Симметрия периодических функций.

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидальных функций.

1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию f(t)=-f(-t) (рис. 47.1).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечетных. В разложении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Bk и отсутствуют постоянная составляющая A0 и косинусные составляющие отдельных гармоник Сk:

При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегрирование в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетворяет условию f(t)=f(-t) (рис. 47.2).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложении таких функций содержатся только постоянная составляющая А₀ и косинусные составляющие отдельных гармоник C_k и отсутствуют синусные составляющие отдельных гармоник В_к:

При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегрирование в формулах достаточно выполнить за половину периода:

3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)> 0] или отрицательной части [f(t)< 0] на отрезок времени +-T/2 и удовлетворяет условию f(t)=-f(t+-T/2) (рис. 47.3):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим-метричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармоники (синусные и косинусные составляющие):

Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что кососимметричная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

Равенство f(t)=-f(t+-T/2) выполняется при условии A0=0, A2=0, A4=0, …, что и требовалось доказать.

Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим правилам.

Расчет электрических цепей с несинусоидальными функциями.

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t) и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

Гармонический анализ.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций источников ЭДС e(t) и источников тока j(t) в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t) количество гармоник в их разложении определяют значительно больше, чем необходимо для расчета схемы.

Аналитический расчет.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конденсаторами C размыкается. Расчет схемы для отдельных гармоник производится как для цепи синусоидального тока, т.е. в комплексной форме, при этом определяются не действующие значения, а комплексные амплитуды токов и напряжений (Im, Um). Расчет для каждой гармоники выполняется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зависимость реактивных сопротивлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармоники: X_Lk=kω L=kX_L1, X_Ck=1/(kω C)=X_C1/k.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанавливается исходя из конкретных условий задачи.

Синтез решения.

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины согласно условию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i(t) и u(t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных составляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i(t) и u(t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как среднеквадратичные значения этих функций по полученным ранее формулам, например:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы активных мощностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: P_k=I_k²*R_k, где I_k - действующее значение тока этого приемника.

⇐ Предыдущая 1 2 34