Элементы логики высказываний.

а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается Ú , +.

Таким образом, простая дизъюнкция АÚ В (А + В) ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В.

б) Для высказывания, соответствующего исключающему ИЛИ (строгая дизъюнкция), используется словосочетание или…, или (либо…, либо). Строгая дизъюнкция обозначается А" В.

 

А	В	А" В

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

 

 

4) Импликация. Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А ® В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

Первые две строки таблицы говорят о том, что из ложного высказывания можно получить как истинное, так и ложное высказывание. Для запоминания: 1 ® 0 = 0 А	В	А®В
1

( Из опыта : Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального.)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я — Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый.

А®В = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Таблица истинности:	Пояснение:
A	B	А®В	Смысл высказываний А и В для указанных значений	Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый
А	В
			Дождя нет	Асфальт сухой	Истина
			Дождя нет	Асфальт мокрый	Истина
			Дождь идет	Асфальт сухой	Ложь
			Дождь идет	Асфальт мокрый	Истина

 

5) Операция эквиваленция обозначается знаками «, =, Û. Сложное высказывание А«В
(А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

Приоритет выполнения операций: при отсутствии скобок первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь эквиваленция.

Упражнения.

1. Даны два высказывания:

А={Число 5 - простое},

В={Число 4 - нечетное},

Очевидно, что А=1, В=0.

В чем заключаются высказывания:

а) Ā, б) `В, в) АВ, г) А+В д) А®В

Какие из высказываний а) – г) истинны? Составьте таблицы истинности.

2. Найдите значения выражений:

а) (1 + 1) Ú (1 + 0);

б) ((1 + 0) + 1) + 1;

в) (А + 1) + (В + 0);

г) (0 Ù 1) Ù 1;

д) 1 Ù (1 Ù 1) Ù 1;

е) ((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1) Ù (0 Ú 1);

ж) ((1 Ù А) Ú (В Ù 0)) Ú 1;

з) ((1 Ù 1) Ú 0) Ù (0 Ú 1);

и) ((0 Ù 0) Ú 0) Ù (1 Ú 1);

к) ((0 × 1) + (1 + 1)) × 1.

3. Переведите на язык алгебры логики высказывания:

I.

1) «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

2) «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

3) «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4) «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то пойдут в кино»

5) «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь тогда и только тогда, когда нет ветра».

6) «Если урок по информатике будет интересным, то ни Миша, ни Света, ни Вика не будут смотреть в окно»

Решение:

1) М × (В ® И); 2) (М × В) ® И; 3) В ® С ®`Д;

4) (С ® Л) × (`С ® К); 5) П ® (Д « `В); 6) И ® `М × `С × `В

II.

1) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Руссо).

2) «Чтение художественной литературы – неоценимый источник познания жизни и законов ее борьбы».

3) Согласно легенде, право считаться родиной Гомера оспаривали семь городов: Смирна, Хиос, Колофон, Саламин, Родос, Аргос, Афины.

4) «Мудрость – это способность предвидеть отдаленные последствия совершаемых действий, готовность пожертвовать сиюминутной выгодой ради больших благ в будущем и умение управлять тем, что управляемо, не сокрушаясь из-за того, что неуправляемо» (Ракофф).

5) «Кто утратил стыд, того нужно считать погибшим» (Плавт).

6) «Верность друга нужна и в счастье, в беде же она совершенно необходима».

4. Являются ли высказываниями русские народные пословицы и поговорки? Приведите примеры. ( Из опыта: Объявляется конкурс «Знаешь ли ты пословицы, которые являются высказываниями». Победителей обычно несколько, поощряются оценками и поощрительными аплодисментами одноклассников)

5. На конкурс авторских логических задач принимаются письменные работы учащихся (условие задачи + решение) в течение учебного года.

Самостоятельная работа №1.

(примерные задания в приложении 1, некоторые решения и ответы в приложении 2)

1) Решить логическую задачу табличным способом;

2) Записать сложные высказывания на языке алгебры логики;

3) Найти значение выражения.

Таблицы истинности

Итак, сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значений простых высказываний, входящих в него.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывания при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания .

Составим таблицу истинности сложного высказывания А & `В ® А.

Для этого:

1) составим таблицу всевозможных значений переменных А и В, входящих в данную формулу;

2) затем выпишем и проанализируем все подформулы:

 

А	В	`В	А`В	А`В	А`В ® А

Из полученной таблицы видно, что значения формулы А`В ® А совпадают со значениями формулы А. Такие формулы называются равносильными. Для обозначения равносильности используют обычно знак равенства.

 

Для составления таблицы истинности сложного высказывания, в которое входит более двух переменных, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Подсчитать n - количество переменных в формуле;

2. Определить число строк в таблице m= 2ⁿ.

3. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

4. Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n–разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ -1.

5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии приоритета операций.

 

Пример. Построить таблицу истинности для формулы F=A ® B& C

 

А	В	С	B& C	A ® B& C
Для 3-х переменных число строк в таблице: m= 23=8. Количество столбцов: 3+2=5. 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – натуральный ряд двоичных чисел. 0

 

 

Упражнения.

1. Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности:

1) А (А + В) = А

2) А + АВ = А

3) А ® В = Ā + В

4) А ® В = `А ®`В

5) `А +`В = А В

6) А + В = Ā × `В

 

2. Определите значение формулы: F= ((С+В)®В) × (АВ) ®В.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Ключевые элементы в учении амилленаризма
2. Cтадии развития организации, виды оргструктур, элементы организационной структуры
3. III. Зрелые форменные элементы класса VI
4. Активные элементы электрических цепей
5. Архитектурно – конструктивные элементы стен. Балконы, лоджии, эркеры. Деформационные швы
6. Базовые элементы коммуникационного процесса
7. Базовые элементы коммуникационного процесса.
8. Басня, новелла, трагедия. Теория басни Лессинга и Потебни. Прозаическая и поэтическая басня. Элементы построения басни: аллегория, употребление зверей, мораль, рассказ, поэтический стиль и приемы.
9. В.3 Элементы налогообложения: субъект, предмет, объект налогообложения
10. Виды гражданских зданий и их элементы.
11. Вспомогательные элементы сустава
12. Вспомогательные элементы юридического состава налога