Тема 9. Моделирование систем массового обслуживания (СМО)

I. Одноканальная СМО с отказами.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1, 8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими. Определить в установившемся режиме характеристики системы.

Решение

1. Интенсивность потока обслуживания:

2. Относительная пропускную способность:

Следовательно, в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.

3. Абсолютная пропускная способность:

Следовательно, система способна осуществить в среднем 0, 356 обслуживания автомобилей в час.

4. Вероятность отказа:

Следовательно, около 65% прибывших на пост автомобилей получат отказ в обслуживании.

II. Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди.

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно , т.е . Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1, 05 час. Определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и , т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает), в данном примере она составляет 24, 8%.

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики: (автомобиля в час)

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

III. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди.

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики неограничено. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1, 05 час. Определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1.Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и , т. е.

3. Предельные вероятности системы:

и т.д. определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает), в данном примере она составляет 10, 7%.

4. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди): ед.

5. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

час.

6. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

7. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

час.

8. Относительная пропускная способность системы: , т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

9. Абсолютная пропускная способность:

IV. Многоканальная СМО с отказами.

Пример. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими. Определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживания: .

2. Приведенная интенсивность потока заявок: .

3. Предельные вероятности состояний:

определяет долю времени, в течение которого (ВЦ) вынужденно бездействует (простаивает), в данном примере она составляет 18%.

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки:

5. Относительная пропускная способность ВЦ:

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ:

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ:

V. Многоканальная СМО с ожиданием.

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно. Определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживаний:

2. Приведенная интенсивность потока заявок: при этом Так как , то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вероятности состояний системы:

;

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

6. Среднее число находящихся в системе заявок:

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

суток.

Контрольное задания №9

Вариант № 1.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 0, 5 заказа/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 5 мин.

Определите, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия стационарности МО, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества каналов.

Вариант 2.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 5 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 2, 5 (у.е.), а для второго случая 4 (у.е.); издержки, связанные с простоем в минуту для первого случая 0, 5 (у.е.), а для второго случая 1 (у.е.). Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1, 2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0, 5 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 45 у.е. Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 3 и 5 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

Вариант 3.

В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 6 чел/мин. Интенсивность обслуживания составляет 1, 4 чел/мин. Допустимая длина очереди не должна превышать 3 человек.

Определите, какое минимальное количество касс необходимо установить, чтобы выполнялось условие стационарности системы, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества касс.

Вариант 4.

Торговый центр располагается в 4-хэтажном здании. На его первом этаже находится склад, с которого товары доставляются на верхние этажи с помощью 2-х транспортных лифтов, а затем распределяются по отделам. На складе доставка к лифтам и погрузка в них товаров осуществляются двумя автопогрузчиками. Складирование товаров возле лифтов запрещено, поэтому если оба лифта заняты, автопогрузчики образуют очередь. Интенсивность входящего потока требований на погрузку товаров в лифты составляет 2 треб/час, а интенсивность обслуживания равна 1, 5 треб/час. Дирекция торгового центра предполагает использовать только один лифт, а другой сделать резервным.

Определите, возможно ли использовать только один лифт для доставки товаров на этажи здания торгового центра, и рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании реально необходимого количества лифтов.

Вариант 5.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 0, 4 заказа/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 4 мин.

Вариант 6.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 4 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 2 (у.е.), а для второго случая 3, 5 (у.е.); издержки, связанные с простоем в минуту (у.е.) для первого случая 0, 5, а для второго случая 1. Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1, 2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0, 3 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 35 (у.е.). Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 3 и 4 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

Вариант 7.

В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 5 чел/мин. Интенсивность обслуживания составляет 1, 5 чел/мин. Допустимая длина очереди не должна превышать 2 человек.

Вариант 8.

Торговый центр располагается в 4-хэтажном здании. На его первом этаже находится склад, с которого товары доставляются на верхние этажи с помощью 2-х транспортных лифтов, а затем распределяются по отделам. На складе доставка к лифтам и погрузка в них товаров осуществляются двумя автопогрузчиками. Складирование товаров возле лифтов запрещено, поэтому если оба лифта заняты, автопогрузчики образуют очередь. Интенсивность входящего потока требований на погрузку товаров в лифты составляет 3 треб/час, а интенсивность обслуживания равна 2 треб/час. Дирекция торгового центра предполагает использовать только один лифт, а другой сделать резервным.

Вариант 9.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 1 заказ/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 3 мин.

Вариант 10.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 4 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 5 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 3 (у.е.), а для второго случая 4 (у.е.); издержки, связанные с простоем в минуту для первого случая 0, 4 (у.е.), а для второго случая 1 (у.е.). Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1, 2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0, 5 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 45 (у.е.). Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 4 и 5 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒