Социально-экономических процессов»

Стр 1 из 12Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Малаховский Н.В.

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочного отделения по дисциплине

«Основы математического моделирования

Социально-экономических процессов»

Калининград 2012

Оглавление

Тема 1 Модель Василия Леонтьева многоотраслевой экономики. .......….……………..3

Контрольное задание №1 ……………………………………………………………………..5

Тема 2. Линейное программирование ………………………………………………………6

Контрольное задание №2 ……………………………………………………………………..11

Тема 3. Двойственные задачи линейного программирования ……...…………….....…12

Контрольное задание №3 ……………………………………………………………………..14

Тема 4. Динамическое программирование ………………………………………………..15

Контрольное задание №4 ……………………………………………………………………..18

Тема 5. Элементы теории игр. …………………………………………………..…………..22

Контрольное задание №5 ……………………………………………………………………..31

Тема 6. Сетевые модели планирования и управления ………………………………….33

Контрольное задание №6 ……………………………………………………………………..39

Тема 7. Задача об оптимальном назначении ……………………………………………...45

Контрольное задание №7 ……………………………………………………………………..47

Тема 8. Модель экономичного заказа (управление товарными запасами). ...................49

Контрольное задание №8 …………………………………………………………………….50

Тема 9. Моделирование систем массового обслуживания (СМО). ..................................50

Контрольное задание №9 ……………………………………………………………………..54

Тема 10. Оптимальная стратегия обновления оборудования ……..................................57

Контрольное задание №10 ……………………………………………………………..…….60

Правила выполнения контрольной работы

В соответствии с учебным планом студенты выполняют индивидуальное задание по курсу экономико-математические методы и сдают зачет.

Индивидуальное задание необходимо выполнять в тетради синими чернилами, оставляя поля для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия, имя, отчество студента, название дисциплины и группы.

Индивидуальное задание должно содержать решение всех задач, указанных в задании, строго по своему варианту. Индивидуальное задание, содержащее решение не всех задач, а так же решение задач не своего варианта, не засчитываются.

Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

Перед решением каждой задачи необходимо написать полностью ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

Индивидуальное задание состоит из 10 задач. Каждая задача содержит 10 вариантов. Номер варианта индивидуального задания выбирается по последней цифре номера зачётной книжки.

Тема 1. Модель Василия Леонтьева

Алгоритм составления двойственных задач

1. Приводим все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному символу (причем в задаче на минимум к « », а в задаче на максимум к « ».

2. Составляем расширенную матрицу , в которую включаем матрицу , столбец свободных членов и строку переменных коэффициентов целевой функции.

3. Находим

4. Формулируем двойственную задачу на основе полученной матрицы и условии неотрицательности переменных.

Пример.

Приведем ограничения к виду « »

Составим расширенную матрицу

Транспонируем матрицу

и формулируем двойственную задачу:

Контрольное задание №3.

Постройте задачи, двойственные к данным

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.

Тема 5. Элементы теории игр

На практике часто встречаются ситуации, когда приходится принимать решение в условиях конфликта интересов нескольких участников события. Такие ситуации возникают, например, в карточных играх, шахматах и т.п. В экономике конфликтные ситуации возникают при взаимодействии покупателя и продавца, банка и клиента, поставщика и потребителя и т.д. Особенностью подобных ситуаций является неопределенность, вызванная неизвестным заранее поведением участников конфликта, которые стремятся добиться максимальной реализации своих целей. Математическим описанием конфликтных ситуаций теория игр. Её целью является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

Основные понятия и общая классификация игр

Всякая математическая модель социально-экономического явления или конфликта должна выражать присущие ему черты, т.е. по крайней мере, отражать следующие его компоненты:

а) заинтересованность сторон;

б) возможные действия каждой из сторон;

в) интересы сторон.

Дадим формальное описание указанных компонент конфликта, вводя при этом принятую терминологию и обозначения.

Заинтересованные стороны будем называть игроками или лицами, а множество всех игроков будем обозначать через . Ограничимся рассмотрением случая, когда множество конечно. Не нарушая общности будем считать, что

Любое возможное для игрока действие называется его стратегией.

Множество всех стратегий игрока обозначим через . В условиях конфликта каждый игрок выбирает некоторую свою стратегию в результате чего складывается набор стратегий называемый ситуацией. Множество всех ситуаций обозначим .

Заинтересованность игроков выражается в том, что каждому игроку в той или иной ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока в ситуации и обозначается через . Величина называется функцией выигрыша игрока и обычно является действительным числом.

В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком его стратегии и в получении им в сложившейся ситуации из некоторого источника выигрыша Таким образом множество игроков, их стратегий и их функций выигрыша полностью описывают некоторую игру , что формально записывают так

(1)

Определение Игрой называется действительный или формальный конфликт, в котором имеется, по крайней мере, два игрока, каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Игра как процесс представляет собой многократно повторяющийся выбор игроками своих стратегий, т.е. игру следует считать не как однократный обмен ходами, а как постоянно или, по крайней мере, многократно, осуществляемый процесс.

Определение Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма всех платежей равна нулю, т.е. если сумма проигрышей проигравших игроков равна сумме выигрышей остальных игроков из множества .

Вообще говоря, оценка игроком ситуации путем указания выигрыша не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, более широкая, чем теория игр с выигрышами. В дальнейшем будем рассматривать только теорию игр с выигрышами.

Все игры можно разделить на два типа: коалиционные и бескоалиционные. Коалицией называют любое подмножество множества . Игра, в которой действия игроков некоторой коалиции направлены на максимизацию выигрыша всей коалиции без последующего его разделения между игроками коалиции и называются коалиционными. В бескоалиционной игре целью каждого участника является получение по возможности большего индивидуального выигрыша. Существует специальная теория коалиционных игр называемая кооперативной теорией.

Среди всех бескоалиционных игр с нулевой суммой естественным образом выделяется класс антагонистических игр, в которых число игроков равно двум, а значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

Для сокращения обозначений, множества стратегий игроков 1 и 2 антагонистической игре будем обозначать через и , а функция выигрыша - через

Для антагонистических игр с двумя игроками вводится следующее определение.

Определение Пусть каждой стратегии 1-го игрока взаимнооднозначно поставлена в соответствие строка некоторой матрицы , а каждой стратегии 2-го игрока взаимнооднозначно поставлен в соответствие столбец этой матрицы. Матрицу называют платежной матрицей (или матрицей игры), если её элемент равен выигрышу 1-го игрока (т.е. проигрышу 2-го) при выборе 1-м игроком -й стратегии, а 2-м - -й.

Следовательно, антагонистическая игра полностью описывается единственной платёжной матрицей и в соответствии с этим называется матричной.

Пример. Швейное предприятие планирует к массовому выпуску новую модель одежды. Спрос на эту модель не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина характеризуется тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируются три возможных варианта выпуска данной модели . Каждый из этих вариантов требует своих затрат и обеспечивает в конечном счете различный эффект. Прибыль (тыс. р.), которую получает предприятие при данном объеме выпуска модели и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей

Выбор в том или ином смысле наилучшего варианта выпуска моделей можно понимать как матричную игру.

Игра с природой

Кроме антогонистических рассматривают так называемые неантогонистические игры. В этом случае предполагают, что действия противника не носят характер строгого противостояния. Его интересы могут быть разными и в общем случае не совпадающими с нашими, однако они не являются «злонамеренно» направленными против нас. Простейшим примером такой ситуации является следующая.

Предположим, что известна (в общем случае смешанная) стратегия применяемая одним из игроков. Например, из опыта предыдущих наблюдений. Этот игрок использует свою стратегию вне зависимости от нашей стратегии. Такую игру принято называть игрой с природой. Природа как бы не имея в общем желания нам навредить действует по своим законам.

Пусть торговое предприятие имеет т стратегий: и имеется n возможных состояний природы: . Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем первой стороны для каждой пары стратегий и . Все показатели игры заданы платежной матрицей размерности

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

т.е. наименьшая из величин в каждой -й строке как пессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выбор -го варианта

При анализе «игры с природой» вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называют риском.

Риск при пользовании стратегией и состоянии «природы» оценивается разностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы» и выигрышем при выбранной стратегии :

Исходя из этого определения можно оценить максимальный риск каждого решения:

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.

Вариант № 1.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 315 руб., мужских туфель – 180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 430 и 240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1500 ботинок и 2100 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1900 ботинок и 1700 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 2.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 1675 руб., пылесоса – 720 руб., а цена реализации равна соответственно 2160 и 940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 450 холодильников и 1200 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 340 холодильников и 1400 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить ООО «Уют», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 3.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 18240 руб., детского гарнитура – 9680 руб., а цена реализации равна соответственно 21470 и 12340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 18 жилых комнат и 12 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 16 жилых комнат и 14 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 4.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 2640 руб., посудомоечной – 1480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 3670 и 1750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 160 стиральных и 120 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 130 стиральных и 150 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 5.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12860 руб., мопеда – 7400 руб., а цена реализации соответственно равна 15200 и 9600 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 700 мотоциклов и 1240 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 820 мотоциклов и 1070 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить ООО «Вихрь», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 6.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 1315 руб., мужских туфель – 1180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 1430 и 1240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1300 ботинок и 1900 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1700 ботинок и 1500 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Вариант № 7.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 11675 руб., пылесоса – 1720 руб., а цена реализации равна соответственно 15600 и 2940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 400 холодильников и 1100 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 300 холодильников и 1300 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Вариант № 8.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 28240 руб., детского гарнитура – 13680 руб., а цена реализации равна соответственно 33470 и 16340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 16 жилых комнат и 10 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 14 жилых комнат и 12 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Вариант № 9.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 12640 руб., посудомоечной – 11480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 15670 и 13750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 180 стиральных и 140 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 150 стиральных и 170 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Вариант № 10.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12900 руб., мопеда – 7440 руб., а цена реализации соответственно равна 15300 и 9800 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 500 мотоциклов и 1040 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 620 мотоциклов и 870 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А ) или в расчете на стратегию Д (стратегия В ).

Тема 6 Сетевые модели планирования и управления

Сетевой моделью (сетевым графиком, сетью) называется экономико-компьютерная модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи.

Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет,

во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и

во-вторых, определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ.

Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений, что оправдывает рассмотрение этого типа моделей в данной курсовой работе.

В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ).

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основным понятия сетевой модели являются:

· событие,

· работа

· путь.

На Рис. 1 графически представлена сетевая модель, состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

Рис.1

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел , где i - номер события, из которого работа выходит, а j - номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность . Например, запись означает, что работа (2, 5) имеет продолжительность 4 единиц времени.

К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками.

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер

В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.

Путём называется цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются и др.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают , а его продолжительность - . Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.

Перед расчетом СМ необходимо убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:

1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы справедливо неравенство (например, на Рис. 2 работы (4, 3) и (3, 2)). При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм перенумерации событий, который заключается в следующем:

· нумерация событий начинается с исходного события, которому присваивается № 1;

· из исходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и на оставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему и присваивают № 2;

· затем вычеркивают работы, выходящие из события № 2, и вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа, и ему присваивают № 3, и так далее до достижения завершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевом графике.

Если при очередном вычеркивании работ одновременно несколько событий не имеют входящих в них работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольном порядке.

2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа (например, событие 5);

3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа (например, событие 7);

4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим (например, путь (2, 4, 3)).

Только после выполнении всех указанных требований можно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.

Решение.

Введем переменные (i, j=1, 2, …, n), имеющие следующий смысл:

=1, если кандидат распределяется на работу ;

=0 — в противном случае.

Так как каждого кандидата можно назначать только на одну работу и каждая работа может быть занята только одним кандидатом, то введенные переменные должны подчиняться двум условиям (ограничениям):

для всех i =1, 2, …, n;

для всех j =1, 2, …, n.

Критерием оптимизации (целевой функцией) является суммарное время выполнения всех работ Y:

Таким образом, задача свелась к нахождению таких чисел , которые удовлетворяют двум вышеприведенным условиям и минимизируют суммарное время выполнения работ.

Для решения будем использовать венгерский метод. Основной принцип его – оптимальность решения задачи о назначении – не нарушается при уменьшении или увеличении элементов строки (столбца) на одну и ту же величину ( ). Решение считается оптимальным, если все измененные искусственно затраты (i, j=1, 2, …, n) и можно подобрать такой набор , при котором

На основе исходных данных создадим таблицу 1:

Таблица 1

А_i	B_j	a_i	d_i
B₁	B₂	B₃	B₄
A₁
A₂
A₃
A₄
b_j

Алгоритм метода включает следующие основные этапы:

1) получение нулей в каждой строке, для чего необходимо найти наименьший элемент в каждой строке (табл. 1) и вычесть его из всех ее элементов. Получим новую таблицу 2:

Таблица 2

А_i	B_j	a_i
B₁	B₂	B₃	B₄
A₁
A₂
A₃
A₄
b_j
d_j

Аналогичные действия производятся для каждого столбца новой таблицы, и в результате получаем таблицу 3.

Таблица 3

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒