «предматематической» подготовкой дошкольников и младших школьников, т. е. их подготовкой к изучению математики.

Основная цель теоретических основ формирования элементарных математических представлений — математическое описание и уточнение смысла всего того, что практикуется на занятиях с дошкольниками, разъяснение тех понятий, о которых у детей формируют соответствующие представления. Этой цели и подчинено изложение теоретических основ. Мы не будем строить здесь какие-нибудь строгие математические теории. Все изложение ведется на предматематическом уровне. Для иллюстрации различных понятий, фактов или конструкций мы будем пользоваться примерами и играми, моделирующими эти понятия или конструкции, и соответствующим дидактическим материалом. Часто используются при изложении специально разработанные обучающие игры. От них делается переход к описанию тех логических и математических конструкций, которые этими играми, моделируются. Таким образом, теоретические основы излагаются в непосредственной связи с элементарными математическими представлениями, формируемыми у дошкольников в процессе их обучения в детском саду. Особенностью этого изложения является также выявление логической структуры мышления, формируемой и развиваемой одновременно с элементарными математическими представлениями. Это дает возможность педагогу повысить развивающий эффект при формировании у дошкольников элементарных математических представлений.

Используемая при изложении теоретических основ специальная логическая и математическая терминология и символика не предназначена, разумеется, для обучения дошкольников. Язык обучения и общения с дошкольниками уточняется в третьей части настоящего пособия, посвященной методике формирования элементарных математических представлений у дошкольников.

Глава III. МНОЖЕСТВА И СВОЙСТВА ПРЕДМЕТОВ

Универсальное множество. Дидактический материал

Обычно предметы, обладающие определенным свойством, выделяются из некоторого наперед заданного основного, или универсально го, множества предметов (множества всех предметов, рассматриваемых в связи с данным свойством).

Например, множество детей, живущих на Ленинском проспекте, мы выделили из множества всех детей определенной (конкретной, известной нам) группы как ее часть (подмножество), характери-^ зуемую указанным свойством. В данном случае множество всех детей этой группы играет роль универсального множества (множества всех детей). Если в качестве универсального множества примем множество всех детей данного детского сада (а не только одной группы), то множество детей, живущих на Ленинском проспекте, может оказаться иным.

Все вопросы, связанные с множествами (операции над множествами, отношения между ними, разбиение множества на классы и „р.), решаются, как правило, внутри некоторого явно заданного или подразумеваемого универсального множества.

Удобно иллюстрировать понятия, связанные с множествами предметов, на одном универсальном множестве специального дидактического материала, который может быть эффективно использован в обучении дошкольников, — «логические блоки».

Идея подобных блоков была выдвинута известным советским психологом д. С. Выготским. В зарубежной литературе эти блоки называются также «блоками Дьенеша», по имени венгерского психолога и математика, разработавшего этот дидактический материал для обучения детей 4—6 лет. В дальнейшем мы будем называть их кратко блоками (или фигурами).

Эти блоки названы «логическими», потому что они позволяют моделировать разнообразные логические структуры и решать логические задачи с помощью специально создаваемых конкретных ситуаций, т. е. могут быть использованы, как это будет показано дальше, для ранней логической пропедевтики детей 4—6 лет.

Комплект (универсальное множество) состоит из 48 деревянных или пластмассовых блоков. Каждый блок обладает четырьмя свойствами, т. е. является носителем четырех свойств, которыми он полностью определяется: формой, цветом, величиной и толщиной.

Имеются четыре формы: О — круг, □ — квадрат, Д — треугольник и си — прямоугольник (под прямоугольником имеется в виду разносторонний прямоугольник; на этом предматематиче-ском уровне дети не считают квадрат прямоугольником); три цвета: красный, синий, желтый; две величины: большой и малый — и две толщины: толстый и тонкий. Это так называемый «пространственный вариант» дидактического материала.

Широкие возможности для применения в обучении дошкольников имеет и «плоский вариант» блоков, который для краткостиназовем «фигуры».

Комплект (универсальное множество) состоит из 24 фигур, изображенных на листе плотной бумаги. Дети по заданию воспитателя вырезают их. Каждая из этих фигур полностью определяется тремя свойствами: формой (О, □, Д, □ ), цветом: красный, синий, желтый (к, с, ж) —и величиной: большой, маленький (б, м). Толщиной фигуры не различаются (она у всех одна и та же). Таким образом, и м я каждой фигуры состоит из тройки букв-названий (формы, цвета, величины) и может быть символически записано так: Пжб — квадратная желтая большая фигура (в дальнейшем можно назвать короче — желтый большой квадрат); осм — прямоугольная синяя малая фигура (или синий малый прямоугольник) и т. п.

Прежде чем пользоваться блоками (или фигурами) для проведения различных игр и решения разного рода задач, необходимо научиться распознавать каждый элемент универсального множества, состоящего из блоков (или фигур), т. е. уметь называть его полное имя.

И л и л

В логике конъюнкция обозначается знаком «Л», т. е. вместо «Р и Q» пишут

Посмотрим теперь, какие же множества изображены областями (2), (3), (4) на диаграмме (рис. 2).

Нетрудно заметить, что область (2) изображает пересечение множества А с дополнением множества В, т. е.

(множество красных некруглых блоков, если возвратиться к описанной нами игре).

Аналогично область (3) изображает множество

(множество некрасных круглых блоков), а область (4) есть изображение пересечения дополнений

(множесто некрасных некруглых блоков).

Описывая пересечение двух множеств, мы неизбежно пользуемся конъюнкцией предложений и, таким образом, вырабатываем у детей понимание смысла союза и в играх с двумя обручами.

Целесообразно проводить и такие варианты игры, в которых область (! ) изображает пустое множество, т. е. А[\В=0. Например, если А — множество всех круглых, а В — множество всех треугольных блоков, то Af\B = 0, так как нет такого блока, который был бы одновременно кругом и треугольником.

Если А[)В=0, то множества А и В называются непересекающимися.

В дальнейшем будет показано, что непересекающиеся множества также находят применение в обучении дошкольников.

Бинарные отношения

Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», будем иметь в виду.бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понимают под отношением и как это понятие можно описать математически Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:

между числами: «равно», «неравно», «меньше», «больше», «неменьше», «не больше», «делит», «делится на»; между точками прямой: «предшествует», «следует за»; между прямыми: «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны», «скрещиваются»; между прямой и плоскостью: «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»; между плоскостями: «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;

— между геометрическими фигурами: «равно», «подобно» и др. Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений.

Примеры бинарных отношений встречаются не только в математике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, бабушкой, братом, сестрой, другом, ровесником, старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отношения между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между предметами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения.

Проанализируем складывающееся на базе опыта интуитивное понятие отношения. Прежде всего рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Возьмем отношение Р: «город х стоит на берегу реки у».

Всегда, когда говорим о каком-то отношении, мы имеем в виду множества предметов, между которыми установлено это отношение. В нашем примере имеется в виду некоторое множество А городов и некоторое множество В рек.

Пусть А ={Астрахань, Волгоград, Киев, Минск, Могилев, Москва, Ростов, Ульяновск} и В = {Волга, Днепр, Дон, Москва-река}.

Рассматриваемое отношение может быть задано следующей таблицей истинности:

А	В
	Волга	Днепр	Дои	Москва-река
Астрахань	И	Л	л	л
Волгоград	и	л	л	л
Киев	л	и	л	л
Минск	л	л	л	л
Могилев	л	и	л	л

В приведенной таблице буква И (истинно) поставлена в тех клетках, которые соответствуют парам (город, река, ) находящимся в заданном отношении, т. е. если в предложении «город х стоит на берегу реки у» вместо х и у подставить имена соответствующих городов и рек, получим истинные высказывания («Астрахань стоит на берегу Волги», «Волгоград стоит на берегу Волги», «Киев стоит на берегу Днепра» и т. д.). Буква Л (ложно) стоит в тех клетках, которые соответствуют парам (город, река), не находящимся в данном отношении. Например, «Минск стоит на берегу Волги», «Могилев стоит на берегу Дона» и др.— ложные высказывания. Эта таблица дает ответ на вопрос: какой город из множества А стоит на берегу какой реки из множества В? Ответ можно записать и в виде множества пар:

{(Астрахань, Волга), (Волгоград, Волга), (Киев, Днепр), (Могилев, Днепр), (Москва, Москва-река), (Ростов, Дон), (Ульяновск,

Волга)}.

Сколько всего возможно пар вида (город, река), т. е. элементов декартова произведения АХ.В в данном примере? В таблице всего клеток (или пар) 32. Таким образом, рассматриваемое отношение может быть задано с помощью множества из 7 пар, представляющего собой подмножество декартова произведения

АХ В.

Данное отношение можно задать и более наглядным способом — с помощью фигуры, называемой ориентированным графом, состоящей из точек, вершин графа и стрелок, ребер графа.

На рисунке 6 изображен граф, задающий отношение «меньше» в множестве А;

элементы множества А изображены вершинами графа, а стрелка исходит из вершины а и направлена к вершине b, если предложение a< b истинно.

Рассмотренные примеры 1 и 2 показывают, что всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества Л и В (эти множества могут, в частности, совпадать, как в примере 2, т. е. возможно, что В = А) и при этом некоторые элементы множества А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А. Таким образом, всякое отношение между элементами множеств А и В (или между элементами множества А) порождает множество пар, первые компоненты которых принадлежат А, вторые В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АХВ (или АХА), причем такое, что элементы каждой пары и только они находятся в данном отношении.

Как видно из проведенного анализа интуитивного понятия отношения, всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между элементами которых установлено отношение, некоторым множеством пар Р — подмножеством АХВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств. Если же определяют отношение вообще, без указания, между элементами каких множеств оно установлено, то обычно отождествляют его с множеством пар Р.

Отношением между элементами непустых множеств А и В назы вается тройка множеств

р=(Р, А, В), где Рс=АхВ.

Множество пар Р называется графиком отношения р. Об элементах пары (je, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру»

Таким образом, записи «(*, у)£ Р» и «.хру» равносильны. Если В —А, то р=(Р, А, А) называется отношением между элементами множества А. Так, в примере 2 мы имели отношение «меньше» между элементами множества А — {\, 2, 3, 4}.

Свойства отношений

1. Рассмотрим еще один пример отношения.

Если А = {\, 2, 3, 4}и Р = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), Чо р — (Р, А, А) представляет собой отношение «делит» между элементами множества А. Оно представлено графом на рисунке 7.

Это отношение обладает таким свойством: каждый элемент множества А находится в этом отношении с самим собой, все пары типа (х, х)— (1, Г), (2, 2), (3, 3), (4, 4) —принадлежат графику этого отношения. Это свойство отражается в графе (рис. 7) тем, что в каждой вершине графа имеется петля, указывающая на то, что каждая точка находится в этом отношении сама с собой. Отношение же «меньше» (рис. 6) не обладает этим свойством, более того, ни один элемент множества не находится в. этом отношении «меньше» с самим собой (ни одно число не меньше самого -себя). Ни в одной вершине этих графов нет петли.

Свойство отношения р = (Р, А, А), - состоящее в том, что хрх для всякой пары (х, х)£ А² (или для всякого х£ Л) называется рефлексивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — рефлексивным.

Свойство отношения р = (Р, А, А), состоящее в том, что хрх («х не находится в отношении р (х, х)») для всякой пары (х, х)£ А²(или для всякого х£ А) называется антирефлексивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, —антирефлексивным¹.

Граф рефлексивного отношения характеризуется тем, что в каждой вершине имеется петля; граф антирефлексивного отношения — тем, что ни в одной вершине нет петли, а граф отношения, не являющегося ни рефлексивным, ни антирефлексивным, может иметь в некоторых вершинах петли, в других — нет.

Среди перечисленных в § 2 отношений рефлексивными являются: «равно», «не меньше», «не больше», «делит», «делится на», «равенство и подобие фигур»; антирефлексивными являются отношения: «не равно», «меньше», «больше» между числами, «предшествует», «следует 'за» между точками прямой. Отношение «быть ровесником» между людьми является рефлексивным, отношение же «быть отцом»,
«быть матерью», «быть братом», «быть сестрой», «выше», «старше», «моложе» — антирефлексивными. Отношение «быть другом» не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным (бывают случаи, когда человек сам себе друг, и случаи, когда человек сам себе недруг).

Рис.7.

2. Если a — b, то й = а, т. е. если пара (a, b) находится в отношении «равно», то и пара (Ь, а) находится в этом отношении.

Аналогичным свойством обладает и отношение «быть ровесником»: если х ровесник у, то у ровесник х.

Если а< Ь, то ~16< а, т. е. если пара (а, Ь) находится в отношении «меньше» то пара (Ь, а) не находится в этом отношении.

Аналогично и отношение «старше»: если х старше у , то неверно, что у старше х.

Отношение «не больше» (меньше или равно: <! ) обладает таким свойством: если х^у и у^х, то х = у.

Свойство отношения р = (Р, А, А), состоящее в том, что из хру следует урх для любой пары (х, у)£ А², называется симметричностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — симметричным.

Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру следует ~\урх для любой пары (х, у)£ А², называется асимметрия-ност ь ю, а отношение р, обладающее этим свойством, — асимметричным. Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и урх следует х — у для любой пары (х, у)^А², называется антисимметричностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антисимметричным.

Граф симметричного отношения характеризуется тем, что любые две его вершины либо не связаны стрелкой, либо связаны двумя противоположно направленными стрелками; граф асимметричного (или антисимметричного) отношения — тем, что любые две его различные вершины связаны не более чем одной стрелкой1.

3. Несложно установить истинность следующих утверждений:

если х< у и y< z, то x< z;

если х = у и y — z, то x = z;

если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z;

если л: старше у а у старше г, то х старше z; если a||b и Ь\\с, то а\\с.

однако если х — отец ужу — отец z, то х не есть отец z (а дедушка); если х — друг у и у — друг z, то вообще не известно, является ли х другом z.

Свойство отношения р=(Р, А, А), состоящее в том, что из хру и ypz слеует xpz для любых х, у, z£ A, называется транзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — транзитивным.

Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и ypz следует ~Лхрг для любых х, у, z£ A, называется антитранзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антитранзитивным.

Так, отношения «меньше», «равно», «быть ровесником», «старше; », «параллельно» являются транзитивными. Отношение «быть отцом» является антитранзитивным, а отношение «быть другом» не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.

Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения равенства чисел и геометрических фигур, подобия фигур, «быть ровесником».

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свойствами, отношения принадлежат важному классу отношений эквивалентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, установленное в некотором множестве А, называется отношением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или установлено отношение эквивалентности, то этим самым порождается разбиение данного множества на классы таким образом, что любые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, находятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому отношению), любые же два элемента, принадлежащие различным классам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы эквивалентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквивалентности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение «иметь один цвет» (или «быть одного цвета»). Нетрудно убедиться в том, что это отношение является отношением эквивалентности, т. е. рефлексивным, симметричным и транзитивным. Этому соответствует задание: «Расположите блоки так, чтобы все блоки одного цвета оказались вместе». Например, имея три обруча: красный, синий и желтый (рис. 8), можно потребовать, чтобы все красные блоки были расположены внутри красного обруча, всё синие — внутри синего, а все желтые — внутри желтого.

красный обруч синий обруч

Рис. 8.

жёлтый обруч

Решение этой задачи в процессе игры приводит к разбиению множества всех блоков на

классы эквивалентности по отношению «быть одного цвета» (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия 1) —3) правильного разбиения (глава III, § 6): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст;.2) эти классы попарно не пересекаются и 3) их объединение равно множеству М всех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения «быть одного цвета», формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем, все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения «иметь одну форму» мы получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эквивалентности такое, что любые два блока (или две фигуры), принадлежащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов обладают различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эквивалентности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометрических фигурах как на плоскости, так и в пространстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для формирования новых понятий и для классифицирующей деятельности, с другой стороны, что рассмотренные выше (глава III) дидактические игры с обручами обучают этой деятельности.

Отношение порядка

Среди рассмотренных выше (§ 2) примеров отношений имеются такие, как «меньше», «больше» между числами, «предшествует», «следует за» между точками прямой; «старше», «моложе» между людьми. Эти отношения являются антирефлексивными, асимметричными и транзитивными.

Эти и подобные им, т. е. обладающие такими же свойствами, отношения принадлежат другому важному классу отношений, также
находящих широкое применение, их называют отношениямипорядка. > i«; )

Всякое антирефлексивное, асимметричное и транзитивное отношение в некотором множестве А называется отношением порядка.

Иногда такое отношение называют отношением строгого порядка, чтобы отличить его от отношения нестрогого порядка, являющегося рефлексивным, антисимметричным и транзитивным. > ч

Обратимся еще раз к примеру 2 (§ 2) отношения «меньше» в множестве Л = {1, 2, 3, 4).

Тот факт, что главная диагональ истинностной таблицы (идущая от левого верхнего угла к правому нижнему) содержит одни только Л, или ни одна вершина графа (рис. 6) не имеет петли, отражает свойство антирефлексивности отношения «меньше».

Если в одной клетке таблицы стоит И, то в симметричной ей относительно главной диагонали клетке стоит Л, или если от одной вершины графа к другой проведена стрелка, то от второй к первой стрелки нет. В этом отражается свойство асимметричности

отношения «меньше».

Более того, легко заметить, что любая клетка таблицы заполнена (буквой И или Л), или любые две вершины графа соединены стрелкой. Это означает, что для любой пары (х, у)£ А²различных чисел {хФу) либо х< у, либо у< х. В таком случае говорят, что множество А упорядочено отношением «меньше» и ^.записывается так, что на первом месте располагается имя элемента, ^; который меньше всех остальных, на втором — имя элемента, меньшего остальных, кроме первого и т. д., т. е.

Л={1, 2, 3,.4}.

Таким же отношением «меньше» упорядочивается и множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, ...}, к изучению которого мы перейдем в следующей главе.

Исходя из такого интуитивного понимания упорядочивания мно-' жества е- помощью отношения порядка, приходим к следующему определению упорядоченного множества.

Множество А называется упорядоченным, если введено отношение порядка р — {Р, А, А) и для любой пары (х, у)£ А², если хфу, то хру или урх (т. е. любые два различных элемента множества А находятся в данном отношении порядка Р). В этом случае говорят также, что множество А упорядочено отношением порядка р.

Так, например, когда говорят «натуральный ряд чисел», имеют в виду множество N всех натуральных чисел, упорядоченное отношением порядка «меньше», т. е. N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Глава V. ЧИСЛА

Системы счисления

Системой счисления называют совокупность приемов представления для наименования, записи и выполнения операций над натуральными числами.

Вместе с появлением письменности у различных народов появились те или иные системы счисления.

Существующие системы счисления по своему «грамматическому строю» делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная ситема счисления характеризуется тем, что каждый из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, обозначает одно и то же число независимо от места, т. е. позиции, занимаемого этим знаком в записи числа. Известным примером такой системы является римская система, которая иногда применяется для нумерации элементов множества, состоящего из небольшого числа элементов, например глав книги, классов школы, призовых мест и т. д.

В этой системе для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда обозначает число один, буква V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М — тысячу и т. д.

Так, например, число 2368 запишется в римской системе в виде

MMCCCLXVIII.

Обозначенное этой записью число получается сложением чисел, изображенных отдельными буквами. По этой причине непозиционные системы счисления часто

называют также аддитивными.

При развитии римской системы было внесено некоторое уЪовершенстаование: чтобы уменьшить число знаков, требуемых для записи числа, установили, что если поместить букву, обозначающую меньшее число, слева от буквы, обозначающей большее число, то это меньшее число следует вычитать из большего. Например, вместо того чтобы число сорок обозначить ХХХХ, стали писать XL, число девять вместо VIIII стали писать IX, четыре—IV и т. п. Однако это усовершенствование никак не отражалось на основном принципе — каждая используемая буква всегда обозначает одно и то же число. Поэтому записи больших чисел были весьма громоздкими. Более того, введенных знаков не хватало и сколько бы ни вводили новых знаков, всегда можно было придумать число, которое трудно записать.

В позиционной системе счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места, т. е. позиции, занимаемой этим знаком в записи числа. Например, запись «5555» в десятичной системе счисления обозначает число «пять тысяч пятьсот пятьдесят пять» с помощью одного знака, одной цифры 5, повторенной четыре раза, и каждая из этих четырех пятерок обозначает число, отличное от других, в зависимости от позиции знака 5 в этой записи: крайняя правая—_: число пять, вторая справа — число пятьдесят, третья справа — число пятьсот и, наконец, первая слева—число пять тысяч.

Десятичная позиционная система счисления берет свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, заимствована арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В этой системе для записи любого числа используются лишь

десять знаков, называемых цифрам и, множество которых Л, ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} составляет алфавит этого языка. Перечисленные цифры являются буквами этого алфавита.

Всякая конечная последовательность цифр алфавита — слово этого языка — обозначает число, являясь краткой, условной записью более сложного выражения, составленною по определенному правилу. Это единственное правило составляет «грамматику» описываемого языка.

Например, слово «3785» обозначает число, полученное как результат выполнения всех операций в выражении

3х1000 + 7х100 + 8х10 + 5, или 3х10³+ 7х10²+ 8х10 +5

т. е. является краткой записью суммы произведений последовательных степеней числа 10 на натуральные числа, каждое из которых меньше 10. Эти числа и обозначаются цифрами, из которых образуется краткая условная запись числа в виде слова «3785» в результате опускания знаков + и • и последовательных степеней числа 10. Число 10 называют основанием системы счисления, а поэтому саму систему счисления — десятичной.

Вообще, если какое-нибудь число / записано в десятичной системе счисления с помощью слова *a_aa_n-.i..*aiQo», где каждая т — цифра, т. «е. 0-< а, ^9, предполагается также, что а_пф0, т. е. все нули слева опускаются, то

а_п-л-10" -'

Чтобы не спутать слово с произведением, в котором иногда опускают знак умножения (•'), ставят над последовательностью букв черту.

Каждое число разбивается на разряды, которые считаются справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. При чтении слова «3785» мы не читаем названия цифр («три- семь восемь пять»), а читаем числа, обозначаемые этими цифрами, с учетом их места в записи числа, опуская лишь знаки,, которые подразумеваются («три тысячи семьсот восемьдесят пят-ь-», ). Единица каждого следующего (справа налево) разряда в десять раз больше единицы предыдущего (1, 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.),, т. е. отношение соседних разрядов равно основанию системы.

Возможны позиционные системы счисления с основанием, отличным от 10. Такие системы применялись и в древности. В частности, в Древнем Вавилоне была распространена система счисления с основанием 60. Вероятно, от нее происходит деление часа и градуса на 60 минут, минуты — на 60 секунд.

Вообще, если какое-нибудь число записано в системе счисления с основанием р с помощью слова «a_n, a_n-1...aiOo», где a, — цифры

из алфавита этого языка, обозначающие числа от 0 до р—1, О^а^р — 1 и а_пфй, то это означает, что

ⁿ-¹ + + a

т. е. запись числа в пятеричной системе счисления, где 0^^ т. е. алфавит этого языка состоит из пяти цифр — As = {0, 1, 2, 3, 4}. При р=8, очевидно,

/ = a_n8ⁿ + a_n_₁8ⁿ-' +...+ 0, 8 + сю —

I запись числа I в восьмеричной системе счисления, в которой 0< а₍< 7, т. е. алфавит Л₈={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

При р = 2 получаем запись числа в двоичной системе счисления:

Z = a_n2" + a_n_, 2" -' +... + 0, 2 + 00, в которой а; = 0 или 1, т. е. алфавит состоит всего из двух знаков

Л₂ = {0, \\.

Запись числа в системе счисления с основанием р называют также р-ичным числом. Так, говоря «десятичное», «пятеричное», «восьмеричное», «двоичное» число, имеется в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, восьмеричной, двоичной

системе счисления.

Естественно возникает вопрос: можно ли любое натуральное

число записать в любой системе счисления? Покажем на примере, что это можно.

Найдем запись десятичного числа 1766 в пятеричной системе

счисления. Так как 5⁴< 1766<; 5⁵, то наибольшая степень числа

5, которая содержится в этом числе, — это 5⁴. Разделив данное число

на 625, найдем в частном 2 и в остатке 516, т. е. 1766 = 2-5⁴ + 516.

Важно отметить, что частное должно быть меньше 5, иначе

5⁴ не было бы самой высокой степенью 5, содержащейся в числе

1766, а остаток, как всегда, меньше делителя.

Теперь можно выделить следующую степень, 5³, из остатка:

Следовательно, 1766 = 2-5⁴ + 4-5³ + 16. Следующая степень пяти, 5², не содержится в остатке 16, или содержится в нем 0 раз: 16=0-5² + 16, т. е. 1766 = 2 • 5⁴ + 4 - 5³ + 0 • 5² + 16. Следующая степень пяти, 5¹, содержится в остатке 16 три раза: 16 = 3-5 + 1,

516 = 4-5³ + 16.

Таким образом, десятичное число 1766 запишется на языке пятеричной системы счисления в виде слова «24031», т. е. 1766 = 240315. Индекс 5 указывает, что число записано в пятеричной системе счисления; при десятичном числе индекс обычно опускается.

Рассмотренный пример, хотя и не служит доказательством возможности представления любого числа в любой системе счисления, содержит все элементы такого доказательства, и проведенное рассуждение может быть соответствующим образом обобщено на случай любого Числа и любой системы счисления.

Этот же пример указывает общий метод или алгоритм перевода десятичного числа в недесятичную, в данном примере— в пятеричную систему счисления. Удобнее находить последовательные цифры пятеричного числа не слева направо, как они найдены выше, а справа налево. В таком случае можно будет процесс перевода представить в виде процесса последовательного деления на 5 данного числа, затем частного, второго частного и т. д. до получения частного, равного 0.

Это последовательное деление обычно записывается так:

Последовательность остатков, записанная в порядке следования от последнего к первому, и представляет собой слово «24031», изображающее данное десятичное число 1766 в пятеричной системе

счисления.

Переведем это же число 1766 в двоичную систему счисления и полученное двоичное число — обратно в десятичную систему.

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒