|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Виды распределений непрерывной случайной величины.⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 16
Рассмотрим некоторые конкретные непрерывные распределения, часто встречающиеся на практике. Равномерное распределение Понятие равномерного распределения соответствует представлению о выборе точки из определенного отрезка наудачу. Случайная величина Храспределена равномерно на отрезке(а, b), если ее плотность постоянна и равна
Кратко это записывают в виде Х~R(а, b). Из-за внешнего вида графиков плотности равномерные распределения называют " прямоугольными" (рис. 7). При равномерном распределении отрезок [а, b] становится выборочным пространством, в котором вероятности интервалов, лежащих внутри [а, b], пропорциональны их длинам:
если (х, х+Δ х)∈ [a, b].
Рисунок 7. График дифференциальной функция равномерного распределения. Убедимся, что интеграл от минус до плюс бесконечности от плотности равномерного распределения равен 1.
Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на [а, b], имеет вид (рис.8)
Рисунок 8. График интегральной функции равномерного распределения. Математическое ожиданиеслучайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, b]: По формуле для математического ожидания непрерывной случайной величины имеем
Итак, если X~R(a, b), то Дисперсияслучайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, b]:
Итак, если X~R (a, b), то Показательное распределение Непрерывная случайная величина X, принимающая неотрицательные значения, имеетпоказательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ, если плотность распределения имеет вид
Кратко это записывают в виде Х~Е(λ ). Функция распределения такой случайной величины (рис.9)
Рисунок 9. График интегральной и дифференциальной функции показательного распределения. Показательное распределение - единственное наделенное " полной потерей памяти". Это свойство называют также свойством отсутствия последействия. Аналитически это свойство записывают следующим образом: для любых чисел х1 и x2 Р{Х> х1+x2}=Р{Х> х1}·Р{Х> х2} Считают, что время жизни атома имеет показательное распределение. Свойство отсутствия последействия имеет следующий смысл: каков бы ни был настоящий возраст, оставшееся время жизни не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время жизни. Покажем, что показательное распределение удовлетворяет свойству отсутствия последействия, для этого запишем вероятности через функции распределения.
Тогда Использование показательного распределения в математических моделях реальных явлений обычно связано именно с этим характерным свойством. Математическое ожиданиеслучайной величины, имеющей показательное распределение с параметром λ :
Итак, если Х~Е(λ ), то Дисперсияслучайной величины, имеющей показательное распределение с параметром λ :
Итак, если Х~Е(λ ), то Нормальное распределение Непрерывная случайная величина Х имеетнормальное распределение с параметрами m и σ > 0, если ее плотность распределения имеет вид
Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с указанными параметрами, это кратко записывают в виде Х~N(m, σ ) Множитель Нормальный закон распределения (также называемый законом Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный, будут рассмотрены в дальнейшем. Нормальный закон может появляться как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели исследуемого явления). Классические примеры возникновения нормального распределения как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).
Рисунок 10. График дифференциальной функции нормального распределения. Выясним смысл параметров нормального распределения. Параметр m является центром симметрии распределения. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х - m) на обратный выражение для плотности нормального распределения не меняется. Если изменять значения параметра m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Таким образом, центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс (рис. 10). Параметр σ характеризует форму кривой распределения. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ ; при увеличении σ максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении σ кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, становясь более иглообразной. На рисунке 11 показаны три нормальные кривые (I, II, III) при m=0; кривая I соответствует самому большому, в кривая III самому малому значению σ.
Рисунок 11. График нормальной кривой. Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нормальному закону с параметрами m, σ, на участок (а, b). Как уже известно, вероятность попадания случайной величины на заданный интервал выражается через плотность распределения
Последний интеграл не выражается через элементарные функции. Упростим, сначала подинтегральное выражение, сделав замену переменных Итак где Математическое ожиданиеслучайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами m и σ : Так как Таким образом, если X~N(m, σ ), то M(X)=m. Дисперсияслучайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами m и σ 2:
Заменой
Итак, если X~N(m, σ ), то D(X)=σ 2. Пример 36. Случайная величина Х представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. Известно, что Х~N (1, 2; 0, 8), где значения параметров даны в метрах. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1, 6м. Решение. В данном примере а= –1, 6; b=1, 6; m=1, 2; σ = 0, 8. Тогда По таблице функции Ф*(х) находим Ф*(0, 5)=0, 6915; Ф*(-3, 5)=0, 0002. Таким образом, Р(-1, 6 < Х < 1, 6)=Ф*(0, 5) - Ф*(-3, 5)=0, 6915 - 0, 0002=0, 6913. На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно параметра m. Такую вероятность вычисляют по формуле
Часто на практике требуется оценить диапазон возможных значений случайной величины. Способ, позволяющий ориентировочно указать интервал практически возможных значений нормально распределенной случайной величины, называют " правилом трех сигма" . Рассмотрим вероятность того, что случайная величина отклоняется от параметра m не больше, чем на Зσ, т.е.
Найдем по таблице значение Ф*(3)=0, 9986, тогда Р(|Х – m| < Зσ )=2·0, 9986 - 1=0, 9972. Т.е. вероятность того, что случайная величина отличается от своего m больше чем на 3σ, не превосходит 0, 003. Итак, интервал практически возможных значений нормально распределенной случайной величины равен (m - 3σ, m+3σ ), где m, σ - параметры нормального распределения. Пример 37. Ошибка взвешивания - случайная величина, Х~N(0, 5), значения параметров даны в граммах. Найти интервал практически возможных значений ошибки взвешивания. Решение. В данной задаче m=0, σ = 5, следовательно, интервал практически возможных значений равен (-15 г, 15 г). В некоторых задачах используют " правило двух сигма": Р(|Х–m|< 2σ )=0, 95, т.е. с вероятностью 0, 95 нормально распределенная случайная величина Х принадлежат интервалу (m–2σ, m+2σ ), где m и σ - параметры распределения. Пример 38.Математическое ожидание а нормально распределенной случайной величины Х а=10, среднее квадратическое отклонение σ =2. Найти вероятность попадания этой величины в интервал (12; 14). Решение. Подставив в формулу (1) α =12, β =14, а=10, σ =2, получаем Р(12< х< 14)=Ф По таблице для функции Лапласа находим, что Ф(2)= 0, 4772, Ф(1)=0, 3413 и искомая вероятность Р(12< х< 14)=0, 1359. Оценки, которые определяются одним числом, называют точечными. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, используют интервальные оценки, которые определяются двумя числами – концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью). Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью γ (ее называют надежностью) покрывают оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0, 95 или 0, 99, или 0, 999. В частности, при надежности γ =0, 95 доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения (по выборочной средней
В обозначениях формула принимает вид: Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0, 95 можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале. Пример 39.Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0, 95, зная выборочную среднюю Решение. Воспользуемся формулой:
Подставляя данные, получаем: 10, 43-1, 96(5/10)< а< 10, 43+1, 96(5/10), или окончательно 9, 45< а< 11, 41.
Литература. 6.1. Основная литература: 1. Комаров, М.П. Высшая математика в примерах: учебное пособие / М. П. Комаров; Астрахан. гос. техн. ун-т. – Астрахань: Изд-во АГТУ, 2014. – 396 с. 2. Гмурман, В. Е. 3. Гмурман, В. Е. 4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 543 с. 6.2. Дополнительная учебная литература:
5. Данко, П.Е. Попов, А.Г., том 1 Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш.шк., 2011.- 416 с.
8. Антонов, В. И. 9. Баврин, И. И. ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1. Значения функции
Таблица 2. Значения функции
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-13; Просмотров: 1156; Нарушение авторского права страницы
(|интегрируем по частям)=
.
в выражении для плотности необходим для того, чтобы 
т.е. множитель является нормировочным.
, тогда пределы интегрирования поменяются на 
.
– функция распределения нормального распределения с параметрами 0 и 1. Эта функция затабулирована.
Заменой 
приведем вычисляемый интеграл к виду 
и 
, то M(X)=m.
, 
выборки объема n, при известном σ ) находят по формуле
), объем выборки (число наблюдений) n=100 и среднее квадратическое отклонение σ =5.
.
.