Дискретные случайные величины

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате испытания (опыта) может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно – какое именно.

Условимся обозначать случайные величины прописными буквами:

X, Y, Z, …,

а их возможные значения строчными буквами: .

Законом распределения СВ называют любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Дискретная СВ (ДСВ) – это величина, множество возможных значений которой дискретно, т.е. состоит из отдельных, изолированных точек, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности. ДСВ принимает свои возможные значения с определенными вероятностями.

Рядом распределения ДСВ Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ Х: , а в нижней – вероятности этих значений: , где – вероятность того, что в результате опыта СВ Х примет значение .

Ряд распределения записывается в виде таблицы:

Х			…		…
р			…		…

Так как в одном испытании СВ принимает одно и только одно возможное значение, то события несовместны и образуют полную группу. Следовательно, сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна 1:

Пусть ДСВ принимает бесконечную последовательность значений (множество значений ДСВ бесконечно, счетно). Тогда ряд распределения ДСВ примет вид:

Х			…		…		…
р			…		…		…

В этом случае ряд, составленный из чисел , сходится и его сумма равна единице.

Такой способ задания закона распределения ДСВ (в виде ряда распределения) называется табличным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: на оси абсцисс откладывают возможные значения СВ, на оси ординат – вероятности этих значений, таким образом, получаем точки . Полученные точки (пусть из будет четыре), для наглядности, соединяют отрезками прямых (рис. 1).

Рис. 1

Этот способ задания закона распределения ДСВ называют графическим.

Можно также задавать закон распределения ДСВ аналитически. Например, формула Бернулли: аналитически задает закон распределения, называемый биномиальным.

Функцией распределения СВ Х называется функция , , которая определяется формулой

(т.е. вероятность того, что СВ Х примет значение меньше наперед заданного значения х, где х любое вещественное число).

В случае ДСВ:

где суммирование проводится по всем значениям , которые строго меньше х.

Функцию распределения называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Числовые характеристики ДСВ

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Обозначение математического ожидания:

М.О. .

Таким образом:

Дисперсией СВ Х называется МО квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

Дисперсия ДСВ, принимающей конечное число значений, определяется формулой

Замечание. Дисперсию также можно находить, используя свойство дисперсии, по формуле

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

Пример

Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:


	0, 1	0, 2	0, 3

Найти вероятности , если математическое ожидание . Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

Сумма вероятностей ряда распределения . В нашем случае

Математическое ожидание находится по формуле , в нашем случае

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения и :

решая которую находим

Тогда ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:


	0, 1	0, 2	0, 3	0, 3	0, 1

Построим многоугольник распределения, для этого в прямоугольной системе координат строим точки , , , , , затем соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная является многоугольником распределения данной случайной величины.