СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В.А.Малашкина

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

ВВЕДЕНИЕ

Теория инженерного эксперимента является важной частью курса «Основы научных исследований».

Эксперимент – метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления действительности.

Теория эксперимента включает три основных направления.

Первое – подобие и моделирование отвечает на вопросы: какие величины следует измерять при эксперименте и в каком виде обрабатывать результаты, чтобы выводы оказались справедливыми не только для данного частного случая, но и для группы объектов или явлений.

Второе – обработка данных эксперимента представляет собой методику получения достоверных характеристик на основе данных, имеющих ошибки.

Третье – планирование эксперимента включает совокупность процедур, использование которых при проведении эксперимента позволяет с минимальными затратами установить искомые зависимости.

Первые научные исследования по вопросам подобия выполнены И. Ньютоном. Большой вклад в развитие данного вопроса внесли труды зарубежных ученых Бертрана, Рейнольдса, Букингема, а также отечественных – А. Федермана, Т.А. Афанасьевой-Эренфест, М.В. Кирпичева, А.А. Гухмана, Л.И. Седова, В.А.Веникова.

Основы статистической обработки экспериментальных данных заложили Бернулли, Лаплас, Пуассон, П.Л.Чебышев, Л.А. Марков, А.М.Ляпунов.

Теория планирования эксперимента начала формироваться в 40 – 50-х годах нашего столетия в работах Фишера, Бокса. Серьезный вклад в нее внесли отечественные ученые В.В.Налимов, Г.К.Круг, Ю.П.Адлер.

Каждое направление является обширной и развивающейся областью знаний. По каждому имеется большой объем фундаментальных исследований, глубокое освоение которых требует значительных затрат времени и зачастую специальной математической подготовки. Учитывая реальные условия изложения курса «Основы научных исследований» студентам горноэлектромеханической специальности, остановимся только на важнейших с практической стороны моментах теории подобия, обработки данных и планировании эксперимента. Вместе с тем, изложение считаем необходимым построить так, чтобы полученных знаний оказалось в общем достаточно для решения реальных задач прикладных научных исследований.

Для освоения основных положений, выделения разъяснения соответствующих вопросов, считаем необходимым, изложение иллюстрировать достаточным количеством примеров.

ПОДОБИЕ ОБЪЕКТОВ

Результаты данного эксперимента можно распространить лишь на подобные объекты. Два объекта или явления подобны / 1, 2, 3, 4 /, если по известным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом. Для таких объектов характерно равенство критериев подобия – безразмерных величин, составленных из размерных физических параметров, описывающих процессы в исследуемых объектах.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Числа Рейнольдса, Пекле, Прандтля и др. содержат величины Первые три из них связаны с масштабом скоростей, размеров и температур и могут иметь любые, независящие одно от другого значения, определяемые исключительно граничными условиями; величины являются, таким образом, по отношению к уравнениям течения произвольными; и рассматриваются как параметры, характеризующие физические свойства жидкости. Величины называют характеристическими, т.к. определяют условия, в которых происходит движение жидкости.

Безразмерные комплексы, составленные из произвольно задаваемых величин (связанных через граничные условия с масштабами скоростей, геометрических размеров и температур) и физических свойств жидкости, т. е. включающие лишь характеристические величины, называют определяющими критериями. К ним относятся, в частности, и Любые другие безразмерные комплексы, характеризующие течение жидкости, - функции определяющих подобие критериев.

Критерии подобия определяют относительное влияние как действующих в потоке сил, так и происходящих в потоке процессов переноса (напомним, что при течении вязкой теплопроводящей жидкости имеют место перенос импульса вследствие вязкости и перенос теплоты посредством теплопроводности).

Критерии подобия устанавливают динамическое или кинематическое подобие, суть которого состоит в том, что при одинаковом значении соответствующих (одного или нескольких) критериев отношения двух физических величин (например, сил) при одинаковой геометрии потоков имеют одно и тоже значение.

По численному значению критериев подобия можно оценить, насколько отличается поток вязкой и теплопроводящей жидкости от потока идеальной жидкости, и тем самым условно разделить поток на области, где действия вязкости или теплопроводности существенно различны.

Главнейшие критерии, используемые при описании течения вязкой и теплопроводящей жидкости, приводятся ниже.

Число Рейнольдса Re = - важнейший параметр гидродинамики; оно равняется соотношению силы инерции к силе вязкости При малых Re преобладают силы вязкости, при больших Re – силы инерции (в последнем случае влияние вязкости сказывается лишь в узкой области вблизи границ твердого тела, т.е. в пограничном слое).

Число Маха Ма = является мерой сжимаемости газа при больших скоростях течения. При достаточно малых значениях Ма изменение плотности газа настолько мало, что газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость. При Ма > 1 поток газа существенно отличается от потока газа при Ма < 1; в сверхзвуковом потоке газа возможно образование ударных волн, в дозвуковом потоке ударные волны никогда не образуются.

Равным образом существенные различия имеют трансзвуковой (Ма ) и гиперзвуковой (Ма > > 1). Из этого видно, что Ма – один из важнейших параметров газодинамики.

Число Прандтля характеризует относительное влияние теплопроводности вязкости на жидкость. Оно определяется только физическими свойствами жидкости и не зависит от таких условий течения, как скорость и геометрические размеры.

Число Нуссельта равняется отношению полного теплового потока к тепловому потоку, возникающему вследствие теплопроводности , и, следовательно, выражает результирующий эффект влияния течения на теплообмен. Этим число Нуссельта отличается от других параметров подобия, которые выражают не результирующий, а частные эффекты.

Число Эйлера представляет собой удвоенное отношение давления жидкости к динамическому давлению обусловленному конечным значением скорости жидкости.

В соответствии с теорией подобия, при проведении эксперимента, необходимо измерять все величины, которые входят в состав критериев. Обрабатывать результаты следует в виде зависимостей между критериями подобия. Только в этом случае можно распространять результаты данного эксперимента на другие объекты. Существует два способа определения критериев: при помощи анализа размерностей и по уравнениям процесса.

1.1. – теорема и ее следствия.

В соответствии с - теоремой, если процесс в объекте характеризуется n фундаментальными величинами, для выражения размерностей которых используется k основных единиц, то его (процесс) можно описать n-k безразмерными комбинациями, составленными из этих величин.

Из теоремы следует два важных для практики вывода.

Первый. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены уравнениями связи между безразмерными комбинациями – критериями подобия. Последние уравнения будут справедливы для всех подобных объектов.

Второй. Число безразмерных переменных меньше числа размерных на число основных единиц. Речь, таким образом, идет о снижении числа переменных, описывающих процесс. Это уменьшает объем экспериментальных исследований и делает результаты более наглядными.

Предположим, что процесс описывается n=5 физическим величинам.

Одна из них выходная – параметр и четыре входных - факторы. Мы решили экспериментальным путем установить связь между выходной и входными величинами, не переходя к безразмерным комбинациям. Предположим также, что при постановке опытов каждый фактор фиксируется на пяти уровнях. Тогда для перебора всех возможных сочетаний необходимо число опытов, равное сложности объекта, будет составлять C = 5⁴ = 625.

Посмотрим, что даст переход к безразмерным комбинациям. Предположим, что число основных единиц k = 3 (это очень часто встречающийся случай). В условиях рассматриваемого примера, в соответствии с - теоремой, после перехода к безразмерным комбинациям останется n – k = 5-3 = 2 безразмерных переменных. Одна из них – безразмерный параметр и вторая – обобщенный безразмерный фактор. Для одинаково достоверных с рассмотренным выше случаем теперь достаточно будет поставить всего пять опытов, т.е. в 125 раз меньше, чем раньше.

В последнем случае резко улучшается наглядность экспериментальной информации. Мы получим график зависимости одной выходной величины от одной входной.

1.2. Методика определения безразмерных комбинаций

Решение этой задачи состоит из трех этапов. На первом выбираются фундаментальные переменные. Обычно в выборе выходной переменной осложнений не бывает. Как правило, мы знаем, что необходимо определить. Входной фундаментальной переменной является любая величина, оказывающая влияние на выходную и способная изменяться независимо от других. Для правильного выбора фундаментальных переменных необходимо глубокое проникновение в существо исследуемого объекта. Часто это требует не только изучения априорной информации, но и постановки предварительного эксперимента. Если после выбора фундаментальных переменных система безразмерных комбинаций не получается, то необходимо возвратиться к анализу объекта.

На втором этапе выбирается система основных единиц для выражения размерностей фундаментальных переменных. При изучении гидравлических и механических процессов в большинстве случаев можно принять в качестве основных единиц массу (М), длину (L), и время (Т).

На третьем, заключительном этапе, на базе теории размерностей определяются безразмерные комбинации.

Виды ошибок

Ошибка (погрешность) эксперимента – это разность между данными замера и истинным значением контролируемой величины

Исследователь должен уметь правильно оценивать ошибки. Только в этом случае по полученным данным можно будет делать достоверные выводы /4, 5, 6. 7/.

По форме представления различают ошибки абсолютные и относительные.

Абсолютная ошибка – разность между истинным значением и получаемым.

где - результат замера;

- истинное значение величины.

Относительная ошибка – истинное значение абсолютной, выраженная в долях или процентах,

Ошибки делятся на систематические и случайные.

Систематические вызываются причинами, действующими одинаково закономерно при многократном измерении данной величины в одних и тех же условиях. При этом среднее значение замеров отличается от контролируемой величины независимо от их числа.

Например, расходомером определяется подача поршневого насоса. Получены шесть замеров в одном и том же режиме:

Истинное значение подачи .Среднее значение шести замеров Систематическая ошибка /

Природа систематических ошибок кроется в систематических погрешностях приборов, неправильной их установке, неправильном измерении исходных данных и ошибках в определении расчетных коэффициентов, в не учете факторов влияющих на показания приборов. Систематические ошибки должны быть выявлены и устранены, например тарировкой приборов до постановки основного эксперимента. Если этого сделать нельзя, то их обрабатывают также, как и случайные.

Случайные ошибки являются следствием причин, действующих при измерении непредсказуемо в сторону уменьшения или увеличения результатов. Они обусловлены нечувствительностью средств измерения, конечными значениями цены деления приборов, ошибками наблюдения, округленными при обработке, случайными колебаниями режима работы исследуемой системы.

Например, если точное значение подачи насоса а данные шести замеров соответственно равны 105м³/ч; 95м³/ч; 100м³/ч; 103м³/ч; 99м³/ч; 98м³/ч, то случайные ошибки будут составлять: для первого опыта для второго = 95 - 100 = - 5 , третьего четвертого , пятого шестого

Ошибки косвенных измерений.

Часто интересующая нас величина непосредственно не может быть измерена, а определяется как функция других величин, которая находится опытным путем.

Пример. Известно, что расход воды через треугольный водослив

Q = 1, 343 Н^{2, 47}

Где Н - уровень воды, м.

Относительная ошибка в определении уровня … . Определить относительную ошибку расхода.

В соответствии с выражением (2.3)

Так как

то

после преобразований имеем

Таким образом, в условиях нашего примера

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ является одним из широко распространенных методов оценки статистических связей. Он отвечает на вопросы: влияет ли данная входная величина на выходную и какова степень (теснота) связи между величинами? Степень связи оценивается коэффициентом корреляции.

Если оценивается влияние на выходную одной входной величины, то определятся коэффициент парной корреляции. При оценке одновременного влияния нескольких входных величин на входную ищется коэффициент множественной корреляции /6, 7 /.

В корреляционном анализе исходят из того, что как входные, так и выходные величины являются случайными.

Все современные вычислительные машины в математическом обеспечении имеют стандартные программы для определения коэффициентов корреляции. Оценкой коэффициента парной корреляции является величина

(2.15)

Здесь - нормированное отклонение входной величины;

- нормированное отклонение выходной величины;

Регрессионный анализ

Целью его является установление аналитической зависимости между выходной и входными величинами. При проведении исследований инженеру-электромеханику часто приходится решать подобные задачи. Известно, что в общем случае зависимость между величинами может быть представлена таблично, графически и аналитически. Первый способ облегчает определение выходной величины для приведенных в таблице значений входных; графический - создает наглядность представления. Аналитическая зависимость позволяет исследовать функцию методами математического анализа, т.е. определить значения максимума, точек перегиба и т.д. Без аналитической зависимости осложняется исследование систем регулирования, проведение расчетов на ЭВМ. Аналитическая зависимость является наиболее универсальной. Из нее просто получается табличная и графическая. Если входных величин более двух, то табличное и графическое представления теряют наглядность.

В регрессионном анализе в отличие от корреляционного только выходные величины являются случайными. Входные должны быть неслучайными и некоррелированными между собой.

Необходимо иметь в виду, что, если теоретические формулы, полученные на основе знания законов того или иного процесса, могут быть использованы при произвольных значениях аргумента, то эмпирические, полученные путем обработки данных замеров, являются приближенными и могут применяться лишь в четко определенных условиях и в строго ограниченных пределах аргумента. Один и тот же процесс может быть описан несколькими эмпирическими формулами.

Задача получения аналитической зависимости включает три этапа: выбор уравнения регрессии; определение коэффициентов уравнения; проверка соответствия установленной зависимости экспериментальному материалу /5, 6, 7, 9/.

Первый этап является неформализованной процедурой. Здесь многое зависит от опыта исследователя. Уже отмечалось. что один и тот же процесс может быть описан различными эмпирическими зависимостями. на практике при выборе вида уравнения обычно руководствуются следующим. По данным эксперимента первоначально строят «пробную» графическую зависимость. Ее сравнивают с различными кривыми, уравнения которых известны и останавливаются на наиболее вероятной.

Для получения наглядной картины и облегчения выбора правильной аналитической зависимости, график следует строить в прямоугольной системе координат первоначально с равномерными шкалами на осях.

Масштабы на осях координат определяются по следующим выражениям:

где - начальные и конечные значения аргумента и функции в условиях эксперимента;

– длины шкал.

Длины шкал определяются условиями размеров чертежа. При этом масштабы должны быть округленными.

Выбирая , следует иметь в виду, что их уменьшение ведет к снижению точности обработки. Масштабы следует принимать такими, чтобы ошибка измерения на чертеже изображалась отрезком не менее 1мм. Чрезмерное увлечение масштабом ведет к подчеркиванию случайных отклонений опытных точек, что затрудняет выбор правильной аналитической зависимости. Соотношение между и должно обеспечивать примерно одинаковый наклон экспериментальной линии к осям координат

Если график не имеет максимума, минимума или других особенностей, то для получения приемлемой точности и снижения объема вычислений при построении искомой зависимости достаточно ограничится 4 – 6 и максимум 10 точками.

При наличии в исходном экспериментальном материале большого числа точек следует проводить их группировку.

Если в результате построений окажется, что некоторые точки существенно отклонялись от общей зависимости, то следует проверить вычисления для них, а при необходимости повторить эксперимент.

Проведенная по экспериментальным данным «пробная « кривая должна быть плавной, проходить возможно ближе ко всем точкам. Ее следование за каждой точкой подчеркивает случайные изменения и искажает искомую зависимость.

В ряде случаев может оказаться, что еще до обработки экспериментальных данных известна, пусть даже примерная, теория исследуемого процесса. В этом случае функциональная зависимость, определяемая этой теорией. может дать представление о возможном виде эмпирической формулы.

Например, известно, что теоретическая напорная характеристика турбомашины при постоянной частоте вращения является прямой линией. Известно также, что потери напора в турбомашине пропорциональны квадрату расхода. В этих условиях при выборе формулы для описания экспериментальной напорной характеристики наиболее целесообразной является ориентация на квадратичные зависимости.

При выборе формулы нет необходимости ориентироваться на сложные зависимости. Дело в том, что, с одной стороны, любая полученная в результате математической обработки экспериментальных данных формула будет только приближенно отражать существо процесса. Ценность формулы определяется не сложностью, а той ошибкой, какую мы допускаем при ее применении. С другой стороны, для сложных зависимостей резко возрастает объем вычисленных и других операций для определения параметров, характеризующих их.

При рассмотрении вопроса определения коэффициентов уравнения регрессии считаем необходимым первоначально обратить внимание на следующее. При выбранном виде уравнения эта задача на ЭВМ решается по стандартным программам. Поэтому нет необходимости приводить общие выкладки, а можно ограничиться вскрытием сущности процедуры определения коэффициентов на предельно простом примере – на примере линейной зависимости.

Известно, что линейная зависимость описывается уравнением

(2.19)

где у – искомая функция (выходная величина);

х – аргумент (входная величина);

в_о, в - коэффициенты регрессии, постоянные величины.

Наиболее достоверные значения коэффициентов получаются при использовании для их определения метода наименьших квадратов.

Процедура проверки соответствия установленной зависимости экспериментальному материалу (проверка адекватности) включает три этапа.

Первый. Ищется остаточная дисперсия или дисперсия адекватности

(2.26)

Здесь y_u - экспериментальное значение выходной величины для соответствующего значения x_u;

- рассчитанное по уравнению регрессии значение функции для данного x_u;

n – число опытов;

f = n-l – число степеней свободы;

l – число коэффициентов в уравнении регрессии.

Уже по можно судить о степени соответствия уравнения экспериментальному материалу. Ведь - среднеквадратическое отклонение экспериментальных точек от значений, полученных по уравнению.

Второй. Определяется дисперсия воспроизводимости

На каждом уровне аргумента x_u проводится несколько параллельных опытов, ищутся дисперсии для каждой группы экспериментов, проверяется их однородность и затем определяется средневзвешенная дисперсия (см. раздел 2.6). Она и является дисперсией воспроизводимости .

Если параллельные опыты не проводятся, то в качестве средневзвешенной дисперсии принимается

где – предельная абсолютная ошибка в определении входной величины.

Ранее было показано, что с доверительной вероятностью 0, 955 можно считать предельную ошибку, равной .

Третий. Поверяется однородность дисперсий адекватности и воспроизводимости.

Если расчетное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то полученное уравнение регрессии адекватно эксперименту

(2.27)

где – берется из таблиц с учетом принятого уровня значимости для соответствующих степеней свободы и .

Здесь N_u - число параллельных опытов на каждом уровне аргумента.

Пример. В результате испытаний центробежного насоса установлено, что создаваемые им напоры при соответствующих подачах определяются значениями, приведенными в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Зависимость напора насоса от подачи

Q, м³/час
Н, м вод. ст_.

Известно также, что напор определяется с точностью м вод. ст.

Требуется установить аналитическую зависимость напора Н от подачи Q. Для выбора вида формулы изобразим табличные данные графически.

Наименьшее значение подачи при эксперименте мало отличается от нуля в сравнении с наибольшим. . Поэтому градуировку шкалы подачи начнем с нулевого значения. Примем длину Тогда

Округлим масштаб до

Для напора градуировку шкалы начнем с 50м. вод.ст. Примем длину шкалы L_H = 100мм.

Пусть . Тогда предельная ошибка в определении напора на графике будет изображаться отрезком 5мм

При и экспериментальная кривая окажется примерно одинаково наклоненной к осям координат. экспериментальные данные изображены на рис. 2.6. Рисунок дает основание предполагать между напором и подачей линейную зависимость.

Предположим, что

Для определения коэффициентов по данным табл.2.5 найдем

После подстановки этих данных в уравнения (2.22) и (2.23), получим

;

12140-176b₀-6074b=0

Решив эту систему уравнений, получим ,

Таким образом,

(2.28)

Рис. 2.6. Экспериментальная напорная характеристика

центробежного насоса

Эта зависимость на рис. 2.6 изображена пунктирной линией.

Проверим адекватность полученного уравнения регрессии. Данные для расчета дисперсии адекватности сведены в табл.2.6.

Таблица 2.6


91.86	- 2.862	8.191	88.78	0.22	0.0484
82.53	0.466	0.2172	83.86	- 0.86	0.7396
76.94	1.063	1.1305	79.34	- 1.334	1.779
	4.592	21.09	72.56	2.106	5.952
63.88	1.122	1.259	64.18	0.82	0.6724
57.3484	-4.3484	18.91	54.19	- 1.192	1.422

Дисперсию определим по выражению (2.26)

В соответствии с изложенным выше дисперсия воспроизводимости в данном случае

Расчетное значение F - критерия

Для уровня значимости , а также чисел степеней свободы и табличное значение критерия . Так как расчетное значение больше табличного, то уравнение (2.28) не адекватно экспериментальному материалу.

Учитывая, что процессы протекающие в насосе, дают основание предполагать между напором и подачей квадратическую зависимость, найдем коэффициенты уравнения вида