Экзаменационные и олимпиадные логические задачи (ДВГУ, 1995 г.)

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

1. Четыре юных филателиста Митя, Толя, Саша и Петя купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причем двое из них купили российские марки, один болгарские, а один – словацкие. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме того известно, что Митя купил не болгарские марки. Определить, марки каких стран купил каждый из них.

2. Пять красавиц ехали в Голливуд, каждая на своей автомашине.

Англичанка ехала в синей машине.

Итальянка была с собакой.

Египтянка была блондинкой.

Испанка жевала Wrigley`s.

Немка ехала первой. В зеленой машине сосали конфеты.

В голубой машине ехала шатенка.

За желтой машиной ехала зеленая.

Вторая машина была белая.

В третьей машине глотали таблетки.

Брюнетка была с котенком.

Во рту у рыжей торчала сигарета.

В соседней с голубоволосой машине ехала лиса.

Обезьяна ехала в машине соседней с шатенкой.

С кем ехал попугай и кто пил кока-колу?

Приложение 1

Задания для самостоятельных работ

(Задачи расположены по вариантам с возрастающим уровнем сложности)

Самостоятельная работа №1.

Задание 1. Решите логическую задачу табличным способом

1. Пятеро одноклассников - Аня, Саша, Лена, Вася и Миша - стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:

1) победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере;

2) Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

3) Саша всегда побаивался физики;

4) Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

5) Саша и Лена поздравили победителя олимпиадыпо математике;

6) Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

2. По соседству жили три семьи: Петровых, Ивановых, Сидоровых. В каждой из них есть один ребенок: Элла, Алла, Женя. Их возраст – 7, 10, 15 лет. Девочка Петровых старше Эллы, самый младший – Женя, а ребенок, которому 10 лет – у Сидоровых. Как зовут детей, какие у них фамилии и сколько им лет.

3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

4. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что:

1) Ваня и С. — отличники;

2) Петя и В. — троечники;

3) В ростом выше П.;

4) Коля ростом ниже П.;

5) у Саши и Пети одинаковый рост.

На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

5. На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик. Национальности их были различны, и, хотя каждый ученый владел двумя языками из четырех (русским, английским, французским или итальянским), не было такого языка, на котором они могли бы разговаривать вчетвером. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из ученых не владеет французским и русским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком, если историк и биолог захотят поговорить друг с другом. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик не могут беседовать на одном языке.

Какими двумя языками владеет каждый ученый?

Задание 2. Запишите сложные высказывания на языке алгебры логики.

Например. Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач.

(В. М. Бехтерев.)

А = Некто является врачом;

В = Больной поговорил с врачом:

С = Больному стало легче.

Е = (В & `C) ®`A

1. Если Сидоров победит на выборах, то снизятся цены и у всех возрастет зарплата, и если он не победит на выборах, то или не снизятся цены или не возрастет у всех зарплата.

2. На выборах будут популярны партия синих и партия белых или, если не будет популярна партия синих, то будет популярна партия зеленых.

3. Овнам на ближайшее время рекомендуется деловая активность или внимание семейным делам и, кроме того, если не деловая активность, то занятия спортом.

4. Если зарплату выдают вовремя, то значит ожидаются или выборы, или акции протеста населения, и если не ожидаются выборы и одновременно нет акций протеста населения, то зарплату не выдают вовремя.

5. Не верно, что на работу в это учреждение принимают тогда и только тогда, когда пройдешь собеседование и будешь аттестован положительно.

Задание 3. Найдите значение выражения.

1. 1 V 1 & 0 & 0 ® 0

2. 1 V 1 V 0 ® 1

3. 1 & (1®1)

4. 0®(1®(1 V 0 & 1))

5. 1 & (1 V 0) V 0® 1

Самостоятельная работа №2.

Задание 1. Проверьте равносильность формул

Задание 2. Составьте таблицу истинности для формулы

1. A®(B®A& B)

2. (A®B) ®((A®`B) ®`A)

3. (A®B) ®((A®C) ®(A®B& C))

4. (A®(B®C)) ®((A®B) ®(A®C))

Задание 3. Решите задачу

1. В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

1) Сима будет первой, Валя — второй;

2) Сима будет второй, Даша — третьей;

3) Алла будет второй, Даша — четвертой.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое - ложно.

Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?

2. Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1) Сергей — первый, Роман — второй;

2) Сергей — второй, Виктор — третий;

3) Леонид — второй, Виктор — четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно.

Как распределились места?

3. В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырех богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой, и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царева дочь и полцарства? » Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные. Сказал Илья Муромец: «Это все Алеша Попович, царь-батюшка». Алеша Попович возразил: «То был Микула Селянинович». Микула Селянинович: «Не прав Алеша, не я это». Добрыня Никитич: «И не я, батюшка».

Подвернулась тут Баба-яга и говорит царю: «А прав-то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами». Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?

Самостоятельная работа №3.

Задание 1. Упростите логическую формулу.

1. (A & B & `C) + (A & B & C)+(A& B);

2. (A+B+C)& (A+`B+C)

3. `A & `B + `A & C + B & C

Задание 2. Решите задачу путем составления логического уравнения (формулы) и приведения его к нормальной форме)

1. На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен следующий ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал логику?

2. Три подразделения А, В, С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:

1) если А получит максимальную прибыль, то максимальную прибыль получат также В и С;

2) либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат;

3) для того, чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

3. Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».

Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».

Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

4. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были «Жигули», первая цифра номера машины — единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо марку машины, либо только первую цифру номера.

Какой марки машина и с какой цифры начинался номер?

Некоторые ответы и решения

Самостоятельная работа №1.

Задание 1. Решение логических задач

1. Форма таблицы:

	Физика	Матем.	Информатика	Литература	География
Аня
Саша
Лена
Вася
Миша

Ответ: Аня по математике, Саша по географии, Лена по физике, Вася по литературе, Миша по информатике.

2. Форма таблицы:

Петровы	Ивановы	Сидоровы		7 лет	10 лет	15 лет
			Элла
			Алла
			Женя

Ответ: Женя Иванова, 7; Элла Сидорова, 10; Алла Петрова, 15.

3. Форма таблицы:

	Молоко	Лимонад	Квас	Вода
Бутылка
Стакан
Кувшин
Банка

Ответ: молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

4. Форма таблицы:

Ответ: Ваня П., Петя К., Саша С., Коля В.

	В	П	С	К
Ваня
Петя
Саша
Коля

5. Решение. Заполним таблицу, анализируя условия задачи:

1.) Известно, что математик не знает русского, физик — английского, историк — французского, но знает русский (он говорит по-русски, но никто не говорит на русском и французском одновременно).

	Русский	Английский	Французский	Итальянский
Математик	-
Биолог
Физик		-
Историк	+		-

2.) Физик служит переводчиком в беседах историка и биолога (он владеет такими двумя языками, на которых историк и биолог не могут говорить одновременно). Так как историк и биолог не владеют общим языком, то, следовательно, биолог не знает русского языка. Значит, русский — общий язык для физика и историка; физик не владеет французским (он говорит по-русски, но никто не говорит на русском и французском одновременно). Второй язык физика — итальянский; итальянским владеет и биолог, историк итальянским не владеет. Тогда второй язык историка — английский, а биолог английским не владеет. Значит, второй язык биолога — французский.

	Русский	Английский	Французский	Итальянский
Математик	-
Биолог	-	-	+	+
Физик	+	-	-	+
Историк	+	+	-	-

3.) Историк может беседовать с математиком, хотя тот не знает русского. Следовательно, математик владеет английским.

4.) Так как только трое ученых одновременно владеют одним из языков, то этот язык — итальянский.

Ответ: математик владеет английским и итальянским; биолог — французским и итальянским; физик — русским и итальянским; историк — русским и английским.

Приложение 2

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒